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模型的核心思想是：新形成的“活跃社区”（active population, AP）在空间上按照一定概率出现，其位置受现有人口密度与空地吸引力的共同作用。形式上，新节点在位置 [math]\displaystyle{(r,\theta)}[/math] 出现的概率为：

模型的核心思想是：新形成的“活跃社区”（active population, AP）在空间上按照一定概率出现，其位置受现有人口密度与空地吸引力的共同作用。形式上，新节点在位置 [math]\displaystyle{(r,\theta)}[/math] 出现的概率为：

[math]\displaystyle{ P(r,\theta,t) ;\propto; \rho(r,\theta,t) + C }[/math]<ref name=":9" />

[math]\displaystyle{ P(r,\theta,t) \propto \rho(r,\theta,t) + C }[/math]<ref name=":9" />

其中 [math]\displaystyle{\rho(r,\theta,t)}[/math] 为局部人口密度，[math]\displaystyle{C}[/math] 表示空地的吸引强度。当新节点距离现有节点过远时，因连接成本过高而无法存活，这就是“匹配生长”机制。

其中 [math]\displaystyle{\rho(r,\theta,t)}[/math] 为局部人口密度，[math]\displaystyle{C}[/math] 表示空地的吸引强度。当新节点距离现有节点过远时，因连接成本过高而无法存活，这就是“匹配生长”机制。

在此框架下，人口密度随中心距离衰减满足幂律：

在此框架下，人口密度随中心距离衰减满足幂律：

[math]\displaystyle{ \rho(r,t) ;\propto; r^{-\beta} }[/math]<ref name=":9" />

[math]\displaystyle{ \rho(r,t) \propto r^{-\beta} }[/math]<ref name=":9" />

进一步积分得到累积人口：

进一步积分得到累积人口：

[math]\displaystyle{ P(r,t) ;\propto; r^{2-\beta} }[/math]<ref name=":9" />

[math]\displaystyle{ P(r,t) \propto r^{2-\beta} }[/math]<ref name=":9" />

相应地，道路长度和社会经济互动的累积量分别满足：

相应地，道路长度和社会经济互动的累积量分别满足：

[math]\displaystyle{ L(r,t) ;\propto; r^{2-\beta/2} }[/math]<ref name=":9" />

[math]\displaystyle{ L(r,t) \propto r^{2-\beta/2} }[/math]<ref name=":9" />

[math]\displaystyle{ G(r,t) ;\propto; r^{2-3\beta/2} }[/math]<ref name=":9" />

[math]\displaystyle{ G(r,t) \propto r^{2-3\beta/2} }[/math]<ref name=":9" />

这些空间标度关系不仅能从单一观测量推导出其他城市要素的分布，还能解释宏观上的超线性（如 GDP ∝ N^7/6）与次线性（如道路长度 ∝ N^5/6）的聚合标度规律。

这些空间标度关系不仅能从单一观测量推导出其他城市要素的分布，还能解释宏观上的超线性（如 GDP ∝ N^7/6）与次线性（如道路长度 ∝ N^5/6）的聚合标度规律。

# 城市间模型（Inter-city models）：强调城市之间的扩散与层级结构，例如基于 Zipf 定律的层级扩散模型，将创新传播和城市规模分布联系起来<ref name=":10" />。

# 城市间模型（Inter-city models）：强调城市之间的扩散与层级结构，例如基于 Zipf 定律的层级扩散模型，将创新传播和城市规模分布联系起来<ref name=":10" />。

综述指出，这些不同模型虽然起点各异，但许多都可以归入统一的数学框架。例如，基于人类互动的模型往往可以形式化为：[math]\displaystyle{ Y ;=; N \cdot g \cdot \langle k \rangle }[/math]。其中 [math]\displaystyle{g}[/math] 为单次互动产生的平均产出，[math]\displaystyle{\langle k \rangle}[/math] 为人均互动数，决定了标度指数的大小。若互动范围扩展或社交网络具有层级性，则会出现超线性标度。

综述指出，这些不同模型虽然起点各异，但许多都可以归入统一的数学框架。例如，基于人类互动的模型往往可以形式化为：[math]\displaystyle{ Y = N \cdot g \cdot \langle k \rangle }[/math]。其中 [math]\displaystyle{g}[/math] 为单次互动产生的平均产出，[math]\displaystyle{\langle k \rangle}[/math] 为人均互动数，决定了标度指数的大小。若互动范围扩展或社交网络具有层级性，则会出现超线性标度。

= 其他规模法则 =

= 其他规模法则 =