更改

<math>[\mathcal{K}g](\boldsymbol{x}) = \Psi(F(\boldsymbol{x})) \boldsymbol{g} = \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g}) + \underbrace{\sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(F(\boldsymbol{x})) g_j - \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g})}_{r(g, \boldsymbol{x})}.</math>

<math>[\mathcal{K}g](\boldsymbol{x}) = \Psi(F(\boldsymbol{x})) \boldsymbol{g} = \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g}) + \underbrace{\sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(F(\boldsymbol{x})) g_j - \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g})}_{r(g, \boldsymbol{x})}.</math>

通常情况下，<math>V_{N_K}</math>并非<math> \mathcal{K} </math>的不变子空间，因此不存在能使<math>\displaystyle{ r(g, \boldsymbol{x} }</math>对所有<math>\displaystyle{ g \in V_{N_K} }</math>和<math>\boldsymbol{x} \in \Omega</math>均为零的<math>\displaystyle{ K_{\text{EDMD}} }</math>。此时，EDMD 通过最小化 “残差项<math>\displaystyle{ r(g, \boldsymbol{x}) }</math>的积分范数” 确定<math>\displaystyle{ K_{\text{EDMD}} }</math>，即求解以下优化问题：

通常情况下，<math>V_{N_K}</math>并非<math> \mathcal{K} </math>的不变子空间，因此不存在能使<math>\displaystyle{ r(g, \boldsymbol{x}) }</math>对所有<math>\displaystyle{ g \in V_{N_K} }</math>和<math>\boldsymbol{x} \in \Omega</math>均为零的<math>\displaystyle{ K_{\text{EDMD}} }</math>。此时，EDMD 通过最小化 “残差项<math>\displaystyle{ r(g, \boldsymbol{x}) }</math>的积分范数” 确定<math>\displaystyle{ K_{\text{EDMD}} }</math>，即求解以下优化问题：

<math>\displaystyle{ \arg\min_{B \in \mathbb{C}^{N_K \times N_K}} \left\{ \int_{\Omega} \max_{\substack{g \in \mathbb{C}^{N_K}, \\ \|\boldsymbol{g}\|=1}} |r(g, \boldsymbol{x})|^2 d\omega(\boldsymbol{x}) = \int_{\Omega} \|\Psi(F(\boldsymbol{x})) - \Psi(\boldsymbol{x}) B\|_{\ell^2}^2 d\omega(\boldsymbol{x}) \right\} }</math>

<math>\displaystyle{ \arg\min_{B \in \mathbb{C}^{N_K \times N_K}} \left\{ \int_{\Omega} \max_{\substack{g \in \mathbb{C}^{N_K}, \\ \|\boldsymbol{g}\|=1}} |r(g, \boldsymbol{x})|^2 d\omega(\boldsymbol{x}) = \int_{\Omega} \|\Psi(F(\boldsymbol{x})) - \Psi(\boldsymbol{x}) B\|_{\ell^2}^2 d\omega(\boldsymbol{x}) \right\} }</math>

其中<math>∥⋅∥

其中<math>\|\mathbf{x}\|_2</math>表示向量的标准欧几里得范数。

ℓ2</math>表示向量的标准欧几里得范数。

实际计算中无法直接上式的积分，因此通过 “积分规则”（以<math>\displaystyle{ \{x_j\}_{j=1}^M }</math>为节点、<math>\displaystyle{ \{w_j\}_{j=1}^M }</math>为权重）近似积分，将上式转化为加权最小二乘问题：

实际计算中无法直接上式的积分，因此通过 “积分规则”（以<math>\displaystyle{ \{x_j\}_{j=1}^M }</math>为节点、<math>\displaystyle{ \{w_j\}_{j=1}^M }</math>为权重）近似积分，将上式转化为加权最小二乘问题：

<math>argB∈CNK​×NK​min​j=1∑M​wj​∥Ψ(y(j))−Ψ(x(j))B∥ℓ22​.(4.3)</math>

<math>\arg\min_{B\in\mathbb{C}^{N_K \times N_K}} \sum_{j=1}^{M} w_j \|\Psi(y^{(j)}) - \Psi(x^{(j)})B\|_{\ell_2}^2</math>

该问题的解析解可表示为：

该问题的解析解可表示为：

<math>\displaystyle{ \Psi_X = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{x}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{x}^{(M)}) \end{pmatrix}, \quad \Psi_Y = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{y}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{y}^{(M)}) \end{pmatrix} }</math>

<math>\displaystyle{ \Psi_X = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{x}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{x}^{(M)}) \end{pmatrix}, \quad \Psi_Y = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{y}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{y}^{(M)}) \end{pmatrix} }</math>

故对于<math>\displaystyle{ \mathcal{K} }</math>的候选特征对 <math>\displaystyle{ \lambda }</math>（<math>\displaystyle{ \lambda }</math>是候选特征值，<math>\displaystyle{ \lambda }</math>是基于字典的候选特征函数，是系数向量），残差定义为：

故对于<math>\displaystyle{ \mathcal{K} }</math>的候选特征对 <math>(\lambda, g) </math>（<math>（\lambda \in \mathbb{C} </math>是候选特征值，<math>g = \Psi \boldsymbol{g} \in V_{N_K}</math>是基于字典的候选特征函数），残差定义为：

<math>\displaystyle{ \lambda }</math>

<math>\text{res}(\lambda, g)^2 = \frac{\sum_{j,k=1}^{N_K} \overline{g_j} g_k \left[ (\Psi_Y^* W \Psi_Y)_{jk} - \lambda (\Psi_Y^* W \Psi_X)_{jk} - \overline{\lambda} (\Psi_X^* W \Psi_Y)_{jk} + |\lambda|^2 (\Psi_X^* W \Psi_X)_{jk} \right]}{\sum_{j,k=1}^{N_K} \overline{g_j} g_k (\Psi_X^* W \Psi_X)_{jk}}. \tag{4.6}</math>

 

res(λ,g)2=∑j,k=1NK​​gj​​gk​(ΨX∗​WΨX​)jk​∑j,k=1NK​​gj​​gk​[(ΨY∗​WΨY​)jk​−λ(ΨY∗​WΨX​)jk​−λ(ΨX∗​WΨY​)jk​+∣λ∣2(ΨX∗​WΨX​)jk​]​.(4.6

===算法===

===算法===