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第304行：
第304行： − + + + + − U：左奇异向量矩阵，包含了数据的主要空间模式。+ − Σ：奇异值矩阵（对角矩阵），表示这些模式的重要性。+ − + + + − + − + − + + − Ã的特征向量 W 是在降维空间里的。我们需要把它们映射回原始空间，得到真正的空间模式 Φ。+ − + − + + + + − xₖ ≈ Φ Λᵏ⁻¹ b+ − b 是初始振幅向量，可以通过初始条件 x₁求得： b = Φ⁺ x₁（⁺ 表示伪逆）。+ − + + +
→DMD算法的详细步骤
那么，整个矩阵关系可以写为： <math>X’ ≈ A X</math>
那么，整个矩阵关系可以写为： <math>X’ ≈ A X</math>
3.求解A（使用奇异值分解，SVD）
3.求解A（使用奇异值分解，SVD）
直接求A很困难（因为数据维度可能很高）。
直接求A很困难（因为数据维度可能很高）。
DMD 的巧妙之处在于，它不去直接计算庞大的 A，而是寻找其主导的特征值和特征模式。
DMD 的巧妙之处在于，它不去直接计算庞大的 A，而是寻找其主导的特征值和特征模式。
对矩阵X进行奇异值分解（SVD）：<math> X = U Σ V*</math>
对矩阵X进行奇异值分解（SVD）：<math> X = U Σ V*</math>
<math>U</math>：左奇异向量矩阵，包含了数据的主要空间模式。
<math>Σ</math>：奇异值矩阵（对角矩阵），表示这些模式的重要性。
V*：右奇异向量矩阵的共轭转置，包含了时间动力学的信息。
<math>V*</math>：右奇异向量矩阵的共轭转置，包含了时间动力学的信息。
SVD 可以帮我们降维，只保留前 r个重要的模式（即低秩近似）。
SVD 可以帮我们降维，只保留前 r个重要的模式（即低秩近似）。
4.在降维空间计算 Ã
4.在降维空间计算 Ã
庞大的A矩阵可以被投影到降维后的空间（由 U 的列张成）上，得到一个简化的小矩阵 Ã。
庞大的A矩阵可以被投影到降维后的空间（由 U 的列张成）上，得到一个简化的小矩阵 Ã。
公式为：<math> Ã = U* X' V Σ⁻¹ </math>
公式为：<math> Ã = U* X' V Σ⁻¹ </math>
à 可以看作是 A 在主要模式上的一个“精华版”。
à 可以看作是 A 在主要模式上的一个“精华版”。
5.计算 Ã 的特征值和特征向量
5.计算 Ã 的特征值和特征向量
求解 Ã 的特征分解： Ã W = W Λ
Λ 是一个对角矩阵，其对角线元素就是特征值 λᵢ。这些特征值决定了每个模式的动态行为（增长/衰减/振荡的频率）。
求解 Ã 的特征分解： <math>Ã W = W Λ</math>
W 的列是对应的特征向量。
<math>Λ</math> 是一个对角矩阵，其对角线元素就是特征值 <math>λᵢ</math>。这些特征值决定了每个模式的动态行为（增长/衰减/振荡的频率）。
<math>W</math>的列是对应的特征向量。
6.重建 DMD 模式（Spatial Modes）
6.重建 DMD 模式（Spatial Modes）
公式为： Φ = X' V Σ⁻¹ W
<math>Ã</math>的特征向量<math>W</math>是在降维空间里的。我们需要把它们映射回原始空间，得到真正的空间模式 <math>Φ</math>。
Φ 的每一列就是一个 DMD 模式。它代表了数据中一种特定的空间结构。
公式为： <math>Φ = X' V Σ⁻¹ W </math>
<math>Φ</math>的每一列就是一个 DMD 模式。它代表了数据中一种特定的空间结构。
7.预测与重构
7.预测与重构
任何一个时间点的状态都可以用这些 DMD 模式的线性组合来近似表示：
任何一个时间点的状态都可以用这些 DMD 模式的线性组合来近似表示：
<math>x_k ≈ Φ Λᵏ⁻¹ b </math>
Λᵏ⁻¹ 中的特征值 λᵢ决定了第 i个模式随时间如何演化。|λ|>1模式增长，|λ|<1模式衰减，λ是复数则产生振荡。
b是初始振幅向量，可以通过初始条件 <math>x_1</math>求得： <math>b = Φ⁺ x_1（⁺ 表示伪逆）</math>。
<math>Λᵏ⁻¹</math> 中的特征值 <math>λᵢ</math>决定了第 i个模式随时间如何演化。<math>|λ|>1</math>模式增长，<math>|λ|<1</math>模式衰减，λ是复数则产生振荡。
==扩展DMD==
==扩展DMD==