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==混沌与Logistic映射==

==混沌与Logistic映射==

和其他混沌系统比较，Logistic映射的相对简单性使它成为考虑混沌概念的一个广泛使用的切入点。简单来说，混沌就是对初始条件的高度灵敏度。<math>\mu</math>=3.5是在3.57及4之间的大部分数值都可以使Logistic映射出现该特性。<ref name="May, Robert M 1976" /> 由于映射本身对定义域的拉伸及折叠，使得其对初始条件有高度灵敏度,故表现出来了混沌特性。Logistic映射的二次差分方程可视为是对于区间(0,1)拉伸及折叠的过程。<ref name="Gleick">{{cite book |last=Gleick |first=James |title=Chaos: Making a New Science |year=1987 |publisher=Penguin Books |location=London |isbn=978-0-14-009250-9 }}</ref>

和其他混沌系统比较，Logistic映射的相对简单性使它成为考虑混沌概念的一个广泛使用的切入点。<math>\mu</math>是在3.57及4之间的大部分数值都可以使Logistic映射展现出混沌特性。<ref name="May, Robert M 1976" /> 在这样的参数范围内，Logistic映射同样也展现出了对区间(0,1)拉伸与折叠的作用效果，这是使得该映射会产生对初始条件有高度灵敏度的重要原因,也是其表现出来混沌特性的本质。<ref name="Gleick">{{cite book |last=Gleick |first=James |title=Chaos: Making a New Science |year=1987 |publisher=Penguin Books |location=London |isbn=978-0-14-009250-9 }}</ref>

[[File:Logistic_map_scatterplots_large.png|400px|thumb|图10：二维和三维的庞加莱图显示了Logistic映射的拉伸和折叠结构|right]]

[[File:Logistic_map_scatterplots_large.png|400px|thumb|图8：二维和三维的庞加莱图显示了Logistic映射的拉伸和折叠结构|right]]

图10中，右图说明了在Logistic映射的迭代序列上的伸展和折叠。左边 图(a) 显示了Logistic映射在<math>\mu</math>=4条件下的二维庞加莱图，并清楚地显示了差分方程的二次曲线。利用二维及三维的相图可以看出一些Logistic映射的特性。以<math>\mu</math>=4的Logistic映射为例，二维相图为一抛物线，但是若用相同的序列绘制三维相图，可看出进一步的结构，例如几个一开始很接近的点在迭代后开始发散．特别是位在斜率较大位置的点。

如图8所示中，该图中的右图说明了在Logistic映射的迭代序列上的伸展和折叠。图8左显示了Logistic映射在<math>\mu=4</math>的条件下的二维[[庞加莱截面图]]，它清楚地显示了差分方程的二次曲线。利用二维及三维的相图，我们可以看出一些Logistic映射的特性。以<math>\mu=4</math>的Logistic映射为例，二维相图为一抛物线，但是若用相同的序列绘制三维相图，我们可看出进一步的结构，例如几个一开始很接近的点在迭代后开始发散．特别是斜率较大位置的几个点。

此外，以便研究Logistic映射的更深层结构。 图(b)演示了在最初点的附近是如何开始分叉的，特别是在与图中更陡的部分相对应的 <math>x_t</math> 区域。

此外，为了研究Logistic映射的更深层结构。 图8右展示了在最初靠近的若干点是如何在映射的作用下开始分叉的，特别是在与图中更陡的部分相对应的 <math>x(t)</math> 区域。

拉伸及折叠的结果使迭代的数列以指数形式发散（参照李亚普诺夫指数），可以用有混沌特性时的Logistic映射的复杂性及不可预测性加以说明。事实上，数列的指数发散说明了混沌和不可预测性之间的关系：初值微小的误差在迭代过程中会以指数成长的方式增加，导致结果出现很大的误差。因此当对于初始状态的有微小的误差时．对未来状态的预测准确度也会随迭代次数增加而快速变差。这种不可预测性和明显的随机性使得在早期的计算机中利用Logistic方程生成伪随机数。<ref name="Gleick" />

