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=Koopman算子应用的简单案例=
=Koopman算子应用的简单案例=
这里，我们引用Tu等人
<ref name=Tu_2014>J. H. Tu, C. W. Rowley, D. M. Luchtenburg, S. L. Brunton, and J. N. Kutz, On dynamic mode decomposition: Theory and applications, J. Comput. Dynam., 1 (2014), pp. 391--421. (Cited on pp. 247, 249, 250, 251, 256, 257, 261, 263, 284, 289, 292)</ref>
[435]和Brunton等人<ref name=Brunton_2016>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, and J. N. Kutz, Koopman invariant subspaces and finite linear representations of nonlinear dynamical systems for control, PLoS ONE, 11 (2016), art. e0150171. (Cited on pp. 234, 247, 248, 254, 284, 285, 286, 288, 295, 308, 309, 312, 318)</ref>[62]详细研究过的一个具有单个不动点的示例系统，其方程为：
<math> \dot{\mathbf{x}}_1 = μx_1 </math>
<math> \dot{\mathbf{x}}_2 = (x_2 - x_1^2 </math>
当 λ<μ<0时，系统会表现出一个缓慢的吸引流形，方程为 <math> x_2 = x_1^2 </math>
我们可以通过引入一个非线性测量 <math> g = x_1^2 </math>
来扩充状态x，从而定义一个三维的Koopman不变子空间。在这些新坐标下，动态系统变成了线性系统：
<math>
\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} μ \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}
</math>
（原文提及：完整的三维Koopman可观测量向量空间在图2.3中可视化。）
Koopman算子的左特征向量可以产生Koopman本征函数。 对应于特征值μ和 λ的Koopman本征函数为：
<math> g = x_1 </math>
和
<math> g = x_2 - bx_1^2 </math>
通过这种方式，可以从Koopman算子在不变子空间上的矩阵表示的左特征向量所定义的可观测量函数中，确定出一组本征坐标。明确地说：
这些本征可观测量定义了在Koopman算子下保持不变的可观测量子空间，即使在坐标变换后也是如此。因此，它们可以被视为Koopman不变子空间上的本征坐标[448]。
=数据驱动算法=
=数据驱动算法=