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===例子===

===例子===

本实验通过高斯迭代映射，证明 ResDMD 在处理复杂非线性动力学时的普适性，为后续高维系统的谱分析奠定方法基础。

本实验通过高斯迭代映射，证明 ResDMD 在处理复杂非线性动力学时的普适性，为后续高维系统的谱分析奠定方法基础。

高斯迭代映射是一类具有复杂非线性动力学行为的实值动力系统，其典型形式为<math>F(x) = \exp(-\alpha x^2) + \beta</math>，因分岔图呈现类似 “鼠标” 的特征而成为验证非线性算法的经典案例。该映射的非线性源于指数项<math>\exp(-\alpha x^2)</math>，当参数<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>取特定值时，系统会表现出从周期运动到复杂分岔的过渡，其 Koopman 算子的谱结构包含离散特征值与潜在的连续谱成分，对算法的谱分辨能力提出挑战。  

高斯迭代映射是一类具有复杂非线性动力学行为的实值动力系统，其典型形式为<math>F(x) = \exp(-\alpha x^2) + \beta</math>，因分岔图呈现类似 “鼠标” 的特征而成为验证非线性算法的经典案例。该映射的非线性源于指数项<math>\exp(-\alpha x^2)</math>，当参数<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>取特定值时，系统会表现出从周期运动到复杂分岔的过渡，其 Koopman 算子的谱结构包含离散特征值与潜在的连续谱成分，对算法的谱分辨能力提出挑战。  

实验采用的高斯迭代映射定义为：

实验采用的高斯迭代映射定义为：

<math>F(x) = \exp(-\alpha x^2) + \beta</math>

<math>F(x) = \exp(-\alpha x^2) + \beta</math>

式中，<math>\alpha=2</math>控制指数项的非线性强度，使系统呈现明显的分岔行为，避免动力学过于简单；<math>\beta=-1-\exp(-\alpha)</math>，该取值通过抵消指数项的取值范围，确保系统状态在<math>[-1,0]</math>区间内稳定演化，同时诱导出从周期到分岔的过渡模式。映射的状态空间限制为<math>\Omega=[-1,0]</math>，采用标准勒贝格测度（Lebesgue measure）<math>\omega</math>描述状态分布，符合低维动力系统的常见测度选择，且便于计算 inner product。

式中，<math>\alpha=2</math>控制指数项的非线性强度，使系统呈现明显的分岔行为，避免动力学过于简单；<math>\beta=-1-\exp(-\alpha)</math>，该取值通过抵消指数项的取值范围，确保系统状态在<math>[-1,0]</math>区间内稳定演化，同时诱导出从周期到分岔的过渡模式。映射的状态空间限制为<math>\Omega=[-1,0]</math>，采用标准勒贝格测度（Lebesgue measure）<math>\omega</math>描述状态分布，符合低维动力系统的常见测度选择，且便于计算 inner product。

观测字典设计为准确刻画系统的非线性动力学，实验选用 “移植到<math>[-1,0]</math>区间的勒让德多项式” 作为观测字典，具体形式为：

观测字典设计为准确刻画系统的非线性动力学，实验选用 “移植到<math>[-1,0]</math>区间的勒让德多项式” 作为观测字典，具体形式为：

<math>\psi_j(x) = c_j P_j(2x+1)</math>

<math>\psi_j(x) = c_j P_j(2x+1)</math>

其中：<math>P_j</math>为j次勒让德多项式（在标准区间<math>[-1,1]</math>上正交，适合逼近光滑函数，且计算复杂度低）；<math>2x+1</math>线性变换将原区间<math>[-1,0]</math>映射到勒让德多项式的标准区间<math>[-1,1]</math>，确保基函数的正交性在目标区间内成立；<math>c_j</math>为归一化系数，使字典在<math>L^2(\Omega, \omega)</math>空间内满足<math>\langle \psi_i, \psi_j \rangle = \delta_{ij}</math><math>(\delta_{ij}</math>为克罗内克函数），减少基函数间的冗余干扰。实验中固定字典规模<math>N_K=40</math>，既保证对非线性动力学的逼近精度，又避免因字典过大导致的计算复杂度激增。

其中：<math>P_j</math>为j次勒让德多项式（在标准区间<math>[-1,1]</math>上正交，适合逼近光滑函数，且计算复杂度低）；<math>2x+1</math>线性变换将原区间<math>[-1,0]</math>映射到勒让德多项式的标准区间<math>[-1,1]</math>，确保基函数的正交性在目标区间内成立；<math>c_j</math>为归一化系数，使字典在<math>L^2(\Omega, \omega)</math>空间内满足<math>\langle \psi_i, \psi_j \rangle = \delta_{ij}</math><math>(\delta_{ij}</math>为克罗内克函数），减少基函数间的冗余干扰。实验中固定字典规模<math>N_K=40</math>，既保证对非线性动力学的逼近精度，又避免因字典过大导致的计算复杂度激增。

