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第417行：
第417行： − + + − 其中表示向量的标准欧几里得范数。+ − + + + + + + + + + + + + +
→理论
<math>[\mathcal{K}g](\boldsymbol{x}) = \Psi(F(\boldsymbol{x})) \boldsymbol{g} = \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g}) + \underbrace{\sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(F(\boldsymbol{x})) g_j - \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g})}_{r(g, \boldsymbol{x})}.</math>
<math>[\mathcal{K}g](\boldsymbol{x}) = \Psi(F(\boldsymbol{x})) \boldsymbol{g} = \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g}) + \underbrace{\sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(F(\boldsymbol{x})) g_j - \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g})}_{r(g, \boldsymbol{x})}.</math>
通常情况下，<math>\displaystyle{ V_{N_K} }[/math]并非<math>\displaystyle{ \mathcal{K} }</math>的不变子空间，因此不存在能使<math>\displaystyle{ r(g, \boldsymbol{x} }</math>对所有<math>\displaystyle{ g \in V_{N_K} }</math>和均为零的<math>\displaystyle{ K_{\text{EDMD}} }</math>。此时，EDMD 通过最小化 “残差项<math>\displaystyle{ r(g, \boldsymbol{x}) }</math>的积分范数” 确定<math>\displaystyle{ K_{\text{EDMD}} }</math>，即求解以下优化问题：
通常情况下，<math>V_{N_K}</math>并非<math> \mathcal{K} </math>的不变子空间，因此不存在能使<math>\displaystyle{ r(g, \boldsymbol{x} }</math>对所有<math>\displaystyle{ g \in V_{N_K} }</math>和<math>\boldsymbol{x} \in \Omega</math>均为零的<math>\displaystyle{ K_{\text{EDMD}} }</math>。此时，EDMD 通过最小化 “残差项<math>\displaystyle{ r(g, \boldsymbol{x}) }</math>的积分范数” 确定<math>\displaystyle{ K_{\text{EDMD}} }</math>，即求解以下优化问题：
<math>\displaystyle{ \arg\min_{B \in \mathbb{C}^{N_K \times N_K}} \left\{ \int_{\Omega} \max_{\substack{g \in \mathbb{C}^{N_K}, \\ \|\boldsymbol{g}\|=1}} |r(g, \boldsymbol{x})|^2 d\omega(\boldsymbol{x}) = \int_{\Omega} \|\Psi(F(\boldsymbol{x})) - \Psi(\boldsymbol{x}) B\|_{\ell^2}^2 d\omega(\boldsymbol{x}) \right\} }</math>
<math>\displaystyle{ \arg\min_{B \in \mathbb{C}^{N_K \times N_K}} \left\{ \int_{\Omega} \max_{\substack{g \in \mathbb{C}^{N_K}, \\ \|\boldsymbol{g}\|=1}} |r(g, \boldsymbol{x})|^2 d\omega(\boldsymbol{x}) = \int_{\Omega} \|\Psi(F(\boldsymbol{x})) - \Psi(\boldsymbol{x}) B\|_{\ell^2}^2 d\omega(\boldsymbol{x}) \right\} }</math>
实际计算中无法直接上式的积分，因此通过 “积分规则”（以为节点、<math>\displaystyle{ \{w_j\}_{j=1}^M }</math>为权重）近似积分，将上式转化为加权最小二乘问题：
其中<math>∥⋅∥
ℓ2</math>表示向量的标准欧几里得范数。
实际计算中无法直接上式的积分，因此通过 “积分规则”（以<math>\displaystyle{ \{x_j\}_{j=1}^M }</math>为节点、<math>\displaystyle{ \{w_j\}_{j=1}^M }</math>为权重）近似积分，将上式转化为加权最小二乘问题：
<math>argB∈CNK×NKminj=1∑Mwj∥Ψ(y(j))−Ψ(x(j))B∥ℓ22.(4.3)</math>
该问题的解析解可表示为：
该问题的解析解可表示为：
<math>\displaystyle{ K_{\text{EDMD}} = (\Psi_X^* W \Psi_X)^\dagger (\Psi_X^* W \Psi_Y) }</math>
<math>\displaystyle{ K_{\text{EDMD}} = (\Psi_X^* W \Psi_X)^\dagger (\Psi_X^* W \Psi_Y) }</math>
其中 “<math>\displaystyle{ \dagger }</math>” 表示伪逆，<math>\displaystyle{ W = \text{diag}(w_1, \dots, w_M) }</math>（对角权重矩阵），和<math>\displaystyle{ \Psi_Y }</math>为矩阵，即，
其中 “<math>\displaystyle{ \dagger }</math>” 表示伪逆，<math>\displaystyle{ W = \text{diag}(w_1, \dots, w_M) }</math>（对角权重矩阵），和<math>\displaystyle{ \Psi_Y }</math>为矩阵，即，
<math>\displaystyle{ \Psi_X = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{x}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{x}^{(M)}) \end{pmatrix}, \quad \Psi_Y = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{y}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{y}^{(M)}) \end{pmatrix} }</math>
<math>\displaystyle{ \Psi_X = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{x}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{x}^{(M)}) \end{pmatrix}, \quad \Psi_Y = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{y}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{y}^{(M)}) \end{pmatrix} }</math>
故对于<math>\displaystyle{ \mathcal{K} }</math>的候选特征对 （<math>\displaystyle{ \lambda }</math>是候选特征值，是基于字典的候选特征函数，是系数向量），残差定义为：
故对于<math>\displaystyle{ \mathcal{K} }</math>的候选特征对 （<math>\displaystyle{ \lambda }</math>是候选特征值，是基于字典的候选特征函数，是系数向量），残差定义为：
res(λ,g)2=∑j,k=1NKgjgk(ΨX∗WΨX)jk∑j,k=1NKgjgk[(ΨY∗WΨY)jk−λ(ΨY∗WΨX)jk−λ(ΨX∗WΨY)jk+∣λ∣2(ΨX∗WΨX)jk].(4.6
===算法===
===算法===