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→傅立叶平均
其中第三步利用了移位后积分上下限对趋于无穷的平均值无影响。因此：<math> \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) = e^{i\omega s} \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}), </math>即 <math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) </math> 是特征值为 <math> e^{i\omega s} </math> 的Koopman特征函数。这样看来，似乎随便取一个<math> \omega</math>，就可以得到一个特征值和特征函数，它们都是有意义的吗？实际上，很多<math> \omega</math>会使得<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x})</math>恒等于0，这就没有意义了，所以我们要关注的是那些特征函数不恒等于0的<math> \omega</math>及其对应的特征值。
其中第三步利用了移位后积分上下限对趋于无穷的平均值无影响。因此：<math> \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) = e^{i\omega s} \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}), </math>即 <math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) </math> 是特征值为 <math> e^{i\omega s} </math> 的Koopman特征函数。这样看来，似乎随便取一个<math> \omega</math>，就可以得到一个特征值和特征函数，它们都是有意义的吗？实际上，很多<math> \omega</math>会使得<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x})</math>恒等于0，这就没有意义了，所以我们要关注的是那些特征函数不恒等于0的<math> \omega</math>及其对应的特征值。
====应用案例：标准映射====
标准映射（Standard Map），又称Chirikov标准映射，是动力系统理论和混沌研究中最经典、最基础的二维离散映射之一。它通过一组简单的迭代方程：
<math> \begin{cases} y_{n+1} = [y_n + \epsilon \sin(2\pi x_n)] \;\mathrm{mod}\; 1 \\\\ x_{n+1} = [x_n + y_{n+1}] \;\mathrm{mod}\; 1 \end{cases} </math>
它描述了非线性扰动下保面积[[哈密顿系统]]的相空间动力学。标准映射体现了系统从有序到混沌的逐渐演化，广泛用于研究混沌现象、KAM理论和分形结构，是理解非线性动力学的重要模型。现在我们给出一个观测函数<math> g(x,\,y) = \sin(6\pi x)\,\sin(4\pi y) </math>，便可以画出根据傅立叶平均方法得到的特征值为1的特征函数在相空间上的分布，如下图所示：
[[文件:Standardmap.png|301x301像素|替代=]]
===数据回归===
===数据回归===