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==时间连续==
==时间连续==
连续时间场景适用于状态演化由常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）描述的系统，如连续运动的机械系统、流体流动等。
连续时间场景适用于状态演化由常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）描述的系统，如连续运动的机械系统、流体流动等。
设连续时间自治动力系统的状态演化满足：
<math> \dot{x}(t) = f(x(t)), \quad x(0) = x_0 \in X </math>
其中<math> \dot{x} = \frac{dx}{dt} </math>是状态的时间导数，<math> f: X \to \mathbb{R}^n </math>是描述动力学的向量场（可能非线性）。
连续时间Koopman算子<math> \mathcal{K}^t: \mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math> 定义为：
<math> \mathcal{K}^t g(x) = g\left( F^t(x) \right) </math>
式中， <math> \mathcal{K}^t </math>为连续时间Koopman算子，参数<math> t </math> 表示演化时间长度； <math> g(x) </math>为任意观测函数（输入），如 <math> g(x) = x_1 </math>（状态第一分量）、<math> \varphi </math>（状态模长平方）； <math> F^t(x) </math>为流映射，将初始状态 <math> x </math>沿动力学轨迹推进时间 <math> t </math>，即 <math> F^t(x) = x(t) </math>； <math> g\left( F^t(x) \right) </math>为观测函数的演化结果（输出），表示“先让状态<math> x </math>演化时间 <math> t
</math>，再对演化后的状态进行观测”；<math> \mathcal{K}^t </math>不改变观测函数的形式，仅通过流映射<math> F^t </math> 改变观测函数的输入（状态），从而实现观测函数的“被动演化”。
<nowiki>####</nowiki> （2）无穷小生成元（Lie算子）
对于光滑的观测函数 <math> g </math>，连续时间Koopman算子的瞬时演化<math> t \to 0 </math>可通过无穷小生成元 <math> \mathcal{L} </math>描述，定义为：
<math> \mathcal{L} g = \lim_{t \to 0} \frac{\mathcal{K}^t g - g}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{g \circ F^t - g}{t} </math>
其中 <math> g \circ F^t = g(F^t(x)) </math>是函数复合运算。
结合链式法则，生成元可简化为Lie导数形式（核心等价式）：
<math> \mathcal{L} g(x) = \nabla g(x) \cdot f(x) </math>
式中， <math> \nabla g(x) </math>为观测函数<math> g </math> 在状态<math> x </math> 处的梯度（ <math> n </math>维向量），即 <math> \nabla g = \left( \frac{\partial g}{\partial x_1 </math>，<math> \frac{\partial g}{\partial x_2 </math>， <math> \dots, \frac{\partial g}{\partial x_n} \right)^T </math> ；<math> f(x) </math> 为系统的向量场，描述状态的瞬时变化率； <math> \cdot </math>为向量点积，结果为标量；生成元 <math> \mathcal{L} g </math>表示观测函数 <math> g </math>随状态演化的瞬时变化率，即<math> \mathcal{L} g(x) = \frac{d}{dt} g(x(t)) </math> 。
连续Koopman算子有如下特性：
1. 线性性：对任意观测函数 <math> g_1, g_2 \in \mathcal{G}(X) </math>和常数<math> \alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{C} </math> ，满足： <math> \mathcal{K}^t (\alpha_1 g_1 + \alpha_2 g_2) = \alpha_1 \mathcal{K}^t g_1 + \alpha_2 \mathcal{K}^t g_2 </math>生成元<math> \mathcal{L} </math> 同样满足线性性；
2. 半群性质：<math> \mathcal{K}^{t+s} = \mathcal{K}^t \circ \mathcal{K}^s </math>（先演化 <math> s </math> 再演化 <math> t </math>，等价于直接演化 <math> t+s </math>；
3. 与Koopman特征函数的关系：若<math> \varphi </math> 是 <math> \mathcal{L} </math>的特征函数（满足<math> \mathcal{L} \varphi = \mu \varphi </math> ，则 <math> \mathcal{K}^t \varphi = e^{\mu t} \varphi </math>，即 <math> \varphi </math> 也是 <math> \mathcal{K}^t </math>的特征函数，特征值 <math> \lambda = e^{\mu t} </math>。
=Koopman模式分解=
=Koopman模式分解=