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====有限时间奇点====

====有限时间奇点====

真实的城市增长，会在繁荣与崩溃二者之间切换。即当初期，满足条件[math]N >{(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math]的时候，城市进入超指数（super-exponential）增长曲线，并在一个有限时间 [math]t_c[/math] 处发散（即'''有限时间奇点'''(finite time singularity)）。这个 [math]t_c[/math] 被称为“奇点时间”或“崩溃时间”。这个 [math]t_c[/math] 的值由以下公式近似得出：[math]t_{c} \approx [\frac{E}{(\beta-1)R}]\frac{1}{N^{\beta-1}(0)}[/math]

真实的城市增长，会在繁荣与崩溃二者之间切换。即当初期，满足条件[math]N >{(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math]的时候，城市进入超指数（super-exponential）增长曲线，并在一个有限时间 [math]t_c[/math] 处发散（即'''有限时间奇点'''(finite time singularity)）。这个 [math]t_c[/math] 被称为“奇点时间”或“崩溃时间”。这个 [math]t_c[/math] 的值由以下公式近似得出：

 

:<math>

t_{c} \approx [\frac{E}{(\beta-1)R}]\frac{1}{N^{\beta-1}(0)}

</math>

然而这个增长不可持续，因为方程将在有限时间内触达，为了避免这种危机，城市必须进行“重大质变”，也就是通过创新来“重置”初始条件[math]N(0)[/math]和参数[math]Y_0,R,E[/math]，以使得[math]N(0) <{(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math]条件得到满足。这种创新活动确保了城市的主导动力仍然处于“财富和知识创造”的超线性增长阶段。历史上，当人类社会发生重大技术越迁正可以对应这种情况。这样，为了避免崩溃，城市必须在接近奇点时间 [math]t_c[/math] 时引入新的创新周期。每一次新的创新都有效地重置了增长参数，开启了一个新的超线性增长周期。重置过程包括两个方面：

然而这个增长不可持续，因为方程将在有限时间内触达，为了避免这种危机，城市必须进行“重大质变”，也就是通过创新来“重置”初始条件[math]N(0)[/math]和参数[math]Y_0,R,E[/math]，以使得[math]N(0) <{(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math]条件得到满足。这种创新活动确保了城市的主导动力仍然处于“财富和知识创造”的超线性增长阶段。历史上，当人类社会发生重大技术越迁正可以对应这种情况。这样，为了避免崩溃，城市必须在接近奇点时间 [math]t_c[/math] 时引入新的创新周期。每一次新的创新都有效地重置了增长参数，开启了一个新的超线性增长周期。重置过程包括两个方面：