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Koopman算子理论 (查看源代码)

2025年11月17日 (一) 21:50的版本

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→‎残差DMD
第382行： 第382行：  
一、ResDMD计算无谱污染的特征对算法：从快照数据中提取Koopman算子的准确特征对（特征值+特征函数），核心解决传统EDMD的谱污染问题。
 
一、ResDMD计算无谱污染的特征对算法：从快照数据中提取Koopman算子的准确特征对（特征值+特征函数），核心解决传统EDMD的谱污染问题。
   −
输入：
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输入：<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>（初始状态）、<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>（下一时刻状态）、<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>（数值积分权重）、<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（观测函数）、<math>\epsilon>0</math>（残差阈值）
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* 快照数据：<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>（初始状态）、<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>（下一时刻状态）
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输出：<math>\{(\lambda_j, g_j) \mid res(\lambda_j, g_j) \leq \epsilon\}</math>（准确特征对）
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* 积分权重：<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>（用于数值积分近似）
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* 观测字典：<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（刻画系统状态的观测函数集合）
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* 精度目标：<math>\epsilon>0</math>（残差阈值）
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输出：
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* 准确特征对集合：<math>\{(\lambda_j, g_j) \mid res(\lambda_j, g_j) \leq \epsilon\}</math>为特征值，<math>g_j</math>为近似特征函数）
      
算法过程：
 
算法过程：
第400行： 第393行：  
# 丢弃残差大于<math>\epsilon</math>的伪特征对，保留满足精度的有效特征对。
 
# 丢弃残差大于<math>\epsilon</math>的伪特征对，保留满足精度的有效特征对。
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核心用处：
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此算法可以提取Koopman算子的离散谱（特征值）及对应特征函数，无虚假特征值污染，适用于需要明确系统主导模态的场景（如流体动力学中的振荡模态、分子动力学中的关键运动模式）。
   −
* 提取Koopman算子的离散谱（特征值）及对应特征函数，无虚假特征值污染。
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* 适用于需要明确系统主导模态的场景（如流体动力学中的振荡模态、分子动力学中的关键运动模式）。
        第409行： 第400行：  
二、ResDMD计算ε-伪谱估计算法：扩展上个算法的功能，计算Koopman算子的<math>\epsilon</math>-伪谱，弥补特征值无法反映的非正规算子暂态行为和谱分布信息。
 
二、ResDMD计算ε-伪谱估计算法：扩展上个算法的功能，计算Koopman算子的<math>\epsilon</math>-伪谱，弥补特征值无法反映的非正规算子暂态行为和谱分布信息。
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输入：
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输入：<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>（初始状态）、<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>（下一时刻状态）、<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>（数值积分权重）、<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（观测函数）、<math>\epsilon>0</math>（残差阈值）、<math>\{z_1,...,z_k\} \subset \mathbb{C}</math>（待评估的谱区域网格点）
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* 快照数据：<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>（初始状态）、<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>（下一时刻状态）
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输出：<math>\{z_j \mid \tau_j < \epsilon\}</math>（<math>\epsilon</math>-伪谱估计，<math>\tau_j</math>为网格点<math>z_j</math>的最小残差）、<math>\{g_j \mid \tau_j < \epsilon\}</math>（对应伪谱区域的<math>\epsilon</math>-近似特征函数）
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* 积分权重：<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>（用于数值积分近似）
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* 观测字典：<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（刻画系统状态的观测函数集合）
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* 复平面网格：<math>\{z_1,...,z_k\} \subset \mathbb{C}</math>（待评估的谱区域网格点）
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输出：
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* <math>\epsilon</math>-伪谱估计：<math>\{z_j \mid \tau_j < \epsilon\}</math>（<math>\tau_j</math>为网格点<math>z_j</math>的最小残差）
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* 近似特征函数：<math>\{g_j \mid \tau_j < \epsilon\}</math>（对应伪谱区域的<math>\epsilon</math>-近似特征函数）
      
算法过程：
 
算法过程：
第427行： 第410行：  
# 筛选出最小残差<math>\tau_j < \epsilon</math>的网格点，构成<math>\epsilon</math>-伪谱。
 
