更改

当<math>\mu</math>持续增大的时候，迭代运行的轨道就会在周期类型和混沌类型之间来回切换。直到<math>\mu=4</math>，系统处于完全混沌的状态，最终的长期行为会在[0,1]区间上取得均匀分布。

当<math>\mu</math>持续增大的时候，迭代运行的轨道就会在周期类型和混沌类型之间来回切换。直到<math>\mu=4</math>，系统处于完全混沌的状态，最终的长期行为会在[0,1]区间上取得均匀分布。

===<math>μ = 4</math>===

===<math>\mu=2</math>以及<math>\mu=4</math>===

<math>\mu</math> = 4的特殊之处与<math>\mu</math>= 2相同，其可以获得精确的解，<ref name="Schröder" /> 虽然，一般情况只能通过统计来预测。<ref>{{cite journal | last1 = Little | first1 = M. | last2 = Heesch | first2 = D. | year = 2004 | title = Chaotic root-finding for a small class of polynomials | url = http://www.maxlittle.net/publications/GDEA41040.pdf | format = PDF | journal = Journal of Difference Equations and Applications | volume = 10 | issue = 11| pages = 949–953 | doi = 10.1080/10236190412331285351 | arxiv = nlin/0407042 }}</ref>   

<math>\mu</math> = 4的特殊之处与<math>\mu</math>= 2相同，我们可以直接获得方程({{EquationRef|1}})式的精确解，<ref name="Schröder" /> 虽然，一般情况只能通过统计来预测。<ref>{{cite journal | last1 = Little | first1 = M. | last2 = Heesch | first2 = D. | year = 2004 | title = Chaotic root-finding for a small class of polynomials | url = http://www.maxlittle.net/publications/GDEA41040.pdf | format = PDF | journal = Journal of Difference Equations and Applications | volume = 10 | issue = 11| pages = 949–953 | doi = 10.1080/10236190412331285351 | arxiv = nlin/0407042 }}</ref>   

当<math>\mu</math> = 4 时，<ref name="Schröder">

当<math>\mu =2</math>时，我们可以解出方程({{EquationRef|1}})式的精确解为：<ref name="schr" />

{{cite journal |doi=10.1007/BF01443992 |last=Schröder |first=Ernst |year=1870 |title=Über iterierte Funktionen |journal=Math. Ann. |volume=3 |issue= 2|pages=296–322 |id= |url= |accessdate= |quote= }}</ref><ref>{{cite journal|last=Lorenz |first=Edward |date=1964 |title=The problem of deducing the climate from the governing equations |journal=Tellus |volume=16 |issue=February |pages=1–11}}</ref>

 

:<math>x(t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(1-2x(0))^{2^{t}}</math>

 

:<math>x_{n}=\sin^{2}\left(2^{n} \theta \pi\right),</math>

对于<math>x(0) \in [0,1)</math>。此解没有混沌的特性。由于对不包括不稳定的不动点0在内的<math>x(0)</math>，当<math>t</math>趋近无限大时，<math>(1-2x(0))^{2^{t}}</math>会趋近于零，因此<math>x(t)</math>会趋近稳定的不动点<math>\tfrac{1}{2}.</math>。

给出初始参数 <math> \theta </math> ：

比较有趣的情形发生在<math>\mu= 4</math>的情形，此时，方程的精确解为：<ref name="Schröder">

:<math>\theta = \tfrac{1}{\pi}\sin^{-1}\left(\sqrt{x_0}\right).</math>

{{NumBlk|:|

<math>

x(t)=\sin^{2}\left(2^{t} \theta \pi\right)

</math>

针对有理数的<math> \theta </math>，有限次数的迭代后<math>x_t</math>就会变成一个周期性的数列。不过几乎所有的<math> \theta </math>都是无理数，此时<math> x_t</math>不会重复，因此没有周期解。此解可以清楚的看出混沌的二个重要特征：拉伸及折叠。系数<math>2^t</math>表示拉伸的指数增长，因此造成[[蝴蝶效应]]，也就是对初始值的高度依赖性，而解中包括正弦函数的平方，使解折叠在[0,1]的范围内。

其中<math>\theta</math>可以由初始值<math>x(0)</math>给出：

:<math>x_t=\frac{-\alpha^{2^t} -\alpha^{-2^t} +2}{4}</math>

如果<math> \theta </math>取值为有理数，则({{EquationNote|1}})式经过有限次数的迭代后<math>x(t)</math>就会变成一个周期性的数列。

<math> \alpha </math>也是复数

从解({{EquationNote|3}})式，我们可以清楚地看出混沌映射的两个重要特征：拉伸及折叠。其中，系数<math>2^t</math>表现为一种对[math]\theta[/math]作用的指数增长的拉伸。因此，这种拉伸操作会造成[[蝴蝶效应]]，也就是对初始值的高度依赖敏感性。而解({{EquationNote|3}})式中包括的正弦函数的平方这一操作，则会使得映射的解被压缩在[0,1]区间范围内，这便是折叠的效应。

其模量为1，正如就像三角函数中的平方正弦函数不会导致点集的缩小或扩大，在后者的解决方案中，可通过<math>\alpha</math>的单位模量来实现该种结果。

对于<math>\mu</math>= 4，我们用复数代替三角函数的等价解为：<ref name="schr">{{cite journal |last=Schröder |first=Ernst |year=1870 |title=Ueber iterirte Functionen|journal=Mathematische Annalen |volume=3 |issue= 2|pages=296–322 | doi=10.1007/BF01443992 }}</ref>

:<math>x_t = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(1-2x_0)^{2^{t}}</math>

