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代数上，当观测空间在乘法下封闭时，Koopman特征函数的集合在逐点乘法下形成一个[[交换幺半群]]。这样一来，根据具体的动力系统，可能存在有限组生成元特征函数元素，可以用来构建所有其他特征函数<ref name=Bollt_2021>E. Bollt, Geometric considerations of a good dictionary for Koopman analysis of dynamical systems: Cardinality, ``primary eigenfunction,"" and efficient representation, Comm.

代数上，当观测空间在乘法下封闭时，Koopman特征函数的集合在逐点乘法下形成一个[[交换幺半群]]。这样一来，根据具体的动力系统，可能存在有限组生成元特征函数元素，可以用来构建所有其他特征函数<ref name=Bollt_2021>E. Bollt, Geometric considerations of a good dictionary for Koopman analysis of dynamical systems: Cardinality, ``primary eigenfunction,"" and efficient representation, Comm.

Nonlinear Sci. Numer. Simul., 100 (2021), art. 105833. (Cited on pp. 242, 276)</ref>。对应的Koopman特征值根据形成乘法格，或者，若是Lie特征值，则形成加法格。

Nonlinear Sci. Numer. Simul., 100 (2021), art. 105833. (Cited on pp. 242, 276)</ref>。

观测函数可以由特征函数线性组合构成，即<math>g(\mathbf{x}) \in \mathrm{span}\{\varphi_k\}_{k=1}^K</math>，在Koopman算子作用下具有极为简单的演化关系：

观测函数可以由特征函数线性组合构成，即<math>g(\mathbf{x}) \in \mathrm{span}\{\varphi_k\}_{k=1}^K</math>，在Koopman算子作用下具有极为简单的演化关系：