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→强度与重量的矛盾
==== 强度与重量的矛盾 ====
==== 强度与重量的矛盾 ====
几何体的横截面积[math]A[/math]往往也随着物体的长度而呈现2次方增长关系。进一步，支撑物体的应力强度[math]S[/math]通常也正比于横截面面积，因此 [math]S \propto A \propto L^2[/math]；而物体重量 [math]W \propto V \propto L^3[/math]。由此得出比例：[math]\displaystyle \frac{S}{W} \propto \frac{L^2}{L^3} = \frac{1}{L}[/math] <ref name=":4" />
几何体的横截面积[math]A[/math]往往也随着物体的长度而呈现2次方增长关系。进一步，支撑物体的应力强度[math]S[/math]通常也正比于横截面面积，因此 [math]S \propto A \propto L^2[/math]；而物体重量 [math]W \propto V \propto L^3[/math]。由此得出比例：[math]\displaystyle \frac{S}{W} \propto \frac{L^2}{L^3} = \frac{1}{L}[/math]， <ref name=":4" />
伽利略用这一基本的几何关系强调：在放大过程中，物体体积（重量）增长速度快于面积（支撑力），这意味着随着体型增大，相对强度会降低。伽利略甚至打趣道：“一只小狗能背两三只与它体型相当的小狗，但一匹马却驮不起一匹与自身一样大小的马”。这一结论后来成为现代工程设计的尺度基础，例如桥梁与高塔必须随着高度增加而加粗支撑柱。
对于一个动物体来说，它的大腿的横截面积也会随着动物体的身长程序平方增长的关系，而它的体重会正比于体积，因而呈现出随身长的三次幂增长关系。也就是说，体重要比横截面积增长的更快。因此，大型生物体必须演化出更加粗壮的大腿，才能够支撑它们庞大的体重。正因如此，老鼠的腿细长而灵活，而大象的腿却像柱子一般粗壮。这些直观的自然现象，都是幂律缩放规律的推论。另外，我们在地球表面很难观察到比长颈鹿或大象更大型的动物，海洋里反而存在着体积更大的动物，如鲸，这是因为海水的浮力可以对抗鲸类巨大的体重。
=== 非线性幂律关系 ===
=== 非线性幂律关系 ===