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第22行： − + − z+ − n+ − ++ − 1 − = − z − n − 2 − + − c − ( − 7 − – − 1 − ) − z − n+1 − − =z − n − − − +c(7–1) − 朱利亚和法图也在朱利亚集（Julia sets）中识别到了混沌行为，但由于当时没有计算机图形学，无人跟进，他们的研究因此停滞。关于复平面上映射所呈现的丰富动力学行为的研究随之衰落，直到 1970 年代末，伯努瓦·曼德博罗特（Benoit Mandelbrot）及其他人的出现，人们才注意到复平面上映射所展现的丰富动力学行为。 − 1947 年，数学家斯坦尼斯拉夫·乌拉姆（Stanislaw Ulam）和约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）写了一篇题为《随机过程和确定性过程的结合》（On combination of stochastic and deterministic processes）的短文，其中他们［需要澄清］+ − f+ − ( − x − ) − = − 4 − x − ( − 1 − − − x − ) − ( − 7 − – − 2 − ) − f(x)=4x(1−x)(7–2) + + + + + + + + + + + + + 第90行：
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→在“混沌”被命名前
==在“混沌”被命名前==
==在“混沌”被命名前==
在映射迭代成为动力系统研究的核心之前，数学家加斯东·朱利亚（Gaston Julia）和皮埃尔·法图（Pierre Fatou）研究了复函数的迭代。朱利亚和法图的工作以解析函数为重点。特别地，他们在 1920 年代研究了下述复二次函数的行为，也就是方程（6–3）所示：
在映射迭代成为动力系统研究的核心之前，数学家加斯东·朱利亚（Gaston Julia）和皮埃尔·法图（Pierre Fatou）就研究了多种[[复函数]]的迭代。特别地，他们在1920年代研究了下述复二次函数的行为，即下列[[复数迭代方程]]：
:[math]
z_{t+1}=z_t^2+c
[/math]
2
该方程中，[math]z[/math]为一个复数，[math]t[/math]代表迭代时间步，[math]c[/math]也是一个复数，它是一个不随迭代时间步而变的常数。对该方程的极限行为进行分类，即构成了[[朱利亚集合]]（Julia set）。朱利亚和法图也在朱利亚集中识别到了混沌行为，但由于当时没有计算机图形学，无人跟进，他们的研究因此停滞。关于复平面上映射所呈现的丰富动力学行为的研究随之衰落，直到 1970 年代末，[[伯努瓦·曼德博罗特（Benoit Mandelbrot）|曼德布罗特]](因其发现的[[曼德布罗特集]]及其他发明的[[分形]]一词而得名，这也是根据该复数迭代生成的一种集合）及其他人的出现，人们才注意到复平面上映射所展现的丰富动力学行为。
1947 年，数学家斯坦尼斯拉夫·乌拉姆（Stanislaw Ulam）和约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）写了一篇题为《随机过程和确定性过程的结合》（On combination of stochastic and deterministic processes）的短文，其中他们指出可以通过如下方程给出：
:[math]
f(x)=4x(1−x)
[/math]
他们指出，伪随机数可以通过对类似[math]f(x)[/math]的二次函数进行反复复合来生成。事实上，这个方程正是{{EquationNote|(1)}}式对应于参数[math]\mu=4[/math]时候的情形。在当时，“混沌”一词尚未被使用，但乌拉姆和冯·诺伊曼已经开始关注利用非线性函数生成复杂序列。在他们的报告中，乌拉姆和冯·诺伊曼还阐明，该映射与帐篷映射在拓扑上是共轭的，并且可以得出该映射序列的不变测度。
自那以后，人们对具有任意参数的二次映射进行了更为详尽的研究。1958 年至 1963 年间，芬兰数学家 Pekka Mylberg 提出了：[math]f(x)=x^{2}-\lambda[/math]形式的迭代系统。这条研究路线对动力系统至关重要，Mühlberg 还研究了该映射的倍周期分岔级联，证明存在一个聚点(当[math]l\ambda = 1.401155189\ldots[/math]时)。其他人的研究则进一步揭示了诸如逻辑映射等简单单变量差分方程的异常行为。
