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→动力学模式分解（DMD）
动力学模式分解是对Koopman模式分解的一种近似。这意味着，DMD的特征值将近似Koopman算子的特征值，DMD中的模式将近似Koopman算子的模式，DMD中的振幅将近似Koopman算子特征函数在初始条件下的取值。
动力学模式分解是对Koopman模式分解的一种近似。这意味着，DMD的特征值将近似Koopman算子的特征值，DMD中的模式将近似Koopman算子的模式，DMD中的振幅将近似Koopman算子特征函数在初始条件下的取值。
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\title{动态模分解 (DMD) 算法详解 \\ {\large 基于 Koopman 理论}}
\author{小白指南}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\section{核心思想：Koopman 算子}
Koopman 算子提供了一个分析非线性动力学的革命性视角：
\begin{itemize}
\item \textbf{传统视角：} 直接观察系统状态 $\vecx(t)$ 的演化，其动力学通常是非线性的：$\vecx_{k+1} = f(\vecx_k)$。
\item \textbf{Koopman 视角：} 不直接看状态本身，而是去观察系统的\textbf{观测函数} $g(\vecx)$。在这个由观测函数张成的无限维空间上，系统的演化是\textbf{线性的}，由一个线性算子 $\mathcal{K}$（即 Koopman 算子）描述：
\[
\mathcal{K} g(\vecx_k) = g(f(\vecx_k)) = g(\vecx_{k+1})
\]
\end{itemize}
动态模分解 (DMD) 是 Koopman 算子的一种数据驱动的、有限维近似方法。
\section{DMD 算法详细步骤}
假设我们有一系列按时间排列的数据快照 $\{\vecx_1, \vecx_2, \dots, \vecx_{m+1}\}$，其中 $\vecx_k \in \mathbb{R}^n$。目标是找到一个矩阵 $\matA$ 使得 $\vecx_{k+1} \approx \matA \vecx_k$。
\subsection{步骤 1：组建数据矩阵}
构建两个数据矩阵：
\[
\matX = [\vecx_1\ \vecx_2\ \cdots\ \vecx_m], \quad \matXp = [\vecx_2\ \vecx_3\ \cdots\ \vecx_{m+1}]
\]
目标关系为：
\[
\matXp \approx \matA \matX
\]
\subsection{步骤 2：奇异值分解 (SVD)}
对矩阵 $\matX$ 进行截断的 SVD（取秩 $r$）：
\[
\matX \approx \matU_r \matS_r \matV_r\hermitian
\]
其中 $\matU_r \in \mathbb{R}^{n \times r}$, $\matS_r \in \mathbb{R}^{r \times r}$, $\matV_r \in \mathbb{R}^{m \times r}$，且 $\matU_r\hermitian \matU_r = \matV_r\hermitian \matV_r = \mathbf{I}_r$。
\subsection{步骤 3：在降维空间计算 $\matAt$}
将高维算子 $\matA$ 投影到 SVD 得到的低维空间上，得到简化算子 $\matAt$：
\[
\matAt = \matU_r\hermitian \matA \matU_r = \matU_r\hermitian \matXp \matV_r \matS_r^{-1}
\]
$\matAt \in \mathbb{R}^{r \times r}$ 是 $\matA$ 的低秩近似。
\subsection{步骤 4：特征分解}
求解简化系统 $\matAt$ 的特征值和特征向量：
\[
\matAt \matW = \matW \matL
\]
其中 $\matL$ 是对角矩阵，其对角线元素为特征值 $\lambda_i$，$\matW$ 的列是对应的特征向量。
\subsection{步骤 5：重建 DMD 模式}
将降维空间的特征向量 $\matW$ 映射回原始状态空间，得到 DMD 模式 $\matPhi$：
\[
\matPhi = \matXp \matV_r \matS_r^{-1} \matW
\]
$\matPhi$ 的每一列是一个 DMD 模式，代表了数据中一种特定的空间结构。
\subsection{步骤 6：预测与重构}
任何时刻的状态可由 DMD 模式的线性组合来重构：
\[
\vecx_k \approx \matPhi \matL^{k-1} \vecb
\]
其中振幅向量 $\vecb$ 由初始条件确定：$\vecb = \matPhi^{\dagger} \vecx_1$（$^{\dagger}$ 表示 Moore-Penrose 伪逆）。
\section{简单示例：叠加正弦波}
考虑一个一维信号，由两个衰减正弦波叠加而成：
\[
x(t) = 2 e^{-0.1 t} \sin(2\pi \cdot 1 \cdot t) + 0.5 e^{-0.5 t} \sin(2\pi \cdot 5 \cdot t)
\]
\subsection{应用 DMD}
\begin{enumerate}
\item \textbf{采样：} 以 100 Hz 频率采样，得到数据快照 $\vecx_k = x(t_k)$。
\item \textbf{构建 $\matX, \matXp$}。
\item \textbf{SVD：} 由于主导动态只有两个，取 $r=2$。SVD 将识别出两个主要模式。
\item \textbf{计算 $\matAt$ 和特征值：} 会得到两个特征值 $\lambda_1, \lambda_2$。从其幅角和幅值可解码动态：
\begin{align*}
\omega_1 &= \frac{\text{angle}(\lambda_1)}{2\pi \Delta t} \approx 1 \text{ Hz} \\
\omega_2 &= \frac{\text{angle}(\lambda_2)}{2\pi \Delta t} \approx 5 \text{ Hz} \\
\text{衰减率}_1 &= \frac{\log(|\lambda_1|)}{\Delta t} \approx -0.1 \\
\text{衰减率}_2 &= \frac{\log(|\lambda_2|)}{\Delta t} \approx -0.5
\end{align*}
\item \textbf{DMD 模式：} $\matPhi$ 中的两列将分别近似于纯净的 $1$ Hz 和 $5$ Hz 衰减正弦波。
\item \textbf{振幅：} 初始振幅 $\vecb$ 的计算结果将接近 $[2, 0.5]^T$。
\end{enumerate}
DMD 成功地从混合信号中分离出了频率、衰减率和振幅这两个独立的动态模式。
\end{document}
==扩展DMD==
==扩展DMD==