实验数据为快照对<math>{(x^{(j)}, y^{(j)})\}_{j=1}^M</math>，其中<math>(y^{(j)}=F(x^{(j)})</math>（F为高斯迭代映射），<math>x^{(j)}</math>的采样方式与权重随积分规则变化，共测试 4 类典型积分规则：

实验数据为快照对<math>{(x^{(j)}, y^{(j)})\}_{j=1}^M</math>，其中<math>(y^{(j)}=F(x^{(j)})</math>（F为高斯迭代映射），<math>x^{(j)}</math>的采样方式与权重随积分规则变化，共测试 4 类典型积分规则：

高斯 - 勒让德规则：采样点：移植到<math>[-1,0]</math>的高斯 - 勒让德节点（最优多项式积分节点）；权重：对应规则的标准权重。

高斯 - 勒让德规则：采样点：移植到<math>[-1,0]</math>的高斯 - 勒让德节点（最优多项式积分节点）；权重：对应规则的标准权重。

梯形规则采样点：等距点<math>x^{(j)} = -1 + \frac{j-1}{M-1}</math><math>(j=1,2,...,M)</math>；权重：端点<math>w_1=w_M=\frac{1}{2(M-1)}</math>，中间点<math>w_j=\frac{1}{M-1}</math>。

梯形规则采样点：等距点<math>x^{(j)} = -1 + \frac{j-1}{M-1}</math><math>(j=1,2,...,M)</math>；权重：端点<math>w_1=w_M=\frac{1}{2(M-1)}</math>，中间点<math>w_j=\frac{1}{M-1}</math>。

黎曼和规则采样点：与梯形规则一致；权重：所有权重<math>w_j=\frac{1}{M-1}</math>（不调整端点权重，作为基础对照）。

黎曼和规则采样点：与梯形规则一致；权重：所有权重<math>w_j=\frac{1}{M-1}</math>（不调整端点权重，作为基础对照）。

蒙特卡洛规则采样点：从<math>[-1,0]</math>的均匀分布中随机抽取；权重：所有权重<math>w_j=\frac{1}{M}</math>（模拟高维系统随机采样场景）。

蒙特卡洛规则采样点：从<math>[-1,0]</math>的均匀分布中随机抽取；权重：所有权重<math>w_j=\frac{1}{M}</math>（模拟高维系统随机采样场景）。

左图验证 ResDMD 的谱污染剔除能力，以复平面（横轴<math>Re(\lambda)</math>、纵轴<math>Im(\lambda)</math>）为背景，黑色曲线是伪谱轮廓，分别对应<math>\epsilon=0.001,0.01,0.1,0.3</math>的<math>\epsilon</math>- 伪谱，定义为：<math>\sigma_\epsilon(K) = cl\left(\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \|(K - \lambda)^{-1}\| > 1/\epsilon\}\right)</math>。其中<math>cl(\cdot)</math>表示集合的闭包，K为 Koopman 算子。品红色圆点为传统 EDMD 特征值，大量特征值位于伪谱之外，这些是离散化导致的谱污染（虚假特征值），无法反映系统真实动力学，例如虚部 > 0.5 的特征值对应不存在的高频振荡，与高斯迭代映射的实际动力学矛盾。蓝色叉号为ResDMD 筛选特征值，所有特征值均位于<math>\epsilon=0.01</math>的伪谱内。

左图验证 ResDMD 的谱污染剔除能力，以复平面（横轴<math>Re(\lambda)</math>、纵轴<math>Im(\lambda)</math>）为背景，黑色曲线是伪谱轮廓，分别对应<math>\epsilon=0.001,0.01,0.1,0.3</math>的<math>\epsilon</math>- 伪谱，定义为：<math>\sigma_\epsilon(K) = cl\left(\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \|(K - \lambda)^{-1}\| > 1/\epsilon\}\right)</math>。其中<math>cl(\cdot)</math>表示集合的闭包，K为 Koopman 算子。品红色圆点为传统 EDMD 特征值，大量特征值位于伪谱之外，这些是离散化导致的谱污染（虚假特征值），无法反映系统真实动力学，例如虚部 > 0.5 的特征值对应不存在的高频振荡，与高斯迭代映射的实际动力学矛盾。蓝色叉号为ResDMD 筛选特征值，所有特征值均位于<math>\epsilon=0.01</math>的伪谱内。