==罗伯特·梅的研究工作==
后来，在20世纪70年代初，数学生物学家罗伯特·梅（Robert May）在研究一个生态学问题时遇到了方程（1–2）的模型。梅通过对逻辑方程进行时间离散化，引入了方程（1–2），即逻辑映射。他对逻辑映射的行为进行了数学分析，并于1973年和1974年发表了研究成果。随后，人们对逻辑映射进行了数值实验，以考察其行为如何随参数r的变化而改变。
1976年，他在《自然》杂志上发表了一篇题为“具有极其复杂动力学的简单数学模型”的论文。这是一篇综述性论文，重点讨论了逻辑映射，并强调并引起人们注意：即便是简单的非线性函数也能产生极其复杂的行为，例如倍周期分岔级联和混沌。由于梅作为数学生物学家的地位、其研究结果的清晰性，尤其是“一个简单的抛物线方程竟能产生令人惊讶的复杂行为”这一震撼性的内容，这篇论文在学界引起了巨大反响并被广泛接受。通过梅的研究，逻辑映射吸引了众多研究者投身于混沌研究，并成为一个极为著名的数学模型，甚至被认为重新启动了混沌研究的潮流。
生物学家[[罗伯特·梅 Robert May]] <ref name="May, Robert M 1976">{{cite journal |last=May |first=Robert M. |year=1976 |title=Simple mathematical models with very complicated dynamics |journal=Nature (journal) |volume=261 |issue=5560 |pages=459–467 |doi=10.1038/261459a0 |bibcode=1976Natur.261..459M |pmid=934280 |hdl=10338.dmlcz/104555 |hdl-access=free }}</ref>在1976年的一篇论文中推广了这一映射，<ref>"{{MathWorld | urlname=LogisticEquation | title= Logistic Equation}}</ref>它在一定程度上是一个时间离散的人口统计模型，类似于'''皮埃尔·弗朗索瓦·韦胡斯特 Pierre Francois Verhulst''' 首次提出的方程。
生物学家[[罗伯特·梅 Robert May]] <ref name="May, Robert M 1976">{{cite journal |last=May |first=Robert M. |year=1976 |title=Simple mathematical models with very complicated dynamics |journal=Nature (journal) |volume=261 |issue=5560 |pages=459–467 |doi=10.1038/261459a0 |bibcode=1976Natur.261..459M |pmid=934280 |hdl=10338.dmlcz/104555 |hdl-access=free }}</ref>在1976年的一篇论文中推广了这一映射，<ref>"{{MathWorld | urlname=LogisticEquation | title= Logistic Equation}}</ref>它在一定程度上是一个时间离散的人口统计模型，类似于'''皮埃尔·弗朗索瓦·韦胡斯特 Pierre Francois Verhulst''' 首次提出的方程。
其中，<math> x(t+1)-x(t)</math>可以解释为种群的生长率（即一个单位周期内，种群数量的变化）。<math>(\mu-1) x(t)</math>可以解释为虫种群的出生，<math>\mu x(t)^2</math>为种群的消亡。其中消亡项和<math>x(t)^2</math>有关，也就是说种群数量越多，消亡得越快，这体现为该种群内部由于资源有限而引起的竞争。
其中，<math> x(t+1)-x(t)</math>可以解释为种群的生长率（即一个单位周期内，种群数量的变化）。<math>(\mu-1) x(t)</math>可以解释为虫种群的出生，<math>\mu x(t)^2</math>为种群的消亡。其中消亡项和<math>x(t)^2</math>有关，也就是说种群数量越多，消亡得越快，这体现为该种群内部由于资源有限而引起的竞争。
==数值试验==
==数值试验==