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当 λ<μ<0时，系统会表现出一个缓慢的吸引流形，方程为 <math> x_2 = x_1^2 </math>，
当 λ<μ<0时，系统会表现出一个缓慢的吸引流形，方程为 <math> x_2 = x_1^2 </math>，
我们可以通过引入一个非线性测量 <math> g = x_1^2 </math> 来扩充状态x，从而定义一个三维的Koopman不变子空间。在这些新坐标下，动态系统变成了线性系统：
我们可以通过引入一个非线性测量 <math> g = x_1^2 </math> 来扩充状态<math> x </math>，从而定义一个三维的Koopman不变子空间。在这些新坐标下，动态系统变成了线性系统：
<math>
<math>
通过这种方式，可以从Koopman算子在不变子空间上的矩阵表示的左特征向量所定义的可观测量函数中，确定出一组本征坐标。明确地说：
通过这种方式，可以从Koopman算子在不变子空间上的矩阵表示的左特征向量所定义的可观测量函数中，确定出一组本征坐标。明确地说：
<math>\displaystyle{ \varphi_α(x)) }= displaystyle{ξ_α(z(x)) }
<math>\displaystyle{ \varphi_α(x)) } = \boldsymbol{\xi}^\top_α(z(x))
</math>
</math>
其中
<math>
\boldsymbol{\xi}^\top_α(K) = α \boldsymbol{\xi}^\top_α
</math>
因为
<math>
\mathcal{K}\varphi(\mathbf{x}) = \varphi(\mathbf{A}\mathbf{x}) = \boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{A}\mathbf{x} = \lambda \boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{x} = \lambda \varphi(\mathbf{x}).
</math>
这些本征可观测量定义了在Koopman算子下保持不变的可观测量子空间，即使在坐标变换后也是如此。因此，它们可以被视为Koopman不变子空间上的本征坐标<ref name=TWilliams_2015>
这些本征可观测量定义了在Koopman算子下保持不变的可观测量子空间，即使在坐标变换后也是如此。因此，它们可以被视为Koopman不变子空间上的本征坐标<ref name=TWilliams_2015>