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[[复杂]]地球[[系统]]的[[统计物理]]方法
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论文题目：Statistical physics approaches to the complex Earth system
论文题目：Statistical physics approaches to the complex Earth system
论文地址：https://doi.org/10.1016/j.physrep.2020.09.005
论文地址：https://doi.org/10.1016/j.physrep.2020.09.005
作者 | Jingfang Fan, Jun Meng, Josef Ludescher, Xiaosong Chen, Yosef Ashkenazy, Jürgen Kurths, Shlomo Havlin, Hans Joachim Schellnhuber
作者 | Jingfang Fan, Jun Meng, Josef Ludescher, Xiaosong Chen, Yosef Ashkenazy, [[Jürgen Kurths]], Shlomo Havlin, Hans Joachim Schellnhuber
译者 | 任鹏臻; 张清源
译者 | 任鹏臻; 张清源
审校 | 杨明哲
审校 | [[杨明哲]]
编辑｜赵思怡
编辑｜赵思怡
摘要：全球变暖、极端气候事件、地震以及伴随的社会经济灾难对人类造成了严重的威胁。然而，由于地球[[系统]]的非线性[[反馈]]、多重相互作用以及[[复杂]]结构等因素，在对此类灾难性事件的理解和预测方面，对于科学界和政界而言都构成了巨大的挑战。近年来，地球[[系统科学]]的兴起与发展备受关注，并催生了新理论框架。特别是基于[[统计物理]]学和[[复杂网络]]技术的创新方法不断[[涌现]]，显著深化了人类对地球[[系统]]的认知——包括气候极端事件、地震与地形特征研究——从而大幅提升了预测能力。本文全面综述了[[统计物理]]学与[[复杂系统]]科学方法（如临界现象、网络理论、逾渗理论、[[临界点]]分析和熵理论）在地球[[复杂系统]]研究中的应用进展。值得注意的是，这些融合性工具与方法为理解地球[[系统动力学]]提供了全新视角。本综述的核心目标，是向读者阐明[[统计物理]]学概念及理论如何推动地球[[系统科学]]领域的发展。
1. 引言（Introduction）
1. 引言（Introduction）
1.1 地球作为一个复杂系统（The Earth as a complex system）
1.1 地球作为一个[[复杂系统]]（The Earth as a complex system）
地球作为一个综合[[系统]]运行，由岩石圈、大气圈、水圈、冰冻圈及生物圈等组分构成，这些组分之间及其内部存在非线性相互作用与[[反馈]]回路[1]。这些组分本身亦可视为自我调节[[系统]]，并能进一步细分为更专业的子[[系统]]。然而，随着对物理、化学、生物及人文过程间多组分相互作用认知的深化，学界日益意识到需要整合多学科视角，将地球视为整体[[系统]]进行研究。此类探索及其成果催生了一门新兴的"地球的科学"——地球[[系统科学]]（Earth System Science, ESS）[2]。ESS框架已展现出其作为强大工具的潜力，能有效揭示地球作为[[复杂系统]]的动态演化规律与结构特征。
地球[[系统科学]]（ESS）在20世纪早中期兴起，并于近数十年迅速发展。其历史演进可简要划分为四个阶段[2]：(i)先驱与萌芽期（20世纪70年代前）。地球的[[系统]]性本质主要通过概念性框架得以阐释，如维尔纳茨基提出的生物圈理论——强调生命体对地球物理化学特性的深刻影响[3]，以及洛夫洛克的[[盖亚假说]]——将地球视为协同[[自组织]]的[[复杂系统]][4]。这些理论为当代地球[[系统]]认知奠定基石。1957—1958年国际地球物理年（IGY）更推动了两大现代范式的发展：现代气候学与板块构造理论[5,6]。(ii)学科奠基期（1980年代）。20世纪80年代，系列研讨会及会议报告首次提出将地球作为整体[[系统]]（Earth system）的新认知。其中美国宇航局（NASA）开发的布雷瑟顿图[7]，首次通过[[系统动力学]]方法耦合物理[[气候系统]]与[[生物地球化学循环]]。1987年世界环境与发展委员会发布的《布伦特兰报告》[8]确立可持续发展指导原则，并阐明环境问题对地球[[系统]]的重要性。此阶段还创立了多个国际组织：世界气候研究计划（WCRP）致力于气候可预测性及人类活动影响研究；国际地圈-生物圈计划（IGBP，1987年启动）协调全球与区域尺度下地球生物-化学-物理过程及其与人类[[系统]]的交互研究；政府间气候变化专门委员会（IPCC，1988年成立）为政策制定者提供气候变化科学评估。(iii) 全球拓展期（1990—2015年）。在IGBP等国际计划推动及布雷瑟顿图广泛应用下，ESS从"地球新科学"运动发展为全球性学科。国际全球环境变化人文因素计划（IHDP）同期成立，旨在整合社会科学对全球变化的研究。(iv)当代发展阶段（2015年至今）。21世纪ESS框架臻于成熟，并催生"[[未来地球]]"（Future Earth）计划——整合IGBP、IHDP等国际项目，其使命是通过科研创新加速全球可持续转型。如图1所示（参照文献[1]），我们梳理了标志ESS发展的核心组织、出版物、行动与事件。
在地球[[系统科学]]（ESS）的发展历程中，汉斯·约阿希姆·舍伦胡贝尔（Hans Joachim Schellnhuber）提出并发展了一个关于ESS的基本概念：在全球尺度上，自然与人类因素之间动态的、[[共同演化]]的相互关系[9]。他提出，地球[[系统]]E可以从概念上用以下数学形式表示：
$$E = (N, H),$$
$$E = (N, H),$$
其中 $$N=(a,b,c,...); H=(A, S)$$。该模型表明整个地球系统包含两个主要部分：$$N$$代表生态圈，$$H$$则被解释为人类驱动因素。$$N$$由一系列复杂相互作用的行星子系统组成，例如 $$a(大气圈, atmosphere),b(生物圈,biosphere),c(冰冻圈, cryosphere)$$等。而人类因素$$H$$更加微妙：$$A$$表示“物理”子成分，而“形而上学”的子成分$$S$$ 反映了“全球主体”的出现。这项工作为将人类动力学完全整合进地球系统提供了概念框架，并构建了对地球统一的理解。
其中 $$N=(a,b,c,...); H=(A, S)$$。该模型表明整个地球[[系统]]包含两个主要部分：$$N$$代表生态圈，$$H$$则被解释为人类驱动因素。$$N$$由一系列[[复杂]]相互作用的行星子[[系统]]组成，例如 $$a(大气圈, atmosphere),b(生物圈,biosphere),c(冰冻圈, cryosphere)$$等。而人类因素$$H$$更加微妙：$$A$$表示“物理”子成分，而“形而上学”的子成分$$S$$ 反映了“全球主体”的出现。这项工作为将人类动力学完全整合进地球[[系统]]提供了概念框架，并构建了对地球统一的理解。
目前有许多工具和方法支持 ESS 的演化发展。然而值得注意的是，它们可以被整合到三个相互关联的重点领域中：观测、建模与计算机模拟、评估与综合分析[2]。地球观测通常指的是仪器数据，例如气象站或极轨及静止卫星所收集的数据。然而，这类数据集最多只能回溯到过去一至两个世纪。为了拓展我们对数千甚至数百万年前的认识，气候代用资料填补了这一空白。这些代用记录包括珊瑚记录[10]、海洋沉积物[11]、石笋时间序列[12]、树木年轮[13]以及沃斯托克[14]和EPICA[15]冰芯记录，帮助我们更好地理解过去的地球系统。数学模型是当前理解和预测气候及地球系统的关键方法。这些模型从简单的概念性气候模型——能量平衡模型（Energy Balance Models, EBMs）[16]到更复杂的地球模型——通用大气环流模型（the General Circulation Models, GCMs）[17]不等。此外，综合评估模型（the Intergrated Assessment Models, IAMs）被设计用来将人类动力学作为重要组成部分纳入考虑，旨在理解人类发展和社会选择如何相互影响并与自然世界（包括气候变化）相互作用[18,19]。基于 GCMs，还开发了地球系统中间复杂度模型（the Earth systems Models of Intermdediate Complexity, EMICs），用于以较低的计算成本研究长时间尺度上的地球系统[20]。这些模型提供知识整合手段，从而探索跨越多个空间和时间尺度的地球系统的动态特性与基本机制。评估与综合分析在建立新的科学认识、连接科学界与政界、以及根据来自政治领域的反馈推动新研究领域方面也发挥了关键作用。
目前有许多工具和方法支持 ESS 的演化发展。然而值得注意的是，它们可以被整合到三个相互关联的重点领域中：观测、建模与计算机模拟、评估与综合分析[2]。地球观测通常指的是仪器数据，例如气象站或极轨及静止卫星所收集的数据。然而，这类数据集最多只能回溯到过去一至两个世纪。为了拓展我们对数千甚至数百万年前的认识，气候代用资料填补了这一空白。这些代用记录包括珊瑚记录[10]、海洋沉积物[11]、石笋时间序列[12]、树木年轮[13]以及沃斯托克[14]和EPICA[15]冰芯记录，[[帮助]]我们更好地理解过去的地球[[系统]]。数学模型是当前理解和预测气候及地球[[系统]]的关键方法。这些模型从简单的概念性气候模型——能量平衡模型（Energy Balance Models, EBMs）[16]到更[[复杂]]的地球模型——通用大气环流模型（the General Circulation Models, GCMs）[17]不等。此外，综合评估模型（the Intergrated Assessment Models, IAMs）被设计用来将人类动力学作为重要组成部分纳入考虑，旨在理解人类发展和社会选择如何相互影响并与自然世界（包括气候变化）相互作用[18,19]。基于 GCMs，还开发了地球[[系统]]中间[[复杂]]度模型（the Earth systems Models of Intermdediate Complexity, EMICs），用于以较低的计算成本研究长时间尺度上的地球[[系统]][20]。这些模型提供知识整合手段，从而探索跨越多个空间和时间尺度的地球[[系统]]的动态特性与基本机制。评估与综合分析在建立新的科学认识、连接科学界与政界、以及根据来自政治领域的[[反馈]]推动新研究领域方面也发挥了关键作用。
随着 ESS 的不断发展，一些新的概念和理论也应运而生，包括可持续性概念[21]、“人类世”（Anthropocene）[22]、“临界要素”（tipping elements）[23]、“行星边界框架”（planetary boundaries framework）[24]，如行星阈值和状态转变[25]等。总体而言，这些新理论和新概念为我们更好地理解和预测地球系统未来演变路径提供了强有力的方法论支撑。
随着 ESS 的不断发展，一些新的概念和理论也应运而生，包括可持续性概念[21]、“人类世”（Anthropocene）[22]、“临界要素”（tipping elements）[23]、“行星边界框架”（planetary boundaries framework）[24]，如行星阈值和状态转变[25]等。总体而言，这些新理论和新概念为我们更好地理解和预测地球[[系统]]未来演变[[路径]]提供了强有力的方法论支撑。
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图1. 地球系统科学（ESS）发展的时间线示意图。该图展示了帮助定义和推动地球系统科学发展的一些关键组织、出版物、活动、事件和概念。
图1. 地球[[系统科学]]（ESS）发展的时间线示意图。该图展示了[[帮助]]定义和推动地球[[系统科学]]发展的一些关键组织、出版物、活动、事件和概念。
来源：改编自文献[2]中的图表。
来源：改编自文献[2]中的图表。
1.2 为什么是统计物理学？（Why Statistical Physics?）
1.2 为什么是[[统计物理]]学？（Why Statistical Physics?）
