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第194行： + + + + + + 第226行：
第232行： − + − − <math>\displaystyle{ \varphi_μ = x_1 }</math> 和 <math>\displaystyle{ \varphi_\lambda = x_2 - bx_1^2 }</math>， 其中 <math>\displaystyle{ b = \frac {\lambda} {\lambda-2μ} }</math> − − 通过这种方式，可以从Koopman算子在不变子空间上的矩阵表示的左特征向量所定义的可观测量函数中，确定出一组本征坐标。明确地说： − − <math>\displaystyle{ \varphi_α(x) } = \boldsymbol{\xi}^\top_αz(x) − </math>， 其中 <math> \boldsymbol{\xi}^\top_α(K) = α \boldsymbol{\xi}^\top_α </math> + − 这些本征可观测量定义了在Koopman算子下保持不变的可观测量子空间，即使在坐标变换后也是如此。因此，它们可以被视为Koopman不变子空间上的本征坐标<ref name=TWilliams_2015>+ −
无编辑摘要
===数据回归===
===数据回归===
此处可直接参考下文中“扩展DMD”章节部分。简单来说，给定观测函数<math>g</math>并拟合得到Koopman矩阵<math>K</math>以后，我们可以按照如下方式定义Koopman算子的特征函数：
<math>\displaystyle{ \varphi_α(x) } = \boldsymbol{\xi}^\top_αg(x) </math> ，
其中 <math> \boldsymbol{\xi}^\top_α(K) = α \boldsymbol{\xi}^\top_α </math>。这代表<math>\boldsymbol{\xi}^\top</math>是<math>K</math>的左特征向量。
==不变特征子空间==
==不变特征子空间==
[[文件:Exampleph.png|410x410px|替代=]]
[[文件:Exampleph.png|410x410px|替代=]]
以上内容展示了系统在全局线性化之后的动力学分析过程。Koopman算子便是在合适的观测函数下，将任意的非线性系统做全局线性化的变换，而且变换后的线性系统的性质与原系统的动力学性质是一致的，两个系统是[[拓扑共轭]]的关系<ref name=lan_2013>Lan, Y., & Mezić, I. (2013). Linearization in the large of nonlinear systems and Koopman operator spectrum. Physica D: Nonlinear Phenomena, 242(1), 42–53. https://doi.org/10.1016/j.physd.2012.08.017</ref>。于是我们可以依据前文提及的特征函数计算方法来提取和分析Koopman矩阵的特征函数。对应于特征值μ和λ的Koopman特征函数为：
以上内容展示了系统在全局线性化之后的动力学分析过程。Koopman算子便是在合适的观测函数下，将任意的非线性系统做全局线性化的变换，而且变换后的线性系统的性质与原系统的动力学性质是一致的，两个系统是[[拓扑共轭]]的关系<ref name=lan_2013>Lan, Y., & Mezić, I. (2013). Linearization in the large of nonlinear systems and Koopman operator spectrum. Physica D: Nonlinear Phenomena, 242(1), 42–53. https://doi.org/10.1016/j.physd.2012.08.017</ref>。于是我们可以依据前文提及的特征函数计算方法来提取和分析Koopman矩阵的特征函数。通过计算Koopman矩阵的左特征向量之后，我们找到对应于特征值μ和λ的Koopman特征函数为：
<math>\displaystyle{ \varphi_μ = x_1 }</math> 和 <math>\displaystyle{ \varphi_\lambda = x_2 - bx_1^2 }</math>，
其中 <math>\displaystyle{ b = \frac {\lambda} {\lambda-2μ} }</math> 。这个参数代表着快慢变量之间速度变化的比例，其中<math>x_1</math>是慢变量。如果我们以这些特征函数本身作为观测量来构建不变子空间，那么此时空间上的坐标就是Koopman不变子空间上的特征坐标<ref name=TWilliams_2015>M. O. Williams, I. G. Kevrekidis, and C. W. Rowley, A data-driven approximation of the Koopman operator: Extending dynamic mode decomposition, J. Nonlinear Sci., 6 (2015),pp. 1307--1346. (Cited on pp. 246, 247, 256, 284, 285, 292)</ref>。
M. O. Williams, I. G. Kevrekidis, and C. W. Rowley, A data-driven approximation of the Koopman operator: Extending dynamic mode decomposition, J. Nonlinear Sci., 6 (2015),pp. 1307--1346. (Cited on pp. 246, 247, 256, 284, 285, 292)</ref>[448]。
=数据驱动算法=
=数据驱动算法=