# 筛选出最小残差<math>\tau_j < \epsilon</math>的网格点，构成<math>\epsilon</math>-伪谱。
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核心用处：
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此算法可以区分真实谱区域与虚假特征值，验证特征值可靠性：位于伪谱内的特征值才是可信的，计算得到的伪谱可以反映系统暂态行为（如湍流的短期演化、混沌系统的局部稳定性）。
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* 检测谱污染：区分真实谱区域与虚假特征值。
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* 刻画非正规系统：伪谱可反映系统暂态行为（如湍流的短期演化、混沌系统的局部稳定性）。
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* 验证特征值可靠性：位于伪谱内的特征值才是可信的。
      
===例子===
 
===例子===
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本实验通过高斯迭代映射，证明 ResDMD 在处理复杂非线性动力学时的普适性，为后续高维系统的谱分析奠定方法基础。
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高斯迭代映射是一类具有复杂非线性动力学行为的实值动力系统，因分岔图呈现类似 “鼠标” 的特征而成为验证非线性算法的经典案例。该映射的非线性源于指数项<math>\exp(-\alpha x^2)</math>，当参数<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>取特定值时，系统会表现出从周期运动到复杂分岔的过渡，其 Koopman 算子的谱结构包含离散特征值与潜在的连续谱成分，对算法的谱分辨能力提出挑战。  
 
高斯迭代映射是一类具有复杂非线性动力学行为的实值动力系统，因分岔图呈现类似 “鼠标” 的特征而成为验证非线性算法的经典案例。该映射的非线性源于指数项<math>\exp(-\alpha x^2)</math>，当参数<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>取特定值时，系统会表现出从周期运动到复杂分岔的过渡，其 Koopman 算子的谱结构包含离散特征值与潜在的连续谱成分，对算法的谱分辨能力提出挑战。  
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实验采用的高斯迭代映射定义为：
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实验采用的高斯迭代映射定义为：<math>F(x) = \exp(-\alpha x^2) + \beta</math>
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<math>F(x) = \exp(-\alpha x^2) + \beta</math>
      
式中，<math>\alpha=2</math>；<math>\beta=-1-\exp(-\alpha)</math>。映射的状态空间限制为<math>\Omega=[-1,0]</math>，采用标准勒贝格测度（Lebesgue measure）<math>\omega</math>描述状态分布。
 
式中，<math>\alpha=2</math>；<math>\beta=-1-\exp(-\alpha)</math>。映射的状态空间限制为<math>\Omega=[-1,0]</math>，采用标准勒贝格测度（Lebesgue measure）<math>\omega</math>描述状态分布。
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观测字典用<math>[-1,0]</math>区间的勒让德多项式，具体形式为：
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观测字典用<math>[-1,0]</math>区间的勒让德多项式，具体形式为：<math>\psi_j(x) = c_j P_j(2x+1)</math>
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<math>\psi_j(x) = c_j P_j(2x+1)</math>
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其中：<math>P_j</math>为j次勒让德多项式（在标准区间<math>[-1,1]</math>上正交，适合逼近光滑函数，且计算复杂度低）；<math>2x+1</math>线性变换将原区间<math>[-1,0]</math>映射到勒让德多项式的标准区间<math>[-1,1]</math>，确保基函数的正交性在目标区间内成立；<math>c_j</math>为归一化系数，使字典在<math>L^2(\Omega, \omega)</math>空间内满足<math>\langle \psi_i, \psi_j \rangle = \delta_{ij}</math><math>(\delta_{ij}</math>为克罗内克函数），减少基函数间的冗余干扰。实验中固定字典规模<math>N_K=40</math>。
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实验数据为快照对<math>\{(x^{(j)}, y^{(j)})\}_{j=1}^M</math>，其中<math>(y^{(j)}=F(x^{(j)})</math>（F为高斯迭代映射），<math>x^{(j)}</math>的采样方式与权重随积分规则变化，共测试 4 类典型积分规则：
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其中：<math>P_j</math>为j次勒让德多项式；<math>c_j</math>为归一化系数，使字典在<math>L^2(\Omega, \omega)</math>空间内满足<math>\langle \psi_i, \psi_j \rangle = \delta_{ij}</math><math>(\delta_{ij}</math>为克罗内克函数），减少基函数间的冗余干扰。实验中固定字典规模<math>N_K=40</math>。
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* 高斯 - 勒让德规则：采样点：移植到<math>[-1,0]</math>的高斯 - 勒让德节点（最优多项式积分节点）；权重：对应规则的标准权重。
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实验数据为<math>\{(x^{(j)}, y^{(j)})\}_{j=1}^M</math>，其中<math>(y^{(j)}=F(x^{(j)})</math>（F为高斯迭代映射）。
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* 梯形规则采样点：等距点<math>x^{(j)} = -1 + \frac{j-1}{M-1}</math><math>(j=1,2,...,M)</math>；权重：端点<math>w_1=w_M=\frac{1}{2(M-1)}</math>，中间点<math>w_j=\frac{1}{M-1}</math>。
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* 黎曼和规则采样点：与梯形规则一致；权重：所有权重<math>w_j=\frac{1}{M-1}</math>（不调整端点权重，作为基础对照）。
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* 蒙特卡洛规则采样点：从<math>[-1,0]</math>的均匀分布中随机抽取；权重：所有权重<math>w_j=\frac{1}{M}</math>（模拟高维系统随机采样场景）。
      