尽管地球[[系统科学]]（ESS）的迅速发展，极端气候事件和地震的本质及统计特性仍然难以捉摸并存在争议。此外，这些现象早期预警信号的存在仍然是一个重大的开放性问题。因此，在这篇综述中，我们将提出几种基于或源于[[统计物理]]学的新方法，以增强我们对地球[[系统]]可能如何演化的理解。特别是，从跨学科视角出发的[[统计物理]]学与地球[[系统]]的结合，导致了在预测[[气候系统]]和地震[[系统]]内的高影响力破坏性事件方面的能力有所提高。
[[统计物理]]学是物理学的一个分支，它大量借鉴了概率定律和许多相互作用成分的统计学原理。它可以描述具有内在随机性质的各种[[系统]]，旨在预测和解释宏观[[系统]]的可测量属性和行为。该领域已经被应用于包括物理、生物、化学、工程以及社会科学在内的多个问题的研究。需要注意的是，[[统计物理]]学并不关注每一个单独粒子的动力学，而是关注大量粒子的宏观行为。[[统计物理]]学的基本理论和思想在很多教科书中都有描述，如[26-28]。
赛斯纳在他的书[29]中这样描述统计物理学与复杂系统间的关系：“自然界中的许多系统过于复杂，无法直接分析。解决冰块中的所有原子运动——或者地震断层中的巨石，或是互联网上的节点——根本不可行。然而，这样的系统常常表现出简单而显著的行为。我们使用统计力学来解释这些复杂系统的简单行为。” 一个复杂的系统通常被定义为由许多相互作用的组件组成的系统。考虑到其组成部分和相互关系的多样性，地球系统可以被解释为一个不断进化的复杂系统。统计物理学的概念和方法可以渗透到地球系统科学中，特别是：(i)临界现象类似于临界元素：如果一个系统接近相变或临界点，则系统将崩溃并发生故障。(ii)分形概念用于描述地球的地貌、形状、海岸线和岛屿。(iii)地震过程被视为一种复杂的时空现象，并已被视为自组织临界性(SOC)范式。此外，地震活动在时间和空间维度上都表现出尺度特性。
赛斯纳在他的书[29]中这样描述[[统计物理]]学与[[复杂系统]]间的关系：“自然界中的许多[[系统]]过于[[复杂]]，无法直接分析。解决冰块中的所有原子运动——或者地震断层中的巨石，或是互联网上的节点——根本不可行。然而，这样的[[系统]]常常表现出简单而显著的行为。我们使用[[统计力学]]来解释这些[[复杂系统]]的简单行为。” 一个[[复杂]]的[[系统]]通常被定义为由许多相互作用的组件组成的[[系统]]。考虑到其组成部分和相互关系的多样性，地球[[系统]]可以被解释为一个不断进化的[[复杂系统]]。[[统计物理]]学的概念和方法可以渗透到地球[[系统科学]]中，特别是：(i)临界现象类似于临界元素：如果一个[[系统]]接近[[相变]]或[[临界点]]，则[[系统]]将崩溃并发生故障。(ii)[[分形]]概念用于描述地球的地貌、形状、海岸线和岛屿。(iii)地震过程被视为一种[[复杂]]的时空现象，并已被视为[[自组织临界性]](SOC)范式。此外，地震活动在时间和空间维度上都表现出尺度特性。
[[复杂网络]]理论提供了研究[[复杂系统]]结构、动力学和功能的强大工具。同时，[[统计物理]]学提供了一个基本框架，并为理解[[复杂网络]]的许多属性带来了理论见解。从应用的角度来看，[[统计物理]]学已经引导了再现现实世界网络的全局和局部特征的零模型的定义。[[复杂网络]]理论是一个新兴的多学科领域，已应用于数学、物理、生物学、计算机科学、社会学、流行病学等多个领域。[[网络科学]]的思想也成功应用于[[气候系统]]，并揭示了其功能背后的有趣机制，从而催生了气候网络(Climate Network, CN)这一新概念的发展。CN中的节点代表可用的地理位置时间序列，尤其是规则的经纬度网格，而不同网格点间的非线性气候记录之间的相似性和因果关系则构成了CN的链接。这种基于数据的方法的发展正在提供调查气候变化模式和动态的全新途径。
在这篇综述中，我们将介绍如何在地球[[系统科学]]中应用[[统计物理]]学方法。特别地，我们的重点主要放在地球[[系统]]的表面，包括[[气候系统]]、地球地貌以及地震[[系统]]，但不包括整个行星内部。
1.3 报道概要（Outline of the report）
1.3 报道概要（Outline of the report）
除了这一简要的引言部分外，本报告共分为三个主要章节。在接下来的第2章中，我们将首先介绍贯穿后续讨论的整体方法论。该部分涵盖了一些基础但较为理论性的主题，包括气候网络（CN）方法、[[渗流理论]]、[[临界点]]分析、熵理论以及[[复杂性]]理论。读者将在这一章中找到对一个综合性理论框架的尝试性定义，该框架将涵盖后文将详细探讨的各种不同情境和[[系统]]。第3章全面回顾了相关应用案例，特别是那些已在[[气候系统]]、地球几何表面地貌以及地震[[系统]]中进行研究的应用。最后，第4章提出我们的总结性观点与展望性想法。
2.方法论（Methodology）
2.方法论（Methodology）
2.1 气候网络 (Climate network)
2.1 气候网络 (Climate network)
二十多年来，[[复杂网络]]范式已展现出其作为多功能工具的巨大潜力，用于探索来自物理学、生物学、社会科学、经济学及许多其他领域中的[[复杂系统]]的动态和结构特性[37,40,47–52]。在网络理论的背景下，[[复杂网络]]是一种具有非平凡拓扑特征的图，这些特征在简单网络（如规则晶格（图2a）或随机埃尔德什–雷尼（Erdős–Rényi，ER）图（图2b））中并不存在。[[复杂网络]]理论的一个新特点是它能够将拓扑特征与[[系统]]功能及动力学联系起来。[[复杂网络]]理论已成功应用于许多现实世界的[[系统]]，并揭示了其功能背后的基本机制。研究还发现，许多现实世界网络都是[[无标度网络]]（图2c）[38,53]。
近年来，网络理论的思想也被应用于气候科学中，以构建气候网络（Climate Networks，CN）[43,44,54]。在气候网络中，地理位置（或网格点）被视为网络中的节点，两个网格点之间记录（时间序列）的相似性（因果性）水平则表示连接及其强度。各种气候数据，如温度、气压、风速和降水，都可以用来构建网络。气候网络方法可以研究全球不同地点之间的相互关系，从而代表气候系统的整体行为，例如能量和物质如何从一个地点转移到另一个地点。这些网络已被成功用于分析、建模、理解和甚至预测各种气候现象[44–46,55–70]。图3展示了气候网络的一个可视化示例。
近年来，网络理论的思想也被应用于气候科学中，以构建气候网络（Climate Networks，CN）[43,44,54]。在气候网络中，地理位置（或网格点）被视为网络中的节点，两个网格点之间记录（时间序列）的相似性（因果性）水平则表示连接及其强度。各种气候数据，如温度、气压、风速和降水，都可以用来构建网络。气候网络方法可以研究全球不同地点之间的相互关系，从而代表[[气候系统]]的整体行为，例如能量和物质如何从一个地点转移到另一个地点。这些网络已被成功用于分析、建模、理解和甚至预测各种气候现象[44–46,55–70]。图3展示了气候网络的一个可视化示例。
我们首先介绍用于描述网络拓扑结构的一些定义、符号和基本量，然后概述如何构建一个气候网络。
我们首先介绍用于描述网络拓扑结构的一些定义、符号和基本量，然后概述如何构建一个气候网络。
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图2. 基本研究模型网络的特征。（a）一个规则的二维方格晶格，是最高度均匀的网络。（b）一个埃尔德什–雷尼（Erdős–Rényi，ER）网络，其度分布为泊松分布，其度异质性由平均度 ⟨k⟩ 决定。（c）一个无标度（scale-free，SF）网络，其度分布服从幂律分布，因此具有很高的度异质性。图（d）、（e）和（f）分别显示了二维方格晶格、ER 网络和 SF 网络的度分布情况。
图2. 基本研究模型网络的特征。（a）一个规则的二维方格晶格，是最高度均匀的网络。（b）一个埃尔德什–雷尼（Erdős–Rényi，ER）网络，其[[度分布]]为[[泊松分布]]，其度异质性由平均度 ⟨k⟩ 决定。（c）一个[[无标度]]（scale-free，SF）网络，其[[度分布]]服从[[幂律分布]]，因此具有很高的度异质性。图（d）、（e）和（f）分别显示了二维方格晶格、ER 网络和 SF 网络的[[度分布]]情况。
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图 3.考虑到地球表面顶点的空间嵌入，地表气温气候网络的可视化。
图 3.考虑到地球表面[[顶点]]的空间嵌入，地表气温气候网络的可视化。
资料来源图目参考文献[71]
资料来源图目参考文献[71]
2.1.1 网络特征 (Network characteristics)
2.1.1 网络特征 (Network characteristics)
在本节中，我们将回顾用于描述和分析网络的基本特征和指标，其中大部分来自[[图论]][72]。[[图论]]是一个庞大的领域，包含许多分支，但我们在此仅介绍其中一小部分成果，重点介绍与[[复杂]]地球[[系统]]研究最相关的成果。网络，在数学文献中也称为图，是由边连接的[[顶点]]集合。[[顶点]]和边在计算机科学中也被称为节点和链接，在物理学中被称为站点和纽带，在社会学中被称为行动者和纽带[40]。在本综述中，我们将用 $$N$$ 表示[[顶点]]数，用 $$M$$ 表示边数，这也是数学和物理学文献中的常用符号。
[[邻接矩阵]]（The adjacency matrix）
我们将在本综述中研究的大多数网络，其任意一对[[顶点]]之间最多只有一条边，即不允许自边或自循环。在许多情况下，网络的一个简单表示方法是[[邻接矩阵]] $$A$$ ，其元素 $$A_{ij}$$ 如下:
$$A_{ij} =
$$A_{ij} =
\begin{cases}
\begin{cases}
\end{cases}
\end{cases}
$$
$$
我们应该注意到，在[[邻接矩阵]]中，对角矩阵元素全部为零。在某些情况下，将边表示为有强度、权重或值（通常是实数）是有用的。这种加权或加值网络可以通过赋予[[邻接矩阵]]元素等于相应连接权重的值来表示。有向网络或有向图，又称数字图，是指每条边都有一个方向，从一个[[顶点]]指向另一个[[顶点]]的网络。这种边本身称为有向边。在这种情况下，[[邻接矩阵]]通常不是对称的，变成
$$A_{ij} =
$$A_{ij} =
\begin{cases}
\begin{cases}
\end{cases}$$
\end{cases}$$
度数（Degree）
度数（Degree）
网络中[[顶点]]的度是指与之相连的边的数量。我们用$$k_{i}$$表示[[顶点]]$$i$$的度。对于一个有$$N$$个[[顶点]]的无向网络，度数可以用[[邻接矩阵]]（公式 (3) ）表示为
$$k_i = \sum_{j=1}^N A_{ij}.$$
$$k_i = \sum_{j=1}^N A_{ij}.$$
边数 $$M$$等于所有顶点的度数之和除以 2，因此
边数 $$M$$等于所有[[顶点]]的度数之和除以 2，因此
$$M = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N k_i = \frac{1}{2} \sum_{ij} A_{ij}.$$
$$M = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N k_i = \frac{1}{2} \sum_{ij} A_{ij}.$$
无向图中节点的平均度$$\langle k \rangle$$为 $$\langle k \rangle = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} k_i = \frac{2M}{N}.$$
无向图中节点的平均度$$\langle k \rangle$$为 $$\langle k \rangle = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} k_i = \frac{2M}{N}.$$
在有向网络中，度的概念更为[[复杂]]。在有向网络中，每个[[顶点]]或节点都有两个度。入度$$k_i^{\mathrm{in}}$$ 是连接到节点的入边的数量，出度 $$k_j^{\mathrm{out}}$$是连接到节点的出边的数量。根据有向网络的[[邻接矩阵]]公式 (3)，它们可以写成：请记住，有向网络中的边数等于所有[[顶点]]上的边的内向端总数，或等同于边的外向端总数。
$$k_i^{\mathrm{in}} = \sum_{j=1}^{N} A_{ij}, \quad k_j^{\mathrm{out}} = \sum_{i=1}^{N} A_{ij}.$$