其中，<math> \alpha </math>也是复数

对于<math>x_0 \in [0,1)</math>。此解没有混沌的特性。由于对不包括不稳定的不动点点0在内的<math>x_{0}</math>，当<math>t</math>趋近无限大时，<math>(1-2x_0)^{2^{t}}</math>会趋近于零，因此<math>x_t</math>会趋近稳定的不动点<math>\tfrac{1}{2}.</math>。

其模为1，正如三角函数中的平方正弦函数不会导致点集的缩小或扩大，在后者的解决方案中，可通过<math>\alpha</math>的单位模来实现该种结果。

<math>\mu</math> =4时，几乎所有的初值都会使Logistic映射出现混沌特性，不过也存在无限个初值会使Logistic映射最后呈周期性变化。而且对于所有正整数，都存在一初值使Logistic映射的周期为正整数。可以利用

<math>\mu =4</math>时，几乎所有的初值都会使Logistic映射出现混沌特性，不过也存在无限个初值会使Logistic映射最后呈周期性变化。而且对于所有正整数，都存在一初值使Logistic映射的周期为正整数。可以利用Logistic映射和[[移位映射]](Dyadic transformation)之间的关系来找出任何周期的循环。若<math>x</math>依照Logistic映射<math>x(t+1) = 4 x(t)(1-x(t))</math>，而<math>y(t)</math>依照移位映射

Logistic映射和移位映射 Dyadic transformation之间的关系来找出任何周期的循环。若<math>x</math>依照Logistic映射<math>x_{t+1} = 4 x_t(1-x_t)</math>，而<math>y</math>依照移位映射

:<math>y_{t+1}=\begin{cases}2y_t & 0 \le y_t < 0.5 \\2y_t -1 & 0.5 \le y_t < 1, \end{cases}</math>

:<math>y(t+1)=\begin{cases}2y(t) & 0 \le y(t) < 0.5 \\2y(t) -1 & 0.5 \le y(t) < 1, \end{cases}</math>

:<math>x_{t}=\sin^{2}(2 \pi y_{t})</math>.

:<math>x(t)=\sin^{2}(2 \pi y(t))</math>.

当<math>y</math>以二进制表示时，映射会将二进制的数字左移一位（若左边的二进制点为1，则这个1会变为0），该种映射也称为'''二元转换'''或'''移位映射'''。例如，如果迭代的二进制扩展中有一个3位重复序列(并不是一个1位重复序列)，则会发生长度为3的循环。迭代001001001…映射到010010010…，映射到100100100…，反过来又映射成原来的001001001…;这是一个3循环的移位图。循环节为010, 011, 100, 101, 110 时也会有类似情形。

当<math>y</math>以二进制表示时，映射会将二进制的数字左移一位（若左边的二进制点为1，则这个1会变为0），该种映射也称为'''二元转换'''或'''移位映射'''。例如，如果迭代的二进制扩展中有一个3位重复序列(并不是一个1位重复序列)，则会发生长度为3的循环。迭代001001001…映射到010010010…，映射到100100100…，反过来又映射成原来的001001001…;这是一个3循环的移位图。循环为010, 011, 100, 101, 110 时也会有类似情形。

另外三个二值展开重复序列给出了三次循环110110110…→101101101…→011011011…→110110110。这些循环小数都可以转换为对应的分数，第一个给定的周期为3的循环小数若以分数表示则为：1/7 → 2/7 → 4/7 → 1/7。

另外三个二值展开重复序列给出了三周期循环110110110…→101101101…→011011011…→110110110。这些循环小数都可以转换为对应的分数，第一个给定的周期为3的循环小数若以分数表示则为：1/7 → 2/7 → 4/7 → 1/7。

将其转换到<math>\mu </math>=4的Logistic映射后，所得到的逻辑循环为611260467... → 950484434... → 188255099... → 611260467...。其他周期为3的循环也可以转换为Logistic映射。同样地，任何长度为k的循环都可以在移位映射中找到，然后转换成相应的Logistic映射。

将其转换到<math>\mu </math>=4的Logistic映射后，所得到的Logistic循环为611260467... → 950484434... → 188255099... → 611260467...。其他周期为3的循环也可以转换为Logistic映射。同样地，任何长度为k的循环都可以在移位映射中找到，然后转换成相应的Logistic映射。

对于<math>\mu </math>=4的Logistic映射，此时对应<math>\mu </math>= 2的帐篷映射 Tent map。（最小）长度k = 1，2，3，…的循环数是一个已知的整数序列（OEIS中的序列A001037）：2，1 ，2、3、6、9、18、30、56、99、186、335、630、1161…这告诉我们，<math>\mu </math>=4的Logistic映射具有2个不动点点，长度为2时的周期为1，长度为3时的周期为2，依此类推。对于素数k有序列：<math>2\frac{2^{k-1}-1}{k}</math>

对于<math>\mu=4</math>的Logistic映射，此时对应<math>\mu </math>= 2的[[帐篷映射]](Tent map)。（最小）长度k = 1，2，3，…的循环数是一个已知的整数序列（OEIS中的序列A001037）：2，1 ，2、3、6、9、18、30、56、99、186、335、630、1161…这告诉我们，<math>\mu=4</math>的Logistic映射具有2个不动点，长度为2时的周期为1，长度为3时的周期为2，依此类推。对于素数k有序列：<math>2\frac{2^{k-1}-1}{k}</math>。例如：<math>2\frac{2^{13-1}-1}{13}</math>是长度为13的循环数。在所有初始条件下，映射都是混乱的，所以这些有限长度的循环都是不稳定的。

例如：<math>2\frac{2^{13-1}-1}{13}</math>是长度为13的循环数。在所有初始条件下，映射都是混乱的，所以这些有限长度的循环都是不稳定的。

==不同参数<math>\mu</math>下的极限行为==

==不同参数<math>\mu</math>下的极限行为==