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→特征函数与特征值
<math>
<math>
\varphi(\mathbf{x}_{k+1}) = \mathcal{K} \varphi(\mathbf{x}_k) = \lambda \varphi(\mathbf{x}_k)
\varphi(\mathbf{x}_{k+1}) = \mathcal{K} \varphi(\mathbf{x}_k) = \lambda \varphi(\mathbf{x}_k).
</math>
</math>
其中<math>\mu</math>是连续时间下的特征值。一般来说，即使状态空间<math>\mathcal{X}</math>和动力学<math>\mathbf{F}(\mathbf{x})</math>是实值的，特征值和特征向量通常分别是复值的标量和函数。
其中<math>\mu</math>是连续时间下的特征值。一般来说，即使状态空间<math>\mathcal{X}</math>和动力学<math>\mathbf{F}(\mathbf{x})</math>是实值的，特征值和特征向量通常分别是复值的标量和函数。
<math>\mathcal{K}</math>和<math>\mathcal{L}</math>的特征函数，如果由本身已经线性的动力学所诱导，可以进一步说明线性离散动力学<math>\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{A}\mathbf{x}n</math>与类似概念<math>g{n+1} = \mathcal{K}g_n</math>之间的联系。给定矩阵<math>\mathbf{A}</math>的一个左特征向量<math>\boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{A} = \lambda \boldsymbol{\xi}^\top</math>，我们可以构造一个对应的Koopman特征函数如下
<math>
\varphi(\mathbf{x}) := \boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{x}
</math>
因为
<math>
\mathcal{K}\varphi(\mathbf{x}) = \varphi(\mathbf{A}\mathbf{x}) = \boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{A}\mathbf{x} = \lambda \boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{x} = \lambda \varphi(\mathbf{x})
</math>
=Koopman算子应用的简单案例=
=Koopman算子应用的简单案例=