$$k_i^{\mathrm{in}} = \sum_{j=1}^{N} A_{ij}, \quad k_j^{\mathrm{out}} = \sum_{i=1}^{N} A_{ij}.$$
请记住，有向网络中的边数等于所有[[顶点]]上的边的内向端总数，或等同于边的外向端总数。
[[度分布]]（Degree distributions）
[[度分布]]是可以直接测量的网络最基本属性之一，或者说是具有 $$k$$ 个连接（度 ）的节点的分数$$P(k)$$ 。厄尔多斯-雷尼(Erdős–Rény)网络 [73] 的一个著名结果是，它的[[度分布]]遵循泊松系数,
$$P(k)=\frac{e^{-z}z^{k}}{k!},$$
$$P(k)=\frac{e^{-z}z^{k}}{k!},$$
其中$$z = \langle k \rangle $$是平均度数。如图 2e 所示，尽管边的位置是随机的，但典型的随机图是相当均匀的，最大数量的节点具有相同数量的边。
其中$$z = \langle k \rangle $$是平均度数。如图 2e 所示，尽管边的位置是随机的，但典型的[[随机图]]是相当均匀的，最大数量的节点具有相同数量的边。
然而，对实际网络（如互联网 [74]、WWW [38]、电子邮件网络 [75]、新陈代谢网络 [76]、航空网络 [77]、神经元网络 [78] 等）的阶数分布的直接测量表明，泊松定律并不适用。但它们表现出近似幂律的度分布：
然而，对实际网络（如互联网 [74]、WWW [38]、电子邮件网络 [75]、[[新陈代谢]]网络 [76]、航空网络 [77]、[[神经元]]网络 [78] 等）的阶数分布的直接测量表明，泊松定律并不适用。但它们表现出[[近似]]幂律的[[度分布]]：
$$P(k)=C k^{-\lambda}$$
$$P(k)=C k^{-\lambda}$$
其中 , $$C$$ 是归一化系数。常数 $$\lambda$$ 被称为幂律的指数。数值范围$$ 2 \leq \lambda \leq 3 $$ 是典型值，但也有可能略微超出这个范围，偶尔也会观察到 [79]。具有幂律阶数分布的网络被称为无标度网络。确定无标度特性的最简单方法是在对数-对数图上如图观察度分布直方图，2f 所示，看是否有一条直线。关于无标度网络的演化，已经提出了几种模型，每种模型都可能导致不同的集合。第一个提议是巴拉巴西和阿尔伯特的优先附着模型，即所称的巴拉巴西-阿尔伯特模型[38]。该模型的几个变体已被提出，见参考文献[80]等。
其中 , $$C$$ 是[[归一化]]系数。常数 $$\lambda$$ 被称为幂律的指数。数值范围$$ 2 \leq \lambda \leq 3 $$ 是典型值，但也有可能略微超出这个范围，偶尔也会观察到 [79]。具有幂律阶数分布的网络被称为[[无标度网络]]。确定[[无标度]]特性的最简单方法是在对数-对数图上如图观察[[度分布]]直方图，2f 所示，看是否有一条直线。关于[[无标度网络]]的演化，已经提出了几种模型，每种模型都可能导致不同的集合。第一个提议是[[巴拉巴西]]和阿尔伯特的优先附着模型，即所称的[[巴拉巴西]]-阿尔伯特模型[38]。该模型的几个变体已被提出，见参考文献[80]等。
[[聚类系数]]（Clustering coefficient）
网络中节点在很短的范围内聚集在一起的程度用[[聚类系数]]来衡量。聚类的定义与网络中三角形的数量有关。如果共享一个邻居的两个节点相互连接的概率很高，那么[[聚类系数]]就很高。最常见的[[聚类系数]]定义方法是：
$$C = \frac{(\text{number of triangles}) \times 3}{\text{(number of connected triples)}}
$$C = \frac{(\text{number of triangles}) \times 3}{\text{(number of connected triples)}}
$$
$$
这里的 "相连三角形 "指的是三个节点$$uvw$$ ，并带有边$$(u, v)$$和 $$(v,w)$$。分子中的 3 因子是因为在计算网络中的连接三元组时，每个三角形会被计算三次。我们还可以通过定义单个顶点的局部聚类系数：
这里的 "相连三角形 "指的是三个节点$$uvw$$ ，并带有边$$(u, v)$$和 $$(v,w)$$。分子中的 3 因子是因为在计算网络中的连接三元组时，每个三角形会被计算三次。我们还可以通过定义单个[[顶点]]的局部[[聚类系数]]：
$$C_i = \frac{\text{the number of triangles connected to vertex } i}{\text{the number of triples centered on vertex } i}$$
$$C_i = \frac{\text{the number of triangles connected to vertex } i}{\text{the number of triples centered on vertex } i}$$
也就是说，要计算$$C_i$$，我们要遍历所有与$$i$$相邻的不同顶点对，计算其中相互连接的顶点对数，然后除以顶点对总数。$$C_i$$表示一对相邻顶点的平均概率的朋友是彼此的朋友。对于阶数为或 的顶点，其分子和分母均为零，我们假设 $$C_i = 0$$ 。那么整个网络的聚类系数 [37] 就是平均值$$ C = \frac{1}{N} \sum_{i} C_i $$。在两个情况下，聚类范围都是$$ 0 \leq C \leq 1$$ 。
也就是说，要计算$$C_i$$，我们要遍历所有与$$i$$相邻的不同[[顶点]]对，计算其中相互连接的[[顶点]]对数，然后除以[[顶点]]对总数。$$C_i$$表示一对相邻[[顶点]]的平均概率的朋友是彼此的朋友。对于阶数为或 的[[顶点]]，其分子和分母均为零，我们假设 $$C_i = 0$$ 。那么整个网络的[[聚类系数]] [37] 就是平均值$$ C = \frac{1}{N} \sum_{i} C_i $$。在两个情况下，聚类范围都是$$ 0 \leq C \leq 1$$ 。
子图（Subgraphs）
子图（Subgraphs）
图 $$G_1$$由节点集合$$P_1$$和边集合 $$E_1$$ 组成, 即为图$$G = \{P, E\} $$ 的子图，如果$$P_1$$ 中的所有节点也是$$P$$ 的节点，并且$$E_1$$ 中的所有边也是$$E$$ 的边。子图最简单的例子是环、树和完全子图[81]。一个 $$k$$ 阶环是由 $$k$$ 条边组成的闭合回路，其中每两条连续的边（且仅有这两条边）有一个共同的节点。也就是说，在图形上，三角形是3阶环，而矩形是4阶环。环的平均度等于2，因为每个节点都有两条边。如图4a所示，树是一个连通的、无向的网络，不包含闭合回路。这里，通过“连通”我们指的是网络中的每个节点都可以通过网络中的某条路径从其他任何节点到达。河流网络是自然产生的具有有向连接的树的一个例子[82]。树最重要的性质是，由于它们没有闭合回路，因此任意一对节点之间只有一条路径。因此，树中的边数总是恰好为 $$k-1$$ 条边。$$k$$阶完全子图，也称为$$k-clique$$,包含$$k$$个节点和所有可能的 $$k(k-1)/2$$条边——换句话说，它们是完全连通的[见图4b]。
图 $$G_1$$由节点集合$$P_1$$和边集合 $$E_1$$ 组成, 即为图$$G = \{P, E\} $$ 的子图，如果$$P_1$$ 中的所有节点也是$$P$$ 的节点，并且$$E_1$$ 中的所有边也是$$E$$ 的边。子图最简单的例子是环、树和完全子图[81]。一个 $$k$$ 阶环是由 $$k$$ 条边组成的闭合回路，其中每两条连续的边（且仅有这两条边）有一个共同的节点。也就是说，在图形上，三角形是3阶环，而矩形是4阶环。环的平均度等于2，因为每个节点都有两条边。如图4a所示，树是一个连通的、无向的网络，不包含闭合回路。这里，通过“连通”我们指的是网络中的每个节点都可以通过网络中的某条[[路径]]从其他任何节点到达。河[[流网络]]是自然产生的具有有向连接的树的一个例子[82]。树最重要的性质是，由于它们没有闭合回路，因此任意一对节点之间只有一条[[路径]]。因此，树中的边数总是恰好为 $$k-1$$ 条边。$$k$$阶完全子图，也称为$$k-clique$$,包含$$k$$个节点和所有可能的 $$k(k-1)/2$$条边——换句话说，它们是完全连通的[见图4b]。
让我们考虑[[ER模型]]，其中我们从$$N$$ 个孤立的节点开始，然后以概率 $$p$$连接每对节点。更一般地，我们可以询问是否存在一个临界概率，该概率标志着由 $$k$$个节点和 $$l$$ 条边组成的任意子图的出现。可以直接回答这个问题的一些重要的特殊情况[81]是：（i）具有$$k$$阶树的阈值概率为 $$p_c(N) = cN^{-\frac{k}{k-1}} $$;（ii）具有$$k$$阶环的阈值概率为 $$p_c(N) = cN^{-1} $$;（iii）具有$$k$$阶完全子图的临界概率为 $$p_c(N) = cN^{-\frac{2}{k-1}} $$
通常，一个网络总是由许多分离的子图或组件组成，即内部连接的节点组，但与其他节点断开连接。在每个这样的组件中，任意两个节点之间都存在一条[[路径]]，但不同组件中的节点之间不存在[[路径]]。大小与整个网络成比例的网络组件, $$N$$ ，被称为巨型组件。
与组件类似，社群的概念也是[[复杂网络]]中最基本的属性之一 [83]。网络的节点可能会结合成紧密连接的群体，而在它们之间仍然存在链接，但连接较少。网络的单个节点可能属于多个社群，并且大多数实际网络由高度重叠的节点社群组成 [84]。由于社群结构在真实网络中非常常见，因此社群发现和检测对于更好地理解网络的功能至关重要。图 4c 显示了一个重叠的 k-团社群的示例。关于图中的社群检测的良好综述可以在参考文献 [85] 中找到。
网络模型 (Network models)
网络模型 (Network models)
[[Erdős–Rényi模型]]：它可以通过以下两个经过充分研究的图集合来解释，$$G_{N,M}$$是具有$$N$$个[[顶点]]和$$M$$条边的所有图的集合；以及，$$G_{N,p}$$即由具有$$N$$个[[顶点]]的图组成的集合，其中每个可能的边以概率$$p$$实现/连接。如果$$M = \binom{N}{2} p $$，则已知这两个最初由Erdős和Rényi研究的族[73]是相似的。它们被称为Erdős–Rényi (ER)模型。这些描述与[[统计物理]]学中研究的微正则系综和正则系综非常相似[86]。[[ER模型]]一直是[[随机图]]领域的主要研究对象[81]，具有泊松[[度分布]]，见公式(7)。
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图 4. 子图概念的说明。(a) 树状网络，(b) 完全完成的网络，(c) k = 4 时的重叠 k-团社区的示例。来源：(c)：转载自参考文献 [84] 中的图。
图 4. 子图概念的说明。(a) 树状网络，(b) 完全完成的网络，(c) k = 4 时的重叠 k-团社区的示例。来源：(c)：转载自参考文献 [84] 中的图。
Barabási–Albert模型：它基于关于[[网络演化]]的两个简单假设[38]。（i）增长：从少量节点开始，在每个时间步，添加一个具有$$m (⩽ m_0) $$条边的新的节点，该节点将连接到[[系统]]中已存在的个不同的节点。（ii）优先连接：这是模型的核心。在选择新节点将要连接的节点时，新节点将连接到节点的概率 $$\Pi $$取决于节点$$i$$的度$$k_i$$，使得$$\Pi(k_i) = \frac{k_i}{\sum_{j} k_j} $$。在这个过程中，经过$$t$$个时间步后，这将导致一个具有$$N = t+ m_0$$个节点和条边的网络。理论和数值结果表明，该网络模型演变为幂律[[度分布]]，见公式（8）。
Watts–Strogatz 模型: 1998年，Watts和Strogatz [37] 提出了一个单参数模型，该模型在规则格子和随机图之间进行插值。该模型背后的细节如下：(i) 起始状态：从一个具有 $$N$$个节点的环状格子开始，其中每个节点都连接到其最近的个邻居。为了始终拥有一个稀疏但连通的网络，考虑$$N \gg k \gg \ln(N) \gg 1$$ 。(ii) 随机化：以概率$$p$$ 随机重连格子的每条边，排除自连接和重复边。这个过程引入了$$pNK/2$$ 条长程边。该模型产生的网络特性是小世界性和高聚类系数。具体来说，小世界网络指的是特征路径长度 $$L$$ 与节点数量的对数成正比的网络，$$L ∝ log N$$。
