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第82行： − + − 后来，在20世纪70年代初，数学生物学家罗伯特·梅（Robert May）在研究一个生态学问题时遇到了方程（1–2）的模型。梅通过对逻辑方程进行时间离散化，引入了方程（1–2），即逻辑映射。他对逻辑映射的行为进行了数学分析，并于1973年和1974年发表了研究成果。随后，人们对逻辑映射进行了数值实验，以考察其行为如何随参数r的变化而改变。+ − 1976年，他在《自然》杂志上发表了一篇题为“具有极其复杂动力学的简单数学模型”的论文。这是一篇综述性论文，重点讨论了逻辑映射，并强调并引起人们注意：即便是简单的非线性函数也能产生极其复杂的行为，例如倍周期分岔级联和混沌。由于梅作为数学生物学家的地位、其研究结果的清晰性，尤其是“一个简单的抛物线方程竟能产生令人惊讶的复杂行为”这一震撼性的内容，这篇论文在学界引起了巨大反响并被广泛接受。通过梅的研究，逻辑映射吸引了众多研究者投身于混沌研究，并成为一个极为著名的数学模型，甚至被认为重新启动了混沌研究的潮流。+ − 生物学家[[罗伯特·梅 Robert May]] <ref name="May, Robert M 1976">{{cite journal |last=May |first=Robert M. |year=1976 |title=Simple mathematical models with very complicated dynamics |journal=Nature (journal) |volume=261 |issue=5560 |pages=459–467 |doi=10.1038/261459a0 |bibcode=1976Natur.261..459M |pmid=934280 |hdl=10338.dmlcz/104555 |hdl-access=free }}</ref>在1976年的一篇论文中推广了这一映射，<ref>"{{MathWorld | urlname=LogisticEquation | title= Logistic Equation}}</ref>它在一定程度上是一个时间离散的人口统计模型，类似于'''皮埃尔·弗朗索瓦·韦胡斯特 Pierre Francois Verhulst''' 首次提出的方程。 − − − − 然而，Logistic映射作为一种人口统计模型，存在着一些初始条件和参数值(如<math>μ</math> >4)为某值时所导致的混沌问题。这个问题在较老的瑞克模型中没有出现，该模型也展示了混沌动力学。 − − − 该模型可以用来模拟生物种群的生长行为，所以Logistic映射也叫“虫口模型”。其中<math>x(t)</math>可以解释为在t时刻种群占最大可能种群规模的比例。我们将原方程变形为： − − :<math> x(t+1)-x(t)=(\mu-1) x(t) - \mu x(t)^2 </math> − − − 其中，<math> x(t+1)-x(t)</math>可以解释为种群的生长率（即一个单位周期内，种群数量的变化）。<math>(\mu-1) x(t)</math>可以解释为虫种群的出生，<math>\mu x(t)^2</math>为种群的消亡。其中消亡项和<math>x(t)^2</math>有关，也就是说种群数量越多，消亡得越快，这体现为该种群内部由于资源有限而引起的竞争。
→罗伯特·梅的研究工作
自那以后，人们对具有任意参数的二次映射进行了更为详尽的研究。1958 年至 1963 年间，芬兰数学家 Pekka Mylberg 提出了：[math]f(x)=x^{2}-\lambda[/math]形式的迭代系统。这条研究路线对动力系统至关重要，Mühlberg 还研究了该映射的倍周期分岔级联，证明存在一个聚点(当[math]\lambda = 1.401155189\ldots[/math]时)。其他人的研究则进一步揭示了诸如逻辑映射等简单单变量差分方程的异常行为。
自那以后，人们对具有任意参数的二次映射进行了更为详尽的研究。1958 年至 1963 年间，芬兰数学家 Pekka Mylberg 提出了：[math]f(x)=x^{2}-\lambda[/math]形式的迭代系统。这条研究路线对动力系统至关重要，Mühlberg 还研究了该映射的倍周期分岔级联，证明存在一个聚点(当[math]\lambda = 1.401155189\ldots[/math]时)。其他人的研究则进一步揭示了诸如逻辑映射等简单单变量差分方程的异常行为。
==罗伯特·梅的研究工作==
==Robert May的研究工作==
后来，在20世纪70年代初，数学生物学家[[罗伯特·梅 Robert May]]在研究一个生态学问题时遇到了方程({{EquationNote|2}})的模型。May通过对该方程进行时间离散化，引入了方程({{EquationNote|1}})，即Logistic映射。他对Logistic映射的行为进行了数学分析，并于1973年和1974年发表了研究成果。随后，人们对逻辑映射进行了数值实验，以考察其行为如何随参数[math]\mu[/math]的变化而改变。
1976年，他在《自然》杂志上发表了一篇题为“具有极其复杂动力学的简单数学模型”的论文<ref name="May, Robert M 1976">{{cite journal |last=May |first=Robert M. |year=1976 |title=Simple mathematical models with very complicated dynamics |journal=Nature (journal) |volume=261 |issue=5560 |pages=459–467 |doi=10.1038/261459a0 |bibcode=1976Natur.261..459M |pmid=934280 |hdl=10338.dmlcz/104555 |hdl-access=free }}</ref>。这是一篇综述性论文，重点讨论了Logistic映射，并强调并引起人们注意：即便是简单的非线性函数也能产生极其复杂的行为，例如倍周期分岔级联和混沌。由于May作为数学生物学家的地位、其研究结果的清晰性，尤其是“一个简单的抛物线方程竟能产生令人惊讶的复杂行为”这一震撼性的内容，这篇论文在学界引起了巨大反响并被广泛接受。通过May的研究，Logistic映射吸引了众多研究者投身于混沌研究，并成为一个极为著名的数学模型，甚至被认为重新启动了混沌研究的潮流。
==数值试验==
==数值试验==