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第230行：
第230行： − （2.40） − （原文提及：完整的三维Koopman可观测量向量空间在图2.3中可视化。）+ − − [[文件:Exampleph.png|410x410px|替代=]] − − 图 2.3 来自公式 (2.40) 的三维线性库普曼系统的可视化，以及其动力学在 x1-x2 平面上的投影。 − + + − y 坐标下的线性库普曼系统的黑色轨迹投影到 y1-y2 平面上，即对应着 x 坐标下的完整非线性系统的轨迹。+ − 此处参数为 μ = -0.05，λ = 1。（经 Brunton 等人 [62] 许可转载。）
→Koopman算子应用的简单案例
当 λ<μ<0时，系统会表现出一个缓慢的吸引流形，方程为 <math> x_2 = x_1^2 </math>。我们可以通过引入一个非线性测量 <math> g = x_1^2 </math> 来扩充状态<math> x </math>，从而定义一个三维的Koopman不变子空间。在这些新坐标下，动态系统变成了线性系统：
当 λ<μ<0时，系统会表现出一个缓慢的吸引流形，方程为 <math> x_2 = x_1^2 </math>。我们可以通过引入一个非线性测量 <math> g = x_1^2 </math> 来扩充状态<math> x </math>，从而定义一个三维的Koopman不变子空间。在这些新坐标下，动态系统变成了线性系统：
<math>
<math>
\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} μ & 0 & 0 \\ 0 & λ & -λ \\ 0 & 0 & 2μ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}
\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} μ & 0 & 0 \\ 0 & λ & -λ \\ 0 & 0 & 2μ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}
</math> ， 其中<math> \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_1^2 \end{bmatrix} </math>
</math> ， 其中<math> \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_1^2 \end{bmatrix} </math>
下图是该公式的三维线性系统的可视化，以及其动力学在 x1-x2 平面上的投影。
·红色表示吸引慢流形。
·红色表示吸引慢流形。
·蓝色表示约束 <math> \ y_3 = y_1^2 </math> 。
·蓝色表示约束 <math> \ y_3 = y_1^2 </math> 。
·绿色表示 (2.40) 的慢不稳定子空间。
·绿色表示 (2.40) 的慢不稳定子空间。
y 坐标下的线性系统的黑色轨迹投影到 y1-y2 平面上，即对应着 x 坐标下的完整非线性系统的轨迹。
此处参数为 μ = -0.05，λ = 1。（经 Brunton 等人 [62] 许可转载。）
[[文件:Exampleph.png|410x410px|替代=]]
Koopman算子的左特征向量可以产生Koopman本征函数。 对应于特征值μ和 λ的Koopman本征函数为：
Koopman算子的左特征向量可以产生Koopman本征函数。 对应于特征值μ和 λ的Koopman本征函数为：