[[Watts–Strogatz 模型]]: 1998年，Watts和Strogatz [37] 提出了一个单参数模型，该模型在规则格子和[[随机图]]之间进行插值。该模型背后的细节如下：(i) 起始状态：从一个具有 $$N$$个节点的环状格子开始，其中每个节点都连接到其最近的个邻居。为了始终拥有一个稀疏但连通的网络，考虑$$N \gg k \gg \ln(N) \gg 1$$ 。(ii) 随机化：以概率$$p$$ 随机重连格子的每条边，排除自连接和重复边。这个过程引入了$$pNK/2$$ 条长程边。该模型产生的网络特性是[[小世界]]性和高[[聚类系数]]。具体来说，[[小世界网络]]指的是特征[[路径]]长度 $$L$$ 与节点数量的对数成正比的网络，$$L ∝ log N$$。
2.1.2. 皮尔逊相关气候网络 (Pearson correlation climate network)
2.1.2. 皮尔逊相关气候网络 (Pearson correlation climate network)
我们的[[气候系统]]由大量的非线性子[[系统]]组成，这些子[[系统]]在广泛的时间和空间尺度上具有相互的非线性相互作用和[[反馈]]回路。因此，从[[复杂网络]]的角度对地球[[气候系统]]进行建模，可以清晰地提供对演变中的[[气候系统]]潜在动力学的关键见解。如上所述，在[[复杂网络]]中，地球的地理区域被视为节点，而成对的气候变量时间序列之间相似性的双变量统计分析则代表了链接。
一般来说，CNs的构建和分析有五个步骤[46]，该过程如图5所示，改编自[87]。步骤 (i)：节点，CNs中的节点通常定义为经纬度空间网格中不同分辨率的位置。（ii）：气候变量，我们选择合适的气候时间序列进行分析，例如，地表气温、海面温度、降水、风等。通常还需要进行一些预处理。例如，为了避免季节性的强烈影响，我们通常会减去平均季节周期，并除以每个网格点时间序列的季节性标准差。（iii）：边，在此步骤中，我们计算统计相似性，以量化时间序列对之间的相互依赖性。每条边的强度都是基于相关性的。有很多方法可以量化时间序列的相互依赖性，这里我们提到按相关性度量划分的CNs类型。例如，Pearson相关气候网络，我们使用Pearson相关来量化时间序列之间的互相关；而事件同步气候网络使用事件同步方法；互信息气候网络则基于互信息。（iv）：构建，在此步骤中，我们构建CN，这通常涉及一些阈值标准，以仅选择具有统计意义的边。考虑到，例如，显著链接的值 $$\mathcal{W}_{ij}$$高于给定的阈值 $$\mathcal{W}_{c}$$，则邻接矩阵确定为
一般来说，CNs的构建和分析有五个步骤[46]，该过程如图5所示，改编自[87]。步骤 (i)：节点，CNs中的节点通常定义为经纬度空间网格中不同分辨率的位置。（ii）：气候变量，我们选择合适的气候时间序列进行分析，例如，地表气温、海面温度、降水、风等。通常还需要进行一些预处理。例如，为了避免季节性的强烈影响，我们通常会减去平均季节周期，并除以每个网格点时间序列的季节性标准差。（iii）：边，在此步骤中，我们计算统计相似性，以量化时间序列对之间的相互依赖性。每条边的强度都是基于相关性的。有很多方法可以量化时间序列的相互依赖性，这里我们提到按相关性度量划分的CNs类型。例如，Pearson相关气候网络，我们使用Pearson相关来量化时间序列之间的互相关；而事件[[同步]]气候网络使用事件[[同步]]方法；[[互信息]]气候网络则基于[[互信息]]。（iv）：构建，在此步骤中，我们构建CN，这通常涉及一些阈值标准，以仅选择具有统计意义的边。考虑到，例如，显著链接的值 $$\mathcal{W}_{ij}$$高于给定的阈值 $$\mathcal{W}_{c}$$，则[[邻接矩阵]]确定为
$$\mathcal{A}_{ij} = \mathcal{H}(\mathcal{W}_{ij} - \mathcal{W}_c)$$
$$\mathcal{A}_{ij} = \mathcal{H}(\mathcal{W}_{ij} - \mathcal{W}_c)$$
其中$$\mathcal{H}$$是Heaviside函数。然后，我们通过使用各种网络特征来研究所获得的网路。最后，在步骤(v)：气候学解释中，本分析的结果将根据气候系统的动力过程（例如，大气环流、洋流、大量波等）进行解释。
其中$$\mathcal{H}$$是Heaviside函数。然后，我们通过使用各种网络特征来研究所获得的网路。最后，在步骤(v)：气候学解释中，本分析的结果将根据[[气候系统]]的动力过程（例如，大气环流、洋流、大量波等）进行解释。
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图5. 从气候时间序列构建气候网络的方法. 来源：转载自参考文献[87]中的图。
图5. 从气候时间序列构建气候网络的方法. 来源：转载自参考文献[87]中的图。
在下文中，我们将演示如何构建皮尔逊相关气候网络。假设气候变量是每日地表气温，可以来自观测、替代重建、再分析或模拟，这些数据收集于静态测量站，或在网格单元中提供。在网络的每个节点处，我们计算每日大气温度异常$$T_i(t)$$（实际温度值减去气候平均值，然后除以气候标准差），针对每个日历日。
在下文中，我们将演示如何构建皮尔逊相关气候网络。假设气候变量是每日地表气温，可以来自观测、替代重建、再分析或模拟，这些数据收集于静态测量站，或在网格单元中提供。在网络的每个节点处，我们计算每日大气温度异常$$T_i(t)$$（实际温度值减去气候平均值，然后除以气候标准差），针对每个日历日。
为了获得节点对和之间连接权的时间演化，我们遵循[66]，并计算在整个时间跨度内的每个时间窗口$$t$$（如月或年）的时间延迟互相关函数，定义为
为了获得节点对和之间连接权的时间演化，我们遵循[66]，并计算在整个时间跨度内的每个时间窗口$$t$$（如月或年）的时间延迟互[[相关函数]]，定义为
$$C_{ij}^{(t)}(-\tau) = \frac{\langle T_i^{(t)}(t)T_j^{(t)}(t - \tau)\rangle - \langle T_i^{(t)}(t)\rangle\langle T_j^{(t)}(t - \tau)\rangle}{\sqrt{\langle(T_i^{(t)}(t) - \langle T_i^{(t)}(t)\rangle)^2\rangle} \cdot \sqrt{\langle(T_j^{(t)}(t - \tau) - \langle T_j^{(t)}(t - \tau)\rangle)^2\rangle}},$$
$$C_{ij}^{(t)}(-\tau) = \frac{\langle T_i^{(t)}(t)T_j^{(t)}(t - \tau)\rangle - \langle T_i^{(t)}(t)\rangle\langle T_j^{(t)}(t - \tau)\rangle}{\sqrt{\langle(T_i^{(t)}(t) - \langle T_i^{(t)}(t)\rangle)^2\rangle} \cdot \sqrt{\langle(T_j^{(t)}(t - \tau) - \langle T_j^{(t)}(t - \tau)\rangle)^2\rangle}},$$
和 and
和 and
$$C_{ij}^{(t)}(\tau) = \frac{\langle T_i^{(t)}(t - \tau)T_j^{(t)}(t)\rangle - \langle T_i^{(t)}(t - \tau)\rangle\langle T_j^{(t)}(t)\rangle}{\sqrt{\langle(T_i^{(t)}(t - \tau) - \langle T_i^{(t)}(t - \tau)\rangle)^2\rangle} \cdot \sqrt{\langle(T_j^{(t)}(t) - \langle T_j^{(t)}(t)\rangle)^2\rangle}},$$
$$C_{ij}^{(t)}(\tau) = \frac{\langle T_i^{(t)}(t - \tau)T_j^{(t)}(t)\rangle - \langle T_i^{(t)}(t - \tau)\rangle\langle T_j^{(t)}(t)\rangle}{\sqrt{\langle(T_i^{(t)}(t - \tau) - \langle T_i^{(t)}(t - \tau)\rangle)^2\rangle} \cdot \sqrt{\langle(T_j^{(t)}(t) - \langle T_j^{(t)}(t)\rangle)^2\rangle}},$$
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图 6. Pearson 相关气候网络中的典型加权有向链接。(a) 节点 i 位于西南大西洋，节点 j 位于南美大陆。(b) [2014,2018] 年期间的近地面日气温异常。(c) (b) 中所示时间序列之间的互相关函数。此链接的方向是从 i 到j ，权重为$$W_{ij}^+ = 5.71$$。
图 6. Pearson 相关气候网络中的典型加权有向链接。(a) 节点 i 位于西南大西洋，节点 j 位于南美大陆。(b) [2014,2018] 年期间的近地面日气温异常。(c) (b) 中所示时间序列之间的互[[相关函数]]。此链接的方向是从 i 到j ，权重为$$W_{ij}^+ = 5.71$$。
其中括号表示过去$$T$$天的平均值，根据
其中括号表示过去$$T$$天的平均值，根据
$$\langle f(t) \rangle = \frac{1}{T} \sum_{a=1}^{T} f(t - a).$$
$$\langle f(t) \rangle = \frac{1}{T} \sum_{a=1}^{T} f(t - a).$$
这里，$$τ $$是时间滞后，范围是$$[0 ,τ_{max}]$$天。背景噪声水平的可靠估计，即的值，已在 [88,89] 中讨论。基于相关函数，公式。（12）和（13），节点 $$i$$和 $$j$$之间的加权有向链接在参考文献中定义。[59,61,64]。这是通过识别互相关函数的最高峰（或最低谷）的值来完成的，并将此峰（谷）的相应时间滞后表示为$$θ_{i,j}$$ 。$$θ_{i,j}$$的符号表示每个链接的方向；即，当时间滞后为正 时( $$θ_{i,j}>0$$)，链接的方向是从$$j$$ 到 $$i$$[64]。正向和负向链接及其权重通过 $$C_{i,j}(τ)$$确定，并定义为
这里，$$τ $$是时间滞后，范围是$$[0 ,τ_{max}]$$天。背景噪声水平的可靠估计，即的值，已在 [88,89] 中讨论。基于[[相关函数]]，公式。（12）和（13），节点 $$i$$和 $$j$$之间的加权有向链接在参考文献中定义。[59,61,64]。这是通过识别互[[相关函数]]的最高峰（或最低谷）的值来完成的，并将此峰（谷）的相应时间滞后表示为$$θ_{i,j}$$ 。$$θ_{i,j}$$的符号表示每个链接的方向；即，当时间滞后为正 时( $$θ_{i,j}>0$$)，链接的方向是从$$j$$ 到 $$i$$[64]。正向和负向链接及其权重通过 $$C_{i,j}(τ)$$确定，并定义为
$$W_{ij}^+ = \frac{\max(C_{ij}(\tau)) - \text{mean}(C_{ij}(\tau))}{\text{std}(C_{ij}(\tau))},$$
$$W_{ij}^+ = \frac{\max(C_{ij}(\tau)) - \text{mean}(C_{ij}(\tau))}{\text{std}(C_{ij}(\tau))},$$
$$W_{ij}^- = \frac{\min(C_{ij}(\tau)) - \text{mean}(C_{ij}(\tau))}{\text{std}(C_{ij}(\tau))},$$
$$W_{ij}^- = \frac{\min(C_{ij}(\tau)) - \text{mean}(C_{ij}(\tau))}{\text{std}(C_{ij}(\tau))},$$
