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→Koopman算子定义及其性质
<math> \mathcal{K}^t g(x) = g\left( F^t(x) \right) </math>
<math> \mathcal{K}^t g(x) = g\left( F^t(x) \right) </math>
式中， <math> \mathcal{K}^t </math>为连续时间Koopman算子，参数<math> t </math> 表示演化时间长度； <math> g(x) </math>为任意观测函数，如 <math> g(x) = x_1 </math>（状态第一分量）、<math> \varphi </math>（状态模长平方）等等； <math> F^t(x) </math>为流映射，将初始状态 <math> x </math>沿动力学轨迹推进时间 <math> t </math>，即 <math> F^t(x) = x(t) </math>； <math> g\left( F^t(x) \right) </math>为观测函数的演化结果，表示“先让状态<math> x </math>演化时间 <math> t
式中， <math> \mathcal{K}^t </math>为连续时间Koopman算子，参数<math> t </math> 表示演化时间长度， <math> g(x) </math>为任意观测函数，如 <math> g(x) = x_1 </math>（状态第一分量）、<math> \varphi </math>（状态模长平方）等等， <math> F^t(x) </math>为流映射，将初始状态 <math> x </math>沿动力学轨迹推进时间 <math> t </math>，即 <math> F^t(x) = x(t) </math>， <math> g\left( F^t(x) \right) </math>为观测函数的演化结果，表示“先让状态<math> x </math>演化时间 <math> t </math>，再对演化后的状态进行观测”，<math> \mathcal{K}^t </math>不改变观测函数的形式，仅在观测空间描述观测函数观测量的演化。
对于光滑的观测函数 <math> g </math>，连续时间Koopman算子的瞬时演化<math> t \to 0 </math>可通过无穷小生成元 <math> \mathcal{L} </math>（Lie算子，详细见下面与其他算子的关系-Lie算子）描述，定义为：
对于光滑的观测函数 <math> g </math>，连续时间Koopman算子的瞬时演化<math> t \to 0 </math>可通过无穷小生成元 <math> \mathcal{L} </math>（Lie算子，详细见下面与其他算子的关系-Lie算子）描述，定义为：
<math> \mathcal{L} g(x) = \nabla g(x) \cdot f(x) </math>
<math> \mathcal{L} g(x) = \nabla g(x) \cdot f(x) </math>
式中， <math> \nabla g(x) </math>为观测函数<math> g </math> 在状态<math> x </math> 处的梯度（ <math> n </math>维向量），即 <math> \nabla g = \left( \frac{\partial g}{\partial x_1},\frac{\partial g}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial g}{\partial x_n} \right)^T </math> ；<math> f(x) </math> 为系统的向量场，描述状态的瞬时变化率； <math> \cdot </math>为向量点积，结果为标量；生成元 <math> \mathcal{L} g </math>表示观测函数 <math> g </math>随状态演化的瞬时变化率，即<math> \mathcal{L} g(x) = \frac{d}{dt} g(x(t)) </math> 。
式中， <math> \nabla g(x) </math>为观测函数<math> g </math> 在状态<math> x </math> 处的梯度（ <math> n </math>维向量），即 <math> \nabla g = \left( \frac{\partial g}{\partial x_1},\frac{\partial g}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial g}{\partial x_n} \right)^T </math> ，<math> f(x) </math> 为系统的向量场，描述状态的瞬时变化率； <math> \cdot </math>为向量点积，结果为标量，生成元 <math> \mathcal{L} g </math>表示观测函数 <math> g </math>随状态演化的瞬时变化率，即<math> \mathcal{L} g(x) = \frac{d}{dt} g(x(t)) </math> 。
== 随机动力系统 ==
== 随机动力系统 ==
<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) = \mathbb{E}_x \left[ g\left( F^t(x, W) \right) \right] </math>
<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) = \mathbb{E}_x \left[ g\left( F^t(x, W) \right) \right] </math>
其中，<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} </math>为随机 Koopman 算子，参数 t 为演化时间；<math> \mathbb{E}_x </math>为条件期望算子，下标表示初始状态为 <math> x </math>，期望针对噪声过程 <math> W(t) </math>计算；<math> F^t(x, W) </math>为随机流映射，表示初始状态<math> x </math>在噪声 <math> W(t) </math>作用下经时间 t 的演化结果（SDE 的解，依赖噪声实现）；<math> g\left( F^t(x, W) \right) </math>为随机观测结果，随噪声 <math> W(t) </math>变化。
其中，<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} </math>为随机 Koopman 算子，参数 t 为演化时间，<math> \mathbb{E}_x </math>为条件期望算子，下标表示初始状态为 <math> x </math>，期望针对噪声过程 <math> W(t) </math>计算，<math> F^t(x, W) </math>为随机流映射，表示初始状态<math> x </math>在噪声 <math> W(t) </math>作用下经时间 t 的演化结果（SDE 的解，依赖噪声实现），<math> g\left( F^t(x, W) \right) </math>为随机观测结果，随噪声 <math> W(t) </math>变化。
公式核心是通过期望消除噪声随机性，得到观测函数的平均演化 —— 随机 Koopman 算子作用后，输出为确定性函数（平均观测值）。
公式核心是通过期望消除噪声随机性，得到观测函数的平均演化 —— 随机 Koopman 算子作用后，输出为确定性函数（平均观测值）。
<math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} g(x) = \nabla g(x) \cdot f(x) + \frac{1}{2} \text{tr} \left( \sigma(x) \sigma(x)^T \nabla^2 g(x) \right) </math>
<math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} g(x) = \nabla g(x) \cdot f(x) + \frac{1}{2} \text{tr} \left( \sigma(x) \sigma(x)^T \nabla^2 g(x) \right) </math>
其中， <math> \nabla g \cdot f </math>为与确定性系统的生成元一致，对应无噪声时观测函数的瞬时变化率；<math> σ(x) </math>为噪声贡献项，<math> Tr(⋅) </math>是矩阵迹（对角线元素之和），<math> \nabla^2 </math>是 <math> g </math>的 Hessian 矩阵（二阶偏导数矩阵）。
其中， <math> \nabla g \cdot f </math>为与确定性系统的生成元一致，对应无噪声时观测函数的瞬时变化率，<math> σ(x) </math>为噪声贡献项，<math> Tr(⋅) </math>是矩阵迹（对角线元素之和），<math> \nabla^2 </math>是 <math> g </math>的[[Hessian 矩阵]]（二阶偏导数矩阵）。
噪声项通过 [[Hessian 矩阵]]影响观测函数的演化，反映噪声对观测不确定性的贡献；当噪声强度<math> \sigma(x) = 0 </math>时，随机算子退化为确定性连续时间 Koopman 算子；随机 Koopman 算子的特征值可能包含衰减项（对应噪声导致的不确定性耗散），特征函数可刻画系统的 “平均线性化” 演化。
噪声项通过 [[Hessian 矩阵]]影响观测函数的演化，反映噪声对观测不确定性的贡献，当噪声强度<math> \sigma(x) = 0 </math>时，随机算子退化为确定性连续时间 Koopman 算子，随机 Koopman 算子的特征值可能包含衰减项（对应噪声导致的不确定性耗散），特征函数可刻画系统的 “平均线性化” 演化。
== 算子性质 ==
== 算子性质 ==