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==时间离散==

==时间离散==

离散时间场景适用于状态演化由离散映射描述的系统，如采样数据系统、迭代过程、数字控制中的离散时间模型等，是实际工程中数据驱动建模的常用场景。  

离散时间场景适用于状态演化由离散映射描述的系统，如采样数据系统、迭代过程、数字控制中的离散时间模型等，是实际工程中数据驱动建模的常用场景。 设离散时间自治动力系统的状态演化满足<ref name="koopman_1931" /><ref name="koop_v_1932" /><ref name="brunton_2022" />：  

 

设离散时间自治动力系统的状态演化满足<ref name="koopman_1931" /><ref name="koop_v_1932" /><ref name="brunton_2022" />：  

<math> x_{k+1} = F(x_k), \quad x_0 \in X </math>

<math> x_{k+1} = F(x_k), \quad x_0 \in X </math>

其中 <math> k = 0, 1, 2, \dots </math>是离散时间步，<math> F: X \to X </math>是离散流映射（可能非线性）， <math> x_{k+1} </math>是第<math> k+1 </math> 步的状态。

其中 <math> k = 0, 1, 2, \dots </math>是离散时间步，<math> F: X \to X </math>是离散流映射（可能非线性）， <math> x_{k+1} </math>是第<math> k+1 </math> 步的状态。离散时间Koopman算子 <math> \mathcal{K}: \mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math>定义为：  

 

离散时间Koopman算子 <math> \mathcal{K}: \mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math>定义为：  

<math> \mathcal{K} g(x) = g\left( F(x) \right) </math>

<math> \mathcal{K} g(x) = g\left( F(x) \right) </math>