其中，“max”和“min”是互[[相关函数]]的最大值和最小值，“mean”和“std”是平均值和标准差。典型的时间序列及其互[[相关函数]]如图6所示。为了演示，选择了两个节点，一个节点位于西南大西洋，一个节点位于南美大陆（图6a）。2014年至2018年期间的近地表日平均气温异常如图6b所示。时间序列之间的互[[相关函数]]如图6c所示，其中最大互[[相关函数]]的绝对值远大于噪声水平和最小值。由于$$θ_{i,j}=2>0$$，则链接的方向是从$$j$$到$$i$$。根据公式(15)，我们计算出其权重为$$W_{ij}^+ = 5.71$$。该值表示高于噪声水平5.71个标准差，即高度显著。
最后，可以通过在节点对之间建立连接来构建网络，这些连接的权重大于某个显著阈值。这种方法的优点是它克服了数据中强自相关值的问题[88]。
最后，可以通过在节点对之间建立连接来构建网络，这些连接的权重大于某个显著阈值。这种方法的优点是它克服了数据中强自相关值的问题[88]。
2.1.3. 事件同步气候网络 (Event synchronization climate network)
2.1.3. 事件[[同步]]气候网络 (Event synchronization climate network)
事件[[同步]]方法提供了一种从气候观测构建网络的替代方法：事件[[同步]]气候网络 (CN)。它最初由 Quian Quiroga 等人 [90] 提出，他们测量了[[同步]]性并推断了神经科学中信号之间的时间延迟。事件[[同步]]基于事件的相对时间，例如时间序列中的降雨，并由阈值的交叉或局部最大值或最小值等定义。例如，极端降雨事件被定义为降水量高于所有日子的第 99 个百分位数的日子。事件[[同步]]特别适合研究极端事件。[[同步]]程度由准同时发生的事件数量获得，延迟由一个时间序列（信号）中事件相对于另一个时间序列（信号）的优先顺序计算得出。
事件[[同步]]开始于从两个离散的单变量时间序列 $$X$$ 和 $$Y$$构建两个事件序列。如果$$0 \leq |t_l^x - t_m^y| < \tau_{lm}^{xy} $$ ，则在时间 $$t_{l}^x$$ 在 $$X$$发生的事件 $$l$$被认为与在时间 $$t_m^y$$在 $$Y$$发生的事件$$m$$ 在时间滞后 $$lag ± \tau_{lm}^{xy}$$内[[同步]]，其中
$$\tau_{lm}^{xy} = \min \left\{ t_{l+1}^x - t_l^x, t_l^x - t_{l-1}^x, t_{m+1}^y - t_m^y, t_m^y - t_{m-1}^y \right\} / 2.$$
$$\tau_{lm}^{xy} = \min \left\{ t_{l+1}^x - t_l^x, t_l^x - t_{l-1}^x, t_{m+1}^y - t_m^y, t_m^y - t_{m-1}^y \right\} / 2.$$
这里,$$l=1, 2,...,e_x$$ 和$$m=1,2,...,e_y$$，并且 $$e_x$$和 $$e_y$$分别是 $$X$$ 和 $$Y$$中的事件数量。统计一个事件在 $$X$$ 中发生后不久在 $$Y$$ 中出现的次数,
这里,$$l=1, 2,...,e_x$$ 和$$m=1,2,...,e_y$$，并且 $$e_x$$和 $$e_y$$分别是 $$X$$ 和 $$Y$$中的事件数量。统计一个事件在 $$X$$ 中发生后不久在 $$Y$$ 中出现的次数,
与公式 (18) 类似，我们可以定义 。最后，对称和反对称的组合
与公式 (18) 类似，我们可以定义 。最后，对称和反对称的组合
$$Q_{xy} = \frac{c(y|x) + c(x|y)}{\sqrt{e_x e_y}}, \quad q_{xy} = \frac{c(y|x) - c(x|y)}{\sqrt{e_x e_y}},$$
$$Q_{xy} = \frac{c(y|x) + c(x|y)}{\sqrt{e_x e_y}}, \quad q_{xy} = \frac{c(y|x) - c(x|y)}{\sqrt{e_x e_y}},$$
分别用于测量事件的[[同步]]性和它们的延迟行为。它们被[[归一化]]到 $$0 \leq Q_{xy} \leq 1 \quad \text{和} \quad -1 \leq q_{xy} \leq 1. $$ 。应该注意的是，如果一个记录中几个极端事件非常接近，那么只考虑第一个。特别地，$$ Q_{xy}=1 $$当且仅当信号的事件完全[[同步]]。此外，如果 $$X$$ 中的事件总是先于 $$Y$$ 中的事件，那么我们得到 $$q_{xy} = 1$$
事件[[同步]]方法已被发现对脑电图信号[90]、神经生理信号[91]以及极端降雨事件模式[92–96]的研究很有用。
2.1.4. 互信息气候网络
2.1.4. [[互信息]]气候网络
[[互信息]]方法也是量化时间序列之间相互依赖性和构建气候网络的常用工具之一。两个随机变量的[[互信息]]是衡量这两个变量之间相互依赖性的指标。[[互信息]]的概念与随机变量的熵密切相关[97]。设X和Y是一对随机变量，其[[值域]]为$$X ×Y$$ 。如果它们的联合分布为p(x, y)，并且它们相关的边际[[概率分布]]函数为p(x)和p(y)，那么[[互信息]]定义为
$$M_I = \sum_{x} \sum_{y} p(x, y) \log \left( \frac{p(x, y)}{p(x)p(y)} \right)$$
$$M_I = \sum_{x} \sum_{y} p(x, y) \log \left( \frac{p(x, y)}{p(x)p(y)} \right)$$
发生概率为零的状态将被忽略。
发生概率为零的状态将被忽略。
直观地说，$$M_I$$ 是衡量$$X$$ 和$$Y$$ 的联合分布中表达的内在依赖性相对于它们在独立假设下的相应联合分布的度量。因此，互信息衡量的是依赖性和非线性，事实上：当且仅当 $$X$$ 和 $$Y$$ 是独立的随机变量时，$$M_I=0$$，即$$p(x, y) = p(x)p(y)$$。此外，互信息是非负的、对称的，并且也可以通过时滞来计算 [98]。在获得每对节点的互信息系数（公式 21）后，我们可以构建一个互信息气候网络。研究表明，互信息气候网络可以很好地捕捉到大西洋年代际涛动中发生的海面温度（SST）异常的西向传播 [99]。
直观地说，$$M_I$$ 是衡量$$X$$ 和$$Y$$ 的联合分布中表达的内在依赖性相对于它们在独立假设下的相应联合分布的度量。因此，[[互信息]]衡量的是依赖性和非线性，事实上：当且仅当 $$X$$ 和 $$Y$$ 是独立的随机变量时，$$M_I=0$$，即$$p(x, y) = p(x)p(y)$$。此外，[[互信息]]是非负的、对称的，并且也可以通过时滞来计算 [98]。在获得每对节点的[[互信息]]系数（公式 21）后，我们可以构建一个[[互信息]]气候网络。研究表明，[[互信息]]气候网络可以很好地捕捉到大西洋年代际涛动中发生的海面温度（SST）异常的西向传播 [99]。
总而言之，在本章中，我们描述了不同的网络特征，并介绍了各种线性和非线性[[时间序列分析]]工具，这些工具可用于构建、定义和表征CN。线性和非线性方法包括Pearson相关、事件[[同步]]以及[[信息论]]度量，如熵和[[互信息]]。还有一些其他强大的工具，例如，谱分析、经验正交函数分析和符号序数分析，可用于重建CN [46]。
2.2 渗流理论 (Percolation theory)
2.2 [[渗流理论]] (Percolation theory)
[[渗流]]最初用于描述流体在多孔材料中的运动和过滤[100]。Flory 和 Stockmayer 在聚合和溶胶-凝胶转变中也考虑了[[渗流]]的观点 [101]。
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图 7.512 512 二维方格上的键渗簇，p分别为 (a) 0.3、(b) 0.5 和 (c) 0.55。不同大小的簇具有不同的颜色。较大簇的颜色取决于其大小，从蓝色（小簇）到红色（无限簇）不等。渗流阈值为 p(c)= 0.5。
图 7.512 512 二维方格上的键渗簇，p分别为 (a) 0.3、(b) 0.5 和 (c) 0.55。不同大小的簇具有不同的颜色。较大簇的颜色取决于其大小，从蓝色（小簇）到红色（无限簇）不等。[[渗流阈值]]为 p(c)= 0.5。
近年来，它已成为空间[[随机过程]]理论的基石，广泛应用于[[统计物理]][102-105]、[[相变]][106,107]、材料[108,109]、流行病学[110-113-121]、网络[30,38,40,114]、胶体[122,124,125,126,123]、半导体、交通、湍流以及地球[[系统]][33,65,67,127-130]等领域的各种问题。在研究[[复杂系统]]的结构、稳健性和功能方面，[[渗流理论]]也发挥着举足轻重的作用 [131]。
众所周知，在晶格和其他有序网络中 [106,107,132]，当维度大于 1 时，就会发生渗滤相变。渗滤过程是一个简单的模型，其中节点（位点）或边（键）被占用的概率为 $$p$$，未被占用的概率为 $$q=p-1$$。以规则晶格为例（见图 2a）。如果存在一条从一侧到另一侧的平行路径，且该路径只经过被占据的键和位点，那么该系统就被重新划分为渗滤系统。当存在这样一条路径时，跨越晶格的位点组分或位点簇被称为跨越簇或无限渗流簇。在低浓度 $$p$$ 下，位点要么是孤立的，要么是由最近邻的位点组成的小簇。如果两个位点通过一条最近邻位点路径相连，它们就属于同一个簇。另一方面，当 $$p$$ 值较大时，至少有一条路径存在于相对的两侧之间（见图 7）。渗滤相变发生在某个临界密度 p(c)，该密度取决于晶格的类型和维度。
众所周知，在晶格和其他有序网络中 [106,107,132]，当维度大于 1 时，就会发生渗滤[[相变]]。渗滤过程是一个简单的模型，其中节点（位点）或边（键）被占用的概率为 $$p$$，未被占用的概率为 $$q=p-1$$。以规则晶格为例（见图 2a）。如果存在一条从一侧到另一侧的平行[[路径]]，且该[[路径]]只经过被占据的键和位点，那么该[[系统]]就被重新划分为渗滤[[系统]]。当存在这样一条[[路径]]时，跨越晶格的位点组分或位点簇被称为跨越簇或无限[[渗流]]簇。在低浓度 $$p$$ 下，位点要么是孤立的，要么是由最近邻的位点组成的小簇。如果两个位点通过一条最近邻位点[[路径]]相连，它们就属于同一个簇。另一方面，当 $$p$$ 值较大时，至少有一条[[路径]]存在于相对的两侧之间（见图 7）。渗滤[[相变]]发生在某个临界密度 p(c)，该密度取决于晶格的类型和维度。
对于许多[[复杂网络]]来说，边的概念并不存在。然而，渗滤理论的思想和工具仍然可以应用[51]。主要区别在于，渗滤的条件不再是存在跨簇，而是拥有一个包含 $$O(N)$$ 个节点的簇。如果存在这样的分量，我们称之为巨型分量，这在第 2.1 节中已经讨论过。事实上，巨型分量存在的条件也适用于网格网络，因此它可以作为比跨度属性更通用的条件。
[[渗流]]有两种类型，一种是位点[[渗流]]，即所有位点都有概率 $$p$$ 被占用，$$1-p$$ 。而在键[[渗流]]中，键被占用的概率为 $$p$$ ，超过 $$p(c)$$ 时，它们会形成一个巨大的连通点。在这篇综述中，我们将重点讨论[[渗流]]临界现象，即接近[[渗流阈值]] $$p(c)$$ 时，首次形成巨型分量或[[系统]]坍缩[133]。这些方面被称为临界现象，描述临界现象的基本理论是[[相变]]的缩放理论。
2.2.1. 相变 (Phase transition)
2.2.1. [[相变]] (Phase transition)
[[相变]]的概念通常用于描述热力学物理[[系统]]中物质的固态、液态和气态之间的转变，即有序相（如固态）在某个临界温度 $$T_c$$ 时转变为无序相（如液态）[26]。[[相变]]的另一个经典例子是磁性[[相变]]，用[[伊辛模型]]解释就是在低温、无任何外场的情况下出现自发磁化$$m>0$$ 。当温度升高时，自发磁化会减小，并在 $$T_c$$ 时消失。
实际上，渗滤是一种简单的几何[[相变]]，渗滤阈值 p(c)可以区分有限簇的相位（无序相）和无限簇的相位（有序相）。位点或键的占据概率 p 与热[[相变]]中的温度起着相同的作用。在[[统计物理]]学中，它们通常被称为控制参数 。
[[渗流]]序参数 (Percolation order parameter)
