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=== 统一的、无参数的生长曲线 ===

=== 统一的、无参数的生长曲线 ===

通过将[math]b=a/M^{1/4}[/math]代回生长方程，文章得到了一个更具普遍性的形式：[math]\frac{dm}{dt} = am^{3/4}[1 - (\frac{m}{M})^{1/4}]  [/math]。通过对这个微分方程进行积分，可以得到一个描述质量 m 随时间 t 变化的经典S形曲线方程：

通过将[math]b=a/M^{1/4}[/math]代回生长方程{{EquationNote|10}}，可以得到了一个更具普遍性的形式：[math]\frac{dm}{dt} = am^{3/4}[1 - (\frac{m}{M})^{1/4}]  [/math]。通过对这个微分方程进行积分，可以得到一个描述质量 m 随时间 t 变化的经典S形曲线方程：

{{NumBlk|:|

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* 无量纲时间：<math>\tau \equiv at/4M^{1/4} - \ln[1 - (m_0/M)^{1/4}]</math>

* 无量纲时间：<math>\tau \equiv at/4M^{1/4} - \ln[1 - (m_0/M)^{1/4}]</math>

这个模型预测，所有物种的生长曲线，无论其分类群、细胞代谢率或成熟体型如何，都应该落在同一条普适曲线[math]r=1-e^{-\tau}[/math] 上。这表明，尽管物种大小差异巨大，它们的生长过程在能量分配和时间尺度上具有普适的内在规律。

这个模型预测，所有物种的生长曲线，无论其分类群、细胞代谢率或成熟体型如何，都应该落在同一条普适曲线(Universal Growth Equation)上面：

[[文件:生物生长曲线.png|无框|600x600像素]]<ref name=":2" />

<math>

r=1-e^{-\tau}

</math>

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[[文件:通用的生物生长曲线.png|无框|600x600像素]]<ref name=":2" />