左图验证 ResDMD 的谱污染剔除能力，以复平面（横轴<math>Re(\lambda)</math>、纵轴<math>Im(\lambda)</math>）为背景，黑色曲线是伪谱轮廓，分别对应<math>\epsilon=0.001,0.01,0.1,0.3</math>的<math>\epsilon</math>- 伪谱，定义为：<math>\sigma_\epsilon(K) = cl\left(\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \|(K - \lambda)^{-1}\| > 1/\epsilon\}\right)</math>。
 
左图验证 ResDMD 的谱污染剔除能力，以复平面（横轴<math>Re(\lambda)</math>、纵轴<math>Im(\lambda)</math>）为背景，黑色曲线是伪谱轮廓，分别对应<math>\epsilon=0.001,0.01,0.1,0.3</math>的<math>\epsilon</math>- 伪谱，定义为：<math>\sigma_\epsilon(K) = cl\left(\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \|(K - \lambda)^{-1}\| > 1/\epsilon\}\right)</math>。
第463行： 第431行：  
品红色圆点为传统 EDMD 特征值，大量特征值位于伪谱之外，这些是离散化导致的谱污染（虚假特征值），无法反映系统真实动力学，例如虚部 > 0.5 的特征值对应不存在的高频振荡，与高斯迭代映射的实际动力学矛盾。蓝色叉号为ResDMD 筛选特征值，所有特征值均位于<math>\epsilon=0.01</math>的伪谱内。
 
品红色圆点为传统 EDMD 特征值，大量特征值位于伪谱之外，这些是离散化导致的谱污染（虚假特征值），无法反映系统真实动力学，例如虚部 > 0.5 的特征值对应不存在的高频振荡，与高斯迭代映射的实际动力学矛盾。蓝色叉号为ResDMD 筛选特征值，所有特征值均位于<math>\epsilon=0.01</math>的伪谱内。
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右图体现积分规则的性能差异，以 “数据点数量M” 为横轴、“核心矩阵元素最大绝对误差” 为纵轴（对数坐标），误差定义为：
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右图体现不同积分规则的性能差异，以 “数据点数量M” 为横轴、“核心矩阵元素最大绝对误差” 为纵轴（对数坐标），误差定义为：
    
<math>err = \max_{1 \leq j,k \leq N_K} \left| (\Psi_X^* W \Psi_Y)_{jk} - \langle K\psi_k, \psi_j \rangle \right|</math>，
 
<math>err = \max_{1 \leq j,k \leq N_K} \left| (\Psi_X^* W \Psi_Y)_{jk} - \langle K\psi_k, \psi_j \rangle \right|</math>，
念
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个编辑

取自“https://wiki.swarma.org/index.php/特殊:移动版差异/47686”