[[渗流]]阶数参数 $$P_{\infty}$$定义为无限簇的相对大小，即属于无限簇的位点分数。对于$$p < p_c$$，只存在有限簇，因此 $$P_{\infty}=0$$；但对于 $$p > p_c$$，$$P_{\infty}$$类似于$$T_c$$以下的磁化，在 $$p_c$$附近表现为幂律
$$P_{\infty} \sim (p - p_c)^{\beta}.$$
$$P_{\infty} \sim (p - p_c)^{\beta}.$$
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图8. 晶格和网络系统中的渗流相变。渗流序参量P∞作为占据概率p的函数，对应于(a) pc = 0.5的二维键渗流，(b) pc ≈ 0.593的二维点渗流，以及(c) pc = 0.25的ER网络。这里ER网络的平均度⟨k⟩ = 4。
图8. 晶格和网络[[系统]]中的[[渗流]][[相变]]。[[渗流]]序参量P∞作为占据概率p的函数，对应于(a) pc = 0.5的二维键[[渗流]]，(b) pc ≈ 0.593的二维点[[渗流]]，以及(c) pc = 0.25的ER网络。这里ER网络的平均度⟨k⟩ = 4。
它描述了渗滤[[系统]]中的有序性，因此被称为序参数。我们在图 8 中分别展示了二维方格模型中键[[渗流]]和位点[[渗流]]以及 ER 网络中位点[[渗流]]的 P 随 p 变化的情况。值得注意的是，我们在图 8 中采用 p 作为控制参数，这使得 P 成为单调递增函数。当 p 逐渐减小（从 1 开始）时，可视为节点或链路的移除（或攻击），[[系统]]在移除 1 的一部分后崩溃p(c)。因此，1-p(c)可以衡量 [[系统]]的弹性，即[[系统]]离崩溃有多近。
团簇尺寸分布 (Cluster size distribution)
团簇尺寸分布 (Cluster size distribution)
临界附近的有限分量分布遵循标度形式[106,107]，即距离坍缩有多近。
临界附近的有限分量分布遵循标度形式[106,107]，即距离坍缩有多近。
其中，s 代表分量大小，$$n_s$$代表分量大小为 s 的分量数量。$$s_{\xi} \sim |p - p_c|^{-\sigma}$$发散，分布尾部表现为临界指数为 σ 的幂律。
其中，s 代表分量大小，$$n_s$$代表分量大小为 s 的分量数量。$$s_{\xi} \sim |p - p_c|^{-\sigma}$$发散，分布尾部表现为临界指数为 σ 的幂律。
平均簇大小 (Average cluster size)
平均簇大小 (Average cluster size)
对于任何给定的站点，其属于[[规模]]为的聚类的概率为 sn(s)。让我们将 ρ(p) 定义为任何给定站点隶属于一个有限群集的概率
$$\rho(p) = \sum_{s=1}^{\infty} s n_s(p) = M_1(p),$$
$$\rho(p) = \sum_{s=1}^{\infty} s n_s(p) = M_1(p),$$
即集群[[规模]]分布的第一矩。因此，对于任何给定有限群集的任何给定站点，该群集[[规模]]的概率$$w_s(p)$$ 为
$$w_s(p) = \frac{1}{\rho(p)} s n_s(p),$$
$$w_s(p) = \frac{1}{\rho(p)} s n_s(p),$$
对于任意给定有限簇的任意位置，簇的平均大小$$\langle s(p) \rangle$$为
对于任意给定有限簇的任意位置，簇的平均大小$$\langle s(p) \rangle$$为
$$\langle s(p) \rangle = \sum_{s=1}^{\infty} s w_s(p) = \frac{1}{\rho(p)} \sum_{s=1}^{\infty} s^2 n_s(p) = \frac{M_2(p)}{M_1(p)}.$$
$$\langle s(p) \rangle = \sum_{s=1}^{\infty} s w_s(p) = \frac{1}{\rho(p)} \sum_{s=1}^{\infty} s^2 n_s(p) = \frac{M_2(p)}{M_1(p)}.$$
注意，平均大小$$\langle s(p) \rangle⟩$$，不包括无限簇，在临界点附近发散为：
注意，平均大小$$\langle s(p) \rangle⟩$$，不包括无限簇，在[[临界点]]附近发散为：
$$\langle s \rangle \sim |p - p_c|^{-\gamma}, \quad (p \to p_c).$$
$$\langle s \rangle \sim |p - p_c|^{-\gamma}, \quad (p \to p_c).$$
相关长度(Correlation length)
相关长度(Correlation length)
相关函数 $$g(\mathbf{r})$$ 是指一个有限簇中占位点与位于$$ \mathbf{r}$$位点之间的位点属于同一簇的概率。通常，对于较大的$$ r \equiv |\mathbf{r}|$$时，存在一个指数截止点，即$$ g(\mathbf{r}) \sim e^{-r/\xi}$$，相关长度为 ξ 。相关性长度ξ定义为
[[相关函数]] $$g(\mathbf{r})$$ 是指一个有限簇中占位点与位于$$ \mathbf{r}$$位点之间的位点属于同一簇的概率。通常，对于较大的$$ r \equiv |\mathbf{r}|$$时，存在一个指数截止点，即$$ g(\mathbf{r}) \sim e^{-r/\xi}$$，相关长度为 ξ 。相关性长度ξ定义为
$$\xi^2 = \frac{\sum_{\mathbf{r}} r^2 g(\mathbf{r})}{\sum_{\mathbf{r}} g(\mathbf{r})}.$$
$$\xi^2 = \frac{\sum_{\mathbf{r}} r^2 g(\mathbf{r})}{\sum_{\mathbf{r}} g(\mathbf{r})}.$$
ξ测量同一有限群组中两个站点之间的平均距离。当 $$p$$接近 $$p_c$$时，ξ 以下列方式增加
ξ测量同一有限群组中两个站点之间的平均距离。当 $$p$$接近 $$p_c$$时，ξ 以下列方式增加
$$\xi \sim |p - p_c|^{-\nu}.$$
$$\xi \sim |p - p_c|^{-\nu}.$$
$$ P_{\infty}$$和$$\langle s \rangle$$类似于磁性系统中的磁化 m 和磁感应强度 χ。β、γ和 ν 称为临界指数，描述了渗滤相变的临界行为。
$$ P_{\infty}$$和$$\langle s \rangle$$类似于磁性[[系统]]中的磁化 m 和磁感应强度 χ。β、γ和 ν 称为临界指数，描述了渗滤[[相变]]的临界行为。
2.2.2. 结构特性 (Structural properties )
2.2.2. 结构特性 (Structural properties )
接下来，我们将简要介绍一些用于表征[[渗流]]簇结构特性的基本测量方法 。更多详情，读者可参阅文献[106]。[106].
[[分形]]维度 (Fractal dimension)
[[分形]]概念由Mandelbrot [134] 引入物理世界，Stanley [135] 将其应用于渗滤，以描述渗滤阈值 $$p_c$$处的簇形状。无限簇在所有长度尺度上都是[[自相似]]的，可视为[[分形]]。[[分形]]维度$$d_f$$ 的定义是：在距离集群某点半径为 r 的球面内，集群的质量 M 平均随 r 的变化情况
$$M(r) \sim r^{d_f}.$$
$$M(r) \sim r^{d_f}.$$
当长度尺度小于相关长度 ξ 时，存在分形结构。当长度尺度大于 ξ 时，集群变得均匀。这可以概括为
当长度尺度小于相关长度 ξ 时，存在[[分形结构]]。当长度尺度大于 ξ 时，集群变得均匀。这可以概括为
$$M(r) \sim
$$M(r) \sim
\begin{cases}
\begin{cases}
巨型分量的相对大小$$P_{\infty}$$也可以表示为
巨型分量的相对大小$$P_{\infty}$$也可以表示为
$$P_{\infty} \sim \frac{r^{d_f}}{r^d} = \frac{\xi^{d_f}}{\xi^d}, \quad r < \xi.$$
$$P_{\infty} \sim \frac{r^{d_f}}{r^d} = \frac{\xi^{d_f}}{\xi^d}, \quad r < \xi.$$
渗滤簇的[[分形维数]]$$d_f$$与临界指数 β 和 ν 有关。将公式 (22) 和 (29) 代入公式 (32)，得到 $$d_f = d - \frac{\beta}{\nu}.$$
[[分形]]分析也被应用于[[复杂网络]]的研究 [136]。一般来说，计算给定[[系统]]的[[分形维数]]有两种基本方法，即使用盒计数法 [137] 或聚类增长法 [138]。(i) 方块计数法：设 $$N_B$$为线性大小为$$ l_B$$的方框数，该方框数需要涵盖对象，[[分形]]维度$$d_f$$由 $$N_B \sim l_B^{-d_f}$$给出。这意味着，在一个[[分形]]对象中，节点的平均数量$$\langle M_B(l_B) \rangle $$大小为$$l_B $$的方格内节点的平均数量为
$$\langle M_B(l_B) \rangle \sim l_B^{d_f}.$$
$$\langle M_B(l_B) \rangle \sim l_B^{d_f}.$$
分形维数 $$d_f$$可以通过幂律拟合得到。(ii) 聚类增长法：与公式 (30) 类似，分形维度 $$d_f$$可通过以下方法计算
[[分形维数]] $$d_f$$可以通过幂律拟合得到。(ii) 聚类增长法：与公式 (30) 类似，[[分形]]维度 $$d_f$$可通过以下方法计算
$$\langle M_C \rangle \sim l^{d_f}.$$
$$\langle M_C \rangle \sim l^{d_f}.$$
其中，$$\langle M_C \rangle $$是集群的平均质量，定义为集群中线性大小 ℓ 内节点的平均数量。需要注意的是，上述方法很难直接应用于网络，因为网络一般不嵌入空间。为了测量网络的分形维度，人们通常会结合重正化的概念 [136]，即对每个化学大小 l(B)放置方框，直到覆盖整个网络。然后将每个方框替换为一个节点（重正化），如果未重正化的⟨(B) 和⟨(B) 之间至少有一个链接，则重正化的节点是相连的。盒之间的链接。重复这一过程，随着$$N_B \sim \ell_B^{-d_f}$$，盒子的数量$$N_B$$与$$\ell_B$$成比例。
其中，$$\langle M_C \rangle $$是集群的平均质量，定义为集群中线性大小 ℓ 内节点的平均数量。需要注意的是，上述方法很难直接应用于网络，因为网络一般不嵌入空间。为了测量网络的[[分形]]维度，人们通常会结合重正化的概念 [136]，即对每个化学大小 l(B)放置方框，直到覆盖整个网络。然后将每个方框替换为一个节点（重正化），如果未重正化的⟨(B) 和⟨(B) 之间至少有一个链接，则重正化的节点是相连的。盒之间的链接。重复这一过程，随着$$N_B \sim \ell_B^{-d_f}$$，盒子的数量$$N_B$$与$$\ell_B$$成比例。
图形维度 $$d_{\text{min}}$$和$$d_\ell$$(Graph dimensions $$d_{\text{min}}$$and$$d_\ell$$)
图形维度 $$d_{\text{min}}$$和$$d_\ell$$(Graph dimensions $$d_{\text{min}}$$and$$d_\ell$$)
分形维数 dmin被用来描述同一簇中两个任意位点之间最短路径的结构特性。假设 ℓ 是路径长度，通常称为 "化学距离"[139]，它与 r 的关系为
[[分形维数]] dmin被用来描述同一簇中两个任意位点之间最短[[路径]]的结构特性。假设 ℓ 是[[路径]]长度，通常称为 "化学距离"[139]，它与 r 的关系为
$$\ell \sim r^{d_{\min}},$$
$$\ell \sim r^{d_{\min}},$$
而 ℓ 范围内的位点数量为
而 ℓ 范围内的位点数量为
$$M(\ell) \sim \ell^{d_\ell},$$