拉伸及折叠的结果使迭代的数列以指数形式发散（参照[[李亚普诺夫指数]]），可以用有混沌特性时的Logistic映射的复杂性及不可预测性加以说明。事实上，数列的指数发散说明了混沌和不可预测性之间的关系：初值微小的误差在迭代过程中会以指数成长的方式增加，导致迭代结果出现很大的误差。因此当对于初始状态的取值存在有微小的误差时．人们对未来状态的预测准确度也会随迭代次数增加而快速变差。这种不可预测性和明显的随机性使得人们可以在早期的计算机中利用Logistic方程生成伪随机数。<ref name="Gleick" />

由于映射的函数值收敛于某一特定值，其维度小于或等于1。依数值分析的结果，在<math>\mu</math>=3.5699456...时（刚开始混沌特性时），其关联维度为0.500 ± 0.005（Grassberger,1983）、豪斯多夫维数大约是0.538(Grassberger 1981)，而分形维数为0.5170976...（Grassberger,1983），还可得知关联维度进一步精确在0.4926和0.5024之间。

由于映射的函数值收敛于某一特定值，人们可以推断出[[混沌吸引子]]（即在出现混沌现象的参数下，从随机的一组初始值开始，经过无限次迭代所构成的点的集合）的维度小于或等于1。依数值分析的结果，在<math>\mu=3.5699456...</math>时（刚开始混沌特性时），该混沌吸引子的[[关联维度]]为0.500 ± 0.005（Grassberger,1983）、[[豪斯多夫维数]]大约是0.538(Grassberger 1981)，而[[分形维数]]为0.5170976...（Grassberger,1983），还可得知[[关联维度]]进一步精确在0.4926和0.5024之间。

有些混沌系统可对于其未来状态的可能性作准确的描述。若一个可能有混沌特性的动力系统存在吸引子，则存在一概率量测描述系统长期在吸引子各部分所花时间的比例。以<math>\mu</math>=4的Logistic映射为例，初始状态在区间(0,1)中，而吸引子也在区间(0,1)中，其概率量测对应参数<math> a</math>=0.5,<math>b</math>=0.5的Β分布<ref>{{cite journal |last=Jakobson |first=M. |title=Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=81 |issue=1 |year=1981 |pages=39–88 |doi=10.1007/BF01941800 |bibcode=1981CMaPh..81...39J }}</ref>，其不变测度为：

有些混沌系统允许人们可对于其未来状态的可能性作准确的描述。若一个可能有混沌特性的动力系统存在[[吸引子]]，则存在一[[概率测度]]描述系统长期在吸引子各部分所花时间的比例。以<math>\mu=4</math>的Logistic映射为例，初始状态在区间(0,1)中，而吸引子也在区间(0,1)中，其[[概率测度]]对应参数<math>\alpha=0.5</math>,<math>\beta=0.5</math>的[[<math>\beta</math>分布]]<ref>{{cite journal |last=Jakobson |first=M. |title=Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=81 |issue=1 |year=1981 |pages=39–88 |doi=10.1007/BF01941800 |bibcode=1981CMaPh..81...39J }}</ref>，其[[不变测度]]为：

:<math> {\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}</math>。

:<math> {\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}</math>。

不可预期性和随机并不一样，不过在一些情形下这二者很类似。 因此，幸运的是，即使我们对Logistic映射(或其他混沌系统)的初始状态知之甚少，我们仍然可以说一些关于任意未来状态分布的问题，并参考一些信息来判断系统的状态从而做出决定。

不可预期性和随机性并不一样，不过在一些情形下这二者很类似。 因此，幸运的是，即使我们对Logistic映射(或其他混沌系统)的初始状态知之甚少，我们仍然可以断定一些关于系统状态在任意时刻未来的状态空间中的概率分布的信息，并参考一些其它信息来判断系统的状态从而做出判断。

==费根鲍姆常数==

==费根鲍姆常数==