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Koopman理论 (查看源代码)

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式中， <math> \nabla g(x) </math>为观测函数<math> g </math> 在状态<math> x </math> 处的梯度（ <math> n </math>维向量），即 <math> \nabla g = \left( \frac{\partial g}{\partial x_1},\frac{\partial g}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial g}{\partial x_n} \right)^T </math> ；<math> f(x) </math> 为系统的向量场，描述状态的瞬时变化率； <math> \cdot </math>为向量点积，结果为标量；生成元 <math> \mathcal{L} g </math>表示观测函数 <math> g </math>随状态演化的瞬时变化率，即<math> \mathcal{L} g(x) = \frac{d}{dt} g(x(t)) </math> 。

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~~连续Koopman算子有如下特性<ref name="brunton_2022" />：~~

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1. 线性性：对任意观测函数 <math> g_1, g_2 \in \mathcal{G}(X) </math>和常数<math> \alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{C} </math> ，满足： <math> \mathcal{K}^t (\alpha_1 g_1 + \alpha_2 g_2) = \alpha_1 \mathcal{K}^t g_1 + \alpha_2 \mathcal{K}^t g_2 </math>生成元<math> \mathcal{L} </math> 同样满足线性性；

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~~2. 半群性质：<math> \mathcal{K}^{t+s} = \mathcal{K}^t \circ \mathcal{K}^s </math>（先演化 <math> s </math> 再演化 <math> t </math>，等价于直接演化 <math> t+s </math>；~~

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3. 与Koopman特征函数的关系：若<math> \varphi </math> 是 <math> \mathcal{L} </math>的特征函数（满足<math> \mathcal{L} \varphi = \mu \varphi </math> ，则 <math> \mathcal{K}^t \varphi = e^{\mu t} \varphi </math>，即 <math> \varphi </math> 也是 <math> \mathcal{K}^t </math>的特征函数，特征值 <math> \lambda = e^{\mu t} </math>（详细过程见下文Koopman模式分解）。

== 随机动力系统 ==

念

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