$$M(\ell) \sim \ell^{d_\ell},$$
其中 dℓ 通常称为 "图形维度 "或 "化学维度"。结合公式 (30)、(35) 和 (36)，我们可以得到 $$d_{\text{min}}$$,$$d_\ell$$和$$d_f, d_\ell = \frac{d_f}{d_{\text{min}}}$$。 除了上述分形维度指数 $$d_{\text{min}}$$,$$d_\ell$$ 和$$d_f$$之外，还有一些其他指数，如骨架指数和红键指数，用于描述构成渗流簇的子结构的分形维度[26,107]。
其中 dℓ 通常称为 "图形维度 "或 "化学维度"。结合公式 (30)、(35) 和 (36)，我们可以得到 $$d_{\text{min}}$$,$$d_\ell$$和$$d_f, d_\ell = \frac{d_f}{d_{\text{min}}}$$。 除了上述[[分形]]维度指数 $$d_{\text{min}}$$,$$d_\ell$$ 和$$d_f$$之外，还有一些其他指数，如骨架指数和红键指数，用于描述构成[[渗流]]簇的子结构的[[分形]]维度[26,107]。
2.2.3. 标度理论 (Scaling theory)
2.2.3. 标度理论 (Scaling theory)
[[相变]]的缩放假说由肯尼斯-威尔逊（Kenneth G. Wilson）在上个世纪提出，并于 1982 年获得诺贝尔奖。渗滤簇的缩放理论将渗滤转变的临界指数与簇大小分布 $$n_s(p)$$联系起来。根据缩放假设， $$n_s(p)$$的关系式如下
$$n_s(p) \sim s^{-\tau} f\left( |p - p_c|^{1/\sigma} s \right),$$
$$n_s(p) \sim s^{-\tau} f\left( |p - p_c|^{1/\sigma} s \right),$$
其中，τ 是费雪指数[102]，而 $$f(x)$$ 是遵循$$f(x) = \exp(-x)$$之后的缩放函数，它会迅速衰减为零。相关长度 ξ 定义为所有簇中同一有限簇上被占据位点之间的均方根距离，见公式 (28)。对于有 s 个位点的簇，每个簇上所有位点对之间的均方根距离为
其中，τ 是费雪指数[102]，而 $$f(x)$$ 是遵循$$f(x) = \exp(-x)$$之后的缩放函数，它会迅速衰减为零。相关长度 ξ 定义为所有簇中同一有限簇上被占据位点之间的均方根距离，见公式 (28)。对于有 s 个位点的簇，每个簇上所有位点对之间的均方根距离为
由此得出 ν、σ 和 τ 之间的比例关系
由此得出 ν、σ 和 τ 之间的比例关系
$$\nu = \frac{1}{d_f \sigma} = \frac{\tau - 1}{d \sigma},$$
$$\nu = \frac{1}{d_f \sigma} = \frac{\tau - 1}{d \sigma},$$
其中d是[[系统]]的维度。
考虑集群[[规模]]分布的第 k 个时刻
$$M_k = \sum_{s=1}^{\infty} s^k n_s(p) \sim \sum_{s=1}^{\infty} s^{k-\tau} f\left( \frac{s}{\xi^{d_f}} \right),$$
$$M_k = \sum_{s=1}^{\infty} s^k n_s(p) \sim \sum_{s=1}^{\infty} s^{k-\tau} f\left( \frac{s}{\xi^{d_f}} \right),$$
在临界区的比例为
在临界区的比例为
因此，临界指数并不是相互独立的，而是满足两组缩放和超缩放关系。公式 (42)、(46) 和 (47) 可以轻松表示缩放关系。
因此，临界指数并不是相互独立的，而是满足两组缩放和超缩放关系。公式 (42)、(46) 和 (47) 可以轻松表示缩放关系。
2.2.4. 普遍间隙缩放 (Universal gap scaling )
2.2.4. 普遍间隙缩放 (Universal gap scaling )
渗滤的一个有趣特性是普遍性，这是[[相变]][[临界点]]或临近[[相变]][[临界点]]行为的基本原则。因此，临界指数只取决于[[系统]]的维度，与[[系统]]的微观相互作用细节无关。如上一节所述，[[系统]]的行为由一组临界指数来表征。如果两个[[系统]]的临界指数值相同，则它们属于同一普遍性类别。普遍性是[[相变]]的一般特征。[[相变]]也是以控制有限尺寸行为的缩放函数为特征[140]。有限尺寸缩放概念为研究渗滤转变提供了一个通用工具。
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图9. 爆炸渗流模型示意图。(A) 在每一步中，随机选择两个顶点并通过一条边连接。(B) 在乘积规则（PR）过程的每个时间步，两条边e1和e2竞争加入。被选中的边是使它合并的组件大小乘积最小的边。这里e1被接受，e2被拒绝。(C) 在大小为N = 512,000的系统上，ER、Bohman Frieze（BF）和PR过程的典型演化。来源：图取自参考文献[116]。
图9. 爆炸[[渗流]]模型示意图。(A) 在每一步中，随机选择两个[[顶点]]并通过一条边连接。(B) 在乘积规则（PR）过程的每个时间步，两条边e1和e2竞争加入。被选中的边是使它合并的组件大小乘积最小的边。这里e1被接受，e2被拒绝。(C) 在大小为N = 512,000的[[系统]]上，ER、Bohman Frieze（BF）和PR过程的典型演化。来源：图取自参考文献[116]。
通常，在随机占据或破坏过程中，晶格或网络会发生连续的渗滤[[相变]] [81]。近年来，非[[随机过程]]而是竞争性链路添加过程的爆炸性、混合性和真正不连续的渗滤引起了广泛关注 [116,141-152]。爆炸性渗滤模型的描述如图 9 所示。
没有在临界[[相变]]点进行有限大小缩放分析，而是考虑了[[渗流]]特性的有限大小缩放分析和阶次参数中最大间隙大小的临界缩放。例如，Fan 等人[153] 发展了一种新的普遍间隙缩放理论，并提出了六个间隙临界指数来描述渗滤[[相变]]的普遍性。通过使用有限大小的缩放函数，这一理论框架可应用于各种晶格和网络模型中的连续 和不连续渗滤。
间隙指数 (Gap exponents)
间隙指数 (Gap exponents)
从一个空晶格或具有$$N$$个孤立节点的网络系统开始，随机或通过竞争性加链过程逐个添加键或链路。控制参数用$$r$$表示，它代表链接密度 $$r = \frac{T}{M}$$，$$M$$是最大的边数。阶次参数是最大群组的大小，由整个系统中最大的连接组件给出。在系统演化过程中，我们会记录最大群集$$S(T)$$在时间步长$$T$$的大小，并计算其最大的一步间隙 $$\Delta$$
从一个空晶格或具有$$N$$个孤立节点的网络[[系统]]开始，随机或通过竞争性加链过程逐个添加键或链路。控制参数用$$r$$表示，它代表链接密度 $$r = \frac{T}{M}$$，$$M$$是最大的边数。阶次参数是最大群组的大小，由整个[[系统]]中最大的连接组件给出。在[[系统]]演化过程中，我们会记录最大群集$$S(T)$$在时间步长$$T$$的大小，并计算其最大的一步间隙 $$\[[Del]]ta$$
$$\Delta \equiv \frac{1}{N} \max_{T} [S(T + 1) - S(T)].$$
$$\[[Del]]ta \equiv \frac{1}{N} \max_{T} [S(T + 1) - S(T)].$$
跃迁最大的步长定义为 $$T_c$$，其相对过渡点定义为$$r_c$$。此外，渗流强度定义为 $$T_c$$处最大连通分量的大小，即$$S_c = S(T_c)$$.。
跃迁最大的步长定义为 $$T_c$$，其相对过渡点定义为$$r_c$$。此外，[[渗流]]强度定义为 $$T_c$$处最大连通分量的大小，即$$S_c = S(T_c)$$.。
[[渗流]]等临界现象表现出[[无标度]]行为，可通过标度关系量化，详见前几节的讨论。同样，作为$$L$$ 的函数，平均值$$\bar{\[[Del]]ta}$$ , $$\bar{r}_c$$ 和$$\bar{S}_c$$ 预计会呈现如下幂律关系[153]，
$$\bar{\Delta}(L) \sim L^{-\beta_1},$$
$$\bar{\[[Del]]ta}(L) \sim L^{-\beta_1},$$
$$\bar{r}_c(L) - r_c(\infty) \sim L^{-1/\nu_1},
$$\bar{r}_c(L) - r_c(\infty) \sim L^{-1/\nu_1},
$$
$$
$$\bar{S}_c(L) \sim L^{d_f 1},$$
$$\bar{S}_c(L) \sim L^{d_f 1},$$
其中，β1、ν1和$$d_{f1}$$是描述渗流普遍等级的三个临界指数，是热力学无穷大极限下的渗流阈值, $$L \rightarrow \infty$$。它们对应的波动
其中，β1、ν1和$$d_{f1}$$是描述[[渗流]]普遍等级的三个临界指数，是热力学无穷大极限下的[[渗流阈值]], $$L \rightarrow \infty$$。它们对应的波动
$$\delta \Delta^{(i)} = \Delta^{(i)}(L) - \bar{\Delta}(L)$$, $$\delta r_c^{(i)} = r_c^{(i)}(L) - \bar{r}_c(L)$$和$$\delta S_c^{(i)} = S_c^{(i)}(L) - \bar{S}_c(L)$$ ,也被研究
$$\delta \[[Del]]ta^{(i)} = \[[Del]]ta^{(i)}(L) - \bar{\[[Del]]ta}(L)$$, $$\delta r_c^{(i)} = r_c^{(i)}(L) - \bar{r}_c(L)$$和$$\delta S_c^{(i)} = S_c^{(i)}(L) - \bar{S}_c(L)$$ ,也被研究
$$\chi_{\Delta} = \sqrt{\frac{1}{D} \sum_{i=1}^{D} [\delta \Delta^{(i)}]^2},$$
$$\chi_{\[[Del]]ta} = \sqrt{\frac{1}{D} \sum_{i=1}^{D} [\delta \[[Del]]ta^{(i)}]^2},$$
$$\chi_{r_c} = \sqrt{\frac{1}{D} \sum_{i=1}^{D} [\delta r_c^{(i)}]^2},$$
$$\chi_{r_c} = \sqrt{\frac{1}{D} \sum_{i=1}^{D} [\delta r_c^{(i)}]^2},$$
$$\chi_{S_c} = \sqrt{\frac{1}{D} \sum_{i=1}^{D} [\delta S_c^{(i)}]^2},$$
$$\chi_{S_c} = \sqrt{\frac{1}{D} \sum_{i=1}^{D} [\delta S_c^{(i)}]^2},$$
其中 D 是独立实现的次数。我们预计 $$\chi_{\Delta}$$, $$\chi r_c$$ and $$χSc\chi S_c$$ 随 L 的代数衰减，其缩放关系如下
其中 D 是独立实现的次数。我们预计 $$\chi_{\[[Del]]ta}$$, $$\chi r_c$$ and $$χSc\chi S_c$$ 随 L 的代数衰减，其缩放关系如下
$$\chi_{\Delta} \sim L^{-\beta_2},$$
$$\chi_{\[[Del]]ta} \sim L^{-\beta_2},$$
$$\chi_{r_c} \sim L^{-1/\nu_2},$$
$$\chi_{r_c} \sim L^{-1/\nu_2},$$
$$\chi_{S_c} \sim L^{df_2}$$
$$\chi_{S_c} \sim L^{df_2}$$
其中，β(2)、ν(2)和 $$df_2$$构成另一组临界指数。新的六个间隙临界指数表征了渗流的普遍性。需要注意的是，它们与标准渗流指数高度相关，并非完全独立。间隙指数与标准渗流临界指数之间的关系推导如下[153]
其中，β(2)、ν(2)和 $$df_2$$构成另一组临界指数。新的六个间隙临界指数表征了[[渗流]]的普遍性。需要注意的是，它们与标准[[渗流]]指数高度相关，并非完全独立。间隙指数与标准[[渗流]]临界指数之间的关系推导如下[153]
$$\beta_1 = \beta_2 = \beta / v$$
