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→算法
<math>\min_{\mathcal{K}_{\text{EDMD}}} \int_X \sum_{i=1}^p |r_i(x)|^2 d\mu(x)</math>。
<math>\min_{\mathcal{K}_{\text{EDMD}}} \int_X \sum_{i=1}^p |r_i(x)|^2 d\mu(x)</math>。
===算法===
===算法===
下面介绍三个相关的算法，算法依托ResDMD的残差控制机制，避免谱污染，适用于非线性、混沌、高维等复杂动力系统，从特征对提取→伪谱估计→谱测度计算层层递进，覆盖不同谱分析需求。
ResDMD计算无谱污染的特征对算法：从快照数据中提取Koopman算子的准确特征对（特征值+特征函数），核心解决传统EDMD的谱污染问题。
输入：
快照数据：<math>{x^{(j)}\}_{j=1}^M<math>（初始状态）、<math>{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M<math>（下一时刻状态）
积分权重：<math>{w_j\}_{j=1}^M<math>（用于数值积分近似）
观测字典：<math>{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}<math>（刻画系统状态的观测函数集合）
精度目标：<math>epsilon>0<math>（残差阈值）
输出：
准确特征对集合：<math>{(\lambda_j, g_j) \mid res(\lambda_j, g_j) \leq \epsilon\}<math>（<math>\lambda_j<math>为特征值，<math>g_j<math>为近似特征函数）
算法过程：
1. 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X<math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y<math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y<math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y<math>为字典在<math>x/y<math>上的取值矩阵，<math>W<math>为权重对角矩阵）。
2. 求解广义特征值问题：<math>(\Psi_X^* W \Psi_Y)g = \lambda(\Psi_X^* W \Psi_X)g<math>，得到候选特征对。
3. 计算每个候选特征对的残差<math>res(\lambda_j, g_j)<math>（衡量特征对与真实Koopman算子的契合度）。
4. 丢弃残差大于<math>\epsilon<math>的伪特征对，保留满足精度的有效特征对。
核心用处：
提取Koopman算子的离散谱（特征值）及对应特征函数，无虚假特征值污染。
适用于需要明确系统主导模态的场景（如流体动力学中的振荡模态、分子动力学中的关键运动模式）。
ResDMD计算ε-伪谱估计算法：扩展算法2的功能，计算Koopman算子的<math>\epsilon<math>-伪谱，弥补特征值无法反映的非正规算子暂态行为和谱分布信息。
输入：
快照数据：<math>{x^{(j)}\}_{j=1}^M<math>（初始状态）、<math>{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M<math>（下一时刻状态）
积分权重：<math>{w_j\}_{j=1}^M<math>（用于数值积分近似）
观测字典：<math>{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}<math>（刻画系统状态的观测函数集合）
精度目标：<math>epsilon>0<math>（残差阈值）
复平面网格：<math>\{z_1,...,z_k\} \subset \mathbb{C}<math>（待评估的谱区域网格点）
输出
<math>\epsilon$-伪谱估计：$\{z_j \mid \tau_j < \epsilon\}<math>（<math>\tau_j<math>为网格点$z_j$的最小残差）
近似特征函数：<math>\{g_j \mid \tau_j < \epsilon\}<math>（对应伪谱区域的<math>\epsilon<math>-近似特征函数）
算法过程
1. 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X<math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y<math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y<math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y<math>为字典在<math>x/y<math>上的取值矩阵，<math>W<math>为权重对角矩阵）。
2. 对每个网格点<math>z_j<math>，求解最小残差<math>\tau_j = \min_{g \in \mathbb{C}^{N_K}} res(z_j, \Psi g)<math>（转化为广义SVD问题）。
3. 筛选出最小残差<math>\tau_j < \epsilon<math>的网格点，构成<math>\epsilon<math>-伪谱。
核心用处：
检测谱污染：区分真实谱区域与虚假特征值。
刻画非正规系统：伪谱可反映系统暂态行为（如湍流的短期演化、混沌系统的局部稳定性）。
验证特征值可靠性：位于伪谱内的特征值才是可信的。
===例子===
===例子===