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→Koopman算子定义
==时间离散==
==时间离散==
离散时间场景适用于状态演化由离散映射描述的系统，如采样数据系统、迭代过程、数字控制中的离散时间模型等，是实际工程中数据驱动建模的常用场景。
设离散时间自治动力系统的状态演化满足：
<math> x_{k+1} = F(x_k), \quad x_0 \in X </math>
其中 <math> k = 0, 1, 2, \dots </math>是离散时间步，<math> F: X \to X </math>是离散流映射（可能非线性）， <math> x_{k+1} </math>是第<math> k+1 </math> 步的状态。
离散时间Koopman算子 <math> \mathcal{K}: \mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math>定义为：
<math> \mathcal{K} g(x) = g\left( F(x) \right) </math>
对于 <math> t = m </math>个离散时间步<math> m \in \mathbb{N} </math>，算子可表示为<math> \mathcal{K}^m g(x) = g\left( F^m(x) \right) </math>，即 m 次算子作用等价于 m 次状态演化后的观测，其中<math> F^m = F \circ F \circ \dots \circ F </math> （m次复合）。
式中，<math> g(x) </math>是任意观测函数（输入）； <math> F(x) </math>是离散流映射，将第 k 步状态<math> x_k </math> 映射到第 k+1 步状态 <math> x_{k+1} </math>； <math> g\left( F(x) \right) </math>是观测函数的演化结果（输出），表示“先让状态 x 演化1个离散步，再对演化后的状态进行观测”。
离散Koopman算子有如下特性：
1. 线性性：满足<math> \mathcal{K} (\alpha_1 g_1 + \alpha_2 g_2) = \alpha_1 \mathcal{K} g_1 + \alpha_2 \mathcal{K} g_2 </math> ；
2. 半群性质：<math> \mathcal{K}^{m+n} = \mathcal{K}^m \circ \mathcal{K}^n </math>（ m 步+ n 步演化等价于 m+n 步演化）；
3. 特征函数关系：若<math> \varphi </math>是<math> \mathcal{K} </math> 的特征函数（满足<math> \mathcal{K} \varphi = \lambda \varphi </math>，则<math> \mathcal{K}^m \varphi = \lambda^m \varphi </math> ，即特征函数的演化仅需乘以特征值的 m 次幂——这是离散时间下线性化分析的核心。
==时间连续==
==时间连续==
连续时间场景适用于状态演化由常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）描述的系统，如连续运动的机械系统、流体流动等。
=Koopman模式分解=
=Koopman模式分解=