更改

====有限时间奇点====

====有限时间奇点====

真实的城市增长，会在繁荣与崩溃二者之间切换。即当初期，满足条件[math]N > N^*[/math]的时候（其中 [math]N^*[/math] 是方程(12)的稳态解），城市进入超指数（super-exponential）增长曲线，并在一个有限时间 [math]t_c[/math] 处发散（即'''有限时间奇点'''(finite time singularity)）。这个 [math]t_c[/math] 被称为“奇点时间”或“崩溃时间”。这个 [math]t_c[/math] 的值由以下公式近似得出：[math]t_{c} \approx [\frac{E}{(\beta-1)R}]\frac{1}{N^{\beta-1}(0)}[/math]

真实的城市增长，会在繁荣与崩溃二者之间切换。即当初期，满足条件[math]N >{(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math]的时候，城市进入超指数（super-exponential）增长曲线，并在一个有限时间 [math]t_c[/math] 处发散（即'''有限时间奇点'''(finite time singularity)）。这个 [math]t_c[/math] 被称为“奇点时间”或“崩溃时间”。这个 [math]t_c[/math] 的值由以下公式近似得出：[math]t_{c} \approx [\frac{E}{(\beta-1)R}]\frac{1}{N^{\beta-1}(0)}[/math]

然而这个增长不可持续，因为方程将在有限时间内触达，为了避免这种危机，城市必须进行“重大质变”，也就是通过创新来“重置”初始条件[math]N[/math]和参数[math]Y_0,R,E[/math]，以使得[math]N<[/math]条件得到满足。这种创新活动确保了城市的主导动力仍然处于“财富和知识创造”的超线性增长阶段。历史上，当人类社会发生重大技术越迁正可以对应这种情况。这样，为了避免崩溃，城市必须在接近奇点时间 [math]t_c[/math] 时引入新的创新周期。每一次新的创新都有效地重置了增长参数，开启了一个新的超线性增长周期。

然而这个增长不可持续，因为方程将在有限时间内触达，为了避免这种危机，城市必须进行“重大质变”，也就是通过创新来“重置”初始条件[math]N[/math]和参数[math]Y_0,R,E[/math]，以使得[math]N <{(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math]条件得到满足。这种创新活动确保了城市的主导动力仍然处于“财富和知识创造”的超线性增长阶段。历史上，当人类社会发生重大技术越迁正可以对应这种情况。这样，为了避免崩溃，城市必须在接近奇点时间 [math]t_c[/math] 时引入新的创新周期。每一次新的创新都有效地重置了增长参数，开启了一个新的超线性增长周期。

然而这种超指数增长不可持续，因为方程将在有限时间 [math]t_c[/math] 处触达奇点。当城市接近有限时间奇点时，会发生崩塌，此时出现 [math]N < N^*[/math] 的情况。这可能是由于：

然而这种超指数增长不可持续，因为方程将在有限时间 [math]t_c[/math] 处触达奇点。当城市接近有限时间奇点时，会发生崩塌，此时出现 [math]N < {(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math] 的情况。这可能是由于：

- 人口锐减：实际人口规模下降

- 人口锐减：实际人口规模下降

- 方程中的系数变化：系统参数发生改变

- 方程中的系数变化：系统参数发生改变

* [math]e[/math]：维持每个个体平均所需的资源量

* [math]e[/math]：维持每个个体平均所需的资源量

人们通过社会治理、创新等机制重置这些系数，使得条件 [math]N > N^*[/math] 重新得到满足，从而开启新一轮的超线性增长周期。历史上，人类社会发生重大技术跃迁时，正是对应这种重置机制。

人们通过社会治理、创新等机制重置这些系数，使得条件 [math]N > {(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math] 重新得到满足，从而开启新一轮的超线性增长周期。历史上，人类社会发生重大技术跃迁时，正是对应这种重置机制。

当参数重置以后，城市增长便进入了第二轮增长曲线。然而，这一增长曲线也不可持续，在有限时间内趋近'''有限时间奇点'''，于是又会导致[math]N > N^*[/math]条件的破坏，于是城市进入第二轮'''崩塌'''模式中。于是第二轮的变革将会出现，从而重置初始条件和方程系数，于是进入第三波增长曲线，如此往复下去……。最终的城市增长曲线如下图<ref name=":3" />：

当参数重置以后，城市增长便进入了第二轮增长曲线。然而，这一增长曲线也不可持续，在有限时间内趋近'''有限时间奇点'''，于是又会导致[math]N > {(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math]条件的破坏，于是城市进入第二轮'''崩塌'''模式中。于是第二轮的变革将会出现，从而重置初始条件和方程系数，于是进入第三波增长曲线，如此往复下去……。最终的城市增长曲线如下图<ref name=":3" />：

[[文件:重置增长参数.png|无框|600x600像素]]

[[文件:重置增长参数.png|无框|600x600像素]]