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在这种情况下，DMD会预测出一个伪特征值3，这实际上是前两个特征值<math>\lambda=1</math>和<math>\lambda=2</math>的和，因为测量是前两个特征向量之和。因此，正如下文所述，采用验证与交叉验证技术以避免eDMD模型过拟合是非常重要的。

在这种情况下，DMD会预测出一个伪特征值3，这实际上是前两个特征值<math>\lambda=1</math>和<math>\lambda=2</math>的和，因为测量是前两个特征向量之和。因此，正如下文所述，采用验证与交叉验证技术以避免eDMD模型过拟合是非常重要的。

Koopman算子的特征函数形成了Koopman不变子空间，并为动力学提供了理想的基底或坐标系来表示其演化。然而，Koopman特征函数在标准基底中可能没有有限的表达。因此，这些特征函数可能只能通过给定的观测函数来近似表示。我们可以将一个特征函数<math>\varphi(\mathbf{x})</math>用函数集合<math>{g_k(\mathbf{x})}_{k=1}^p</math>展开近似为：

Koopman算子的特征函数形成了Koopman不变子空间，并为动力学提供了理想的基底或坐标系来表示其演化。这些特征函数可以通过给定的观测函数来近似表示。我们可以将一个特征函数<math>\varphi(\mathbf{x})</math>用函数集合<math>{g_k(\mathbf{x})}_{k=1}^p</math>展开近似为：

<math> \varphi(\mathbf{x}) \approx \sum_{k=1}^{p} \xi_k g_k(\mathbf{x}) = \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{g}(\mathbf{x}) </math>

<math> \varphi(\mathbf{x}) \approx \sum_{k=1}^{p} \xi_k g_k(\mathbf{x}) = \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{g}(\mathbf{x}) </math>

<math> \lambda \boldsymbol{\xi}^T = \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{Z}' \mathbf{Z}^\dagger </math>

<math> \lambda \boldsymbol{\xi}^T = \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{Z}' \mathbf{Z}^\dagger </math>

特征函数<math>\varphi(\mathbf{x})</math>是由<math>\mathbf{Z}' \mathbf{Z}^\dagger</math>的左eDMD特征向量<math>\boldsymbol{\xi}^T</math>构成的，在基底<math>{g_k(\mathbf{x})}_{k=1}^p</math>下，<math>\varphi \approx \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}</math>。右特征向量是eDMD模态，与DMD模态类似。

特征函数<math>\varphi(\mathbf{x})</math>是由<math>\mathbf{Z}' \mathbf{Z}^\dagger</math>的左eDMD特征向量<math>\boldsymbol{\xi}^T</math>构成的，在观测函数<math>{g_k(\mathbf{x})}_{k=1}^p</math>下，<math>\varphi \approx \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}</math>。右特征向量是eDMD模态，与DMD模态类似。

必须确认预测到的特征函数在轨迹上确实表现为线性，这可以通过与预测动力学<math>\varphi(\mathbf{x}_{k+1}) = \lambda \varphi(\mathbf{x}_k)</math>进行比较来实现，因为上述回归会导致伪特征值和伪特征向量，除非基底函数<math>g_k</math>张成了Koopman不变子空间。

必须确认预测到的特征函数在轨迹上确实表现为线性，这可以通过与预测动力学<math>\varphi(\mathbf{x}_{k+1}) = \lambda \varphi(\mathbf{x}_k)</math>进行比较来实现，因为上述回归会导致伪特征值和伪特征向量，除非观测函数<math>g_k</math>张成了Koopman不变子空间。

通常会将原始状态<math>\mathbf{x}</math>也包含在扩展eDMD向量<math>\mathbf{z}</math>中。然而，有研究表明，对于包含多个固定点、周期轨道或其他吸引子的系统，如果在eDMD中引入状态<math>\mathbf{x}</math>，会导致封闭性问题。因为这类系统无法在拓扑上与具有单个固定点的有限维线性eDMD系统共轭。例如，图1.1中的Duffing振子系统有三个固定点，因此没有任何有限线性系统可以准确地在这三个点附近拟合状态<math>\mathbf{x}</math>的演化。不过，像哈密顿量这样的特征函数可能能够被准确地展开于基底中。

通常会将原始状态<math>\mathbf{x}</math>也包含在扩展eDMD向量<math>\mathbf{z}</math>中。然而，有研究表明，对于包含多个固定点、周期轨道或其他吸引子的系统，如果在eDMD中引入状态<math>\mathbf{x}</math>，会导致封闭性问题。因为这类系统无法在拓扑上与具有单个固定点的有限维线性eDMD系统共轭。例如，图1.1中的Duffing振子系统有三个固定点，因此没有任何有限线性系统可以准确地在这三个点附近拟合状态<math>\mathbf{x}</math>的演化。不过，像哈密顿量这样的特征函数可能能够被准确地展开。

因此，区分出准确和伪特征函数对于eDMD来说至关重要；通常对应弱阻尼特征值的特征函数更容易被准确近似，因为它们在数据中具有显著特征。

因此，区分出准确和伪特征函数对于eDMD来说至关重要；通常对应弱阻尼特征值的特征函数更容易被准确近似，因为它们在数据中具有显著特征。