$$\beta_1 = \beta_2 = \beta / v$$
$$\nu_2 = \nu$$
$$\nu_2 = \nu$$
$$df_1 = df_2 = df.$$
$$df_1 = df_2 = df.$$
特别是，β(1)的值可以暗示渗流的阶次。也就是说，β(1)=0 表示渗流是一阶转变；而 0< β1< 1 的模型是连续的[120,147]。我们在图 10 中给出了二维方形晶格上键渗流的数值结果，我们得到了 $$\beta_1 = \beta_2 \approx 0.104$$,$$ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{v_2} \approx \frac{1}{v}$$, and$$ r_c(\infty) \approx 0.5$$, 以及 $$df_1 = df_2 \approx 1.895$$。所有结果都与已知理论值一致[103]。
特别是，β(1)的值可以暗示[[渗流]]的阶次。也就是说，β(1)=0 表示[[渗流]]是一阶转变；而 0< β1< 1 的模型是连续的[120,147]。我们在图 10 中给出了二维方形晶格上键[[渗流]]的数值结果，我们得到了 $$\beta_1 = \beta_2 \approx 0.104$$,$$ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{v_2} \approx \frac{1}{v}$$, and$$ r_c(\infty) \approx 0.5$$, 以及 $$df_1 = df_2 \approx 1.895$$。所有结果都与已知理论值一致[103]。
2.3. 临界点分析 (Tipping points analysis)
2.3. [[临界点]]分析 (Tipping points analysis)
引爆点（Tipping point）的概念，即“小事情能产生大影响”，最早由Malcolm Gladwell在他的著作[154]中提出。它的意思是，在特定的时间点，一个小的变化可能会在一个复杂的系统中导致巨大的和长期的后果。引爆点通常与分岔[155]相关联。引爆点被定义为“临界质量的时刻，阈值，沸点”。许多复杂系统都会经历行为的突然转变，通常被称为引爆点或临界转变，范围从气候[23,156–161]、生态系统[158,162–167]到社会科学[168,169]、金融市场[170,171]、医学[172–174]和事件宏观经济主体模型[175]。
引爆点（Tipping point）的概念，即“小事情能产生大影响”，最早由Malcolm Gladwell在他的著作[154]中提出。它的意思是，在特定的时间点，一个小的变化可能会在一个[[复杂]]的[[系统]]中导致巨大的和长期的后果。引爆点通常与分岔[155]相关联。引爆点被定义为“临界质量的时刻，阈值，沸点”。许多[[复杂系统]]都会经历行为的突然转变，通常被称为引爆点或临界转变，范围从气候[23,156–161]、生态[[系统]][158,162–167]到社会科学[168,169]、金融市场[170,171]、医学[172–174]和事件宏观经济主体模型[175]。
[[复杂系统]]可能在[[临界点]]处突然从一种状态转变为另一种状态，这可能意味着威胁和突发且不可逆转的变化的风险正在增加 [161]。因此，理解理论机制并预测临界现象具有重要的实际意义。尽管在这些[[临界点]]发生之前对其进行预测是出了名的困难。理论提出了通用预警信号（EWS）的存在，这些信号可能表明，对于广泛的[[系统]]而言，临界阈值是否正在逼近 [176–178]。EWS是目前预测临界跃迁的最强大工具之一。[[临界点]]分析技术提供了一个重要的工具，用于预测、检测和预报[[复杂]][[动力系统]]中的[[临界点]]。该方法通常结合时间序列中的监测记忆，包括动态导出的滞后1自相关 [179]、去趋势波动分析（DFA）的幂律标度指数 [180,181]，以及基于功率谱的分析 [182]。
2.3.1. 基础概念 (Basic concepts)
2.3.1. 基础概念 (Basic concepts)
[[临界点]]的定义：遵循参考文献[177]，[[临界点]]是指[[系统]]未来状态发生质变所对应的[[临界点]]。确定一个控制参数为(ρ)，对于该参数存在一个阈值$$(\rho_c)$$，当存在一个小的扰动$$(\delta \rho > 0)$$ 时，经过一段时间(T > 0)后，会导致[[系统]]的一个关键特征(F )发生质变(Fˆ)。实际变化(∆F )定义为：
$$\left| \Delta F \right| = \left| F(\rho \geq \rho_c + \delta \rho | T) - F(\rho_c | T) \right| \geq \hat{F} > 0$$
$$\left| \[[Del]]ta F \right| = \left| F(\rho \geq \rho_c + \delta \rho | T) - F(\rho_c | T) \right| \geq \hat{F} > 0$$
在这个定义中，临界阈值$$(\rho_c)$$被认为是引爆点，超过这个点就会发生质变。请注意，这种变化可能立即发生，甚至在原因发生很久之后才发生。
在这个定义中，临界阈值$$(\rho_c)$$被认为是引爆点，超过这个点就会发生质变。请注意，这种变化可能立即发生，甚至在原因发生很久之后才发生。
[[临界点]]的类型：[[复杂系统]]中临界现象背后的理论机制可以有效地分为三个不同的类别：由分岔引起的、由噪声引起的和由速率决定的[[临界点]][183]。
分岔意味着，当驱动力$$\rho$$ 发生微小变化并超过临界阈值时，会导致系统状态发生巨大的非线性变化，从而满足公式 (59) 中临界点的定义。给定一个概念化的开放系统 [184]，
分岔意味着，当驱动力$$\rho$$ 发生微小变化并超过临界阈值时，会导致[[系统]]状态发生巨大的非线性变化，从而满足公式 (59) 中[[临界点]]的定义。给定一个概念化的开放[[系统]] [184]，
$$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t} = f(F, \rho(t)),$$
$$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t} = f(F, \rho(t)),$$
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图10.二维方形晶格系统中键渗流的能隙临界指数。(a)和(b)，$$\bar{\Delta}(L)$$和$$\chi_{\Delta}$$随$$L$$的变化关系。(c)和(d)，渗流阈值$$\bar{r}_{c}(L)$$和$$\chi_{\Delta}$$与$$L$$的双对数图。(e)和(f)，$$\bar{S}_{c}(L)$$和$$\chi_{s_c}$$与$$L$$的幂律关系。(c)中的插图展示了$$r_{c}(\infty) -\bar{r}_{c}(L)随$$$$L$$变化的双对数图。
图10.二维方形晶格[[系统]]中键[[渗流]]的能隙临界指数。(a)和(b)，$$\bar{\[[Del]]ta}(L)$$和$$\chi_{\[[Del]]ta}$$随$$L$$的变化关系。(c)和(d)，[[渗流阈值]]$$\bar{r}_{c}(L)$$和$$\chi_{\[[Del]]ta}$$与$$L$$的双对数图。(e)和(f)，$$\bar{S}_{c}(L)$$和$$\chi_{s_c}$$与$$L$$的幂律关系。(c)中的插图展示了$$r_{c}(\infty) -\bar{r}_{c}(L)随$$$$L$$变化的双对数图。
来源：转载自参考文献[153]的图。
来源：转载自参考文献[153]的图。
其中ρ(t) 通常是一个随时间变化的输入。当ρ为常数时我们将式（60）称为具有参数λ的参数化系统并将其稳定解称为准静态吸引子。如果ρ(t)通过了系统的某个分岔点（在该点处，一个准静态吸引子失去稳定性），那么显然可以直观地看出，由于改变该参数，系统可能会直接“发生倾斜”。我们在图11中给出了两个由分岔引起的“倾斜点”的例子。其中系统的状态由（61）和（62）描述。
其中ρ(t) 通常是一个随时间变化的输入。当ρ为常数时我们将式（60）称为具有参数λ的参数化[[系统]]并将其稳定解称为准静态[[吸引子]]。如果ρ(t)通过了[[系统]]的某个分岔点（在该点处，一个准静态[[吸引子]]失去稳定性），那么显然可以直观地看出，由于改变该参数，[[系统]]可能会直接“发生倾斜”。我们在图11中给出了两个由分岔引起的“倾斜点”的例子。其中[[系统]]的状态由（61）和（62）描述。
$$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t} = \rho + F - F^3,$$
$$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t} = \rho + F - F^3,$$
And
And
$$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t} = \rho F - F^3,$$
$$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t} = \rho F - F^3,$$
分别对应于图 11 a 和 b。一般来说，当一个系统接近分岔临界点（其当前状态变得不稳定）时，会导致向另一种吸引子的转变。
分别对应于图 11 a 和 b。一般来说，当一个[[系统]]接近分岔[[临界点]]（其当前状态变得不稳定）时，会导致向另一种[[吸引子]]的转变。
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噪声诱导的[[复杂系统]]现有稳定状态之间的跃迁（图11c），也可以被视为[[临界点]][185]，然而，它们不符合强制变化的定义，如公式（59）所示。噪声诱导的[[临界点]]意味着噪声波动导致[[系统]]偏离准静态[[吸引子]]的邻域。例如，Pikovsky和Kurths研究了噪声驱动的可激发Fitz Hugh–Nagumo[[系统]]中的相干共振，并揭示了相干共振效应可以用激活时间和偏移时间的不同噪声依赖性来解释[186]。末次冰期期间的突发变暖事件，即丹斯伽德-奥施格事件，提供了一个噪声诱导[[临界点]]的真实世界例子[185]。此外，Sutera [187]研究了一个简单的全球零维能量平衡模型中，具有冰反照率和温室[[反馈]]的噪声诱导[[临界点]][188]。他们的结果表明，‘温暖’和‘寒冷’气候状态之间随机转变的特征时间为100,000年，这与观测数据非常吻合。噪声诱导的[[临界点]]方法也已成功用于模拟其他气候模型和现象的变化[189]。与接近分岔相反，研究发现噪声诱导的跃迁从根本上是不可预测的，并且没有显示任何EWS [177]。
速率依赖性，其中[[系统]]无法跟踪连续变化的准静态[[吸引子]]。为了更好地理解速率依赖性倾覆现象，Ashwin等人引入了一个具有倾覆半径的线性模型，并讨论了速率依赖性倾覆出现的三种例子[183]。给定一个[[系统]]，对于 $$F \in_{\epsilon} \mathbb{R}^{n}$$，且参数ρ具有一个准静态平衡$$\tilde{F}(\rho)$$，倾覆半径为R > 0，那么对于某个初始值$$F_{0}$$ ，满足 $$\left| F_{0} - \tilde{F}(\rho) \right| < R$$，F随时间的演化由下式给出
$$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t} = M(F - \tilde{F}(\rho)) \quad \text{for} \quad |F - \tilde{F}(\rho)| < R,$$
$$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t} = M(F - \tilde{F}(\rho)) \quad \text{for} \quad |F - \tilde{F}(\rho)| < R,$$
其中M是一个固定的稳定线性算子$$\text{(i.e. } |e^{Mt}| \rightarrow 0 \text{ as } t \rightarrow \infty\text{)}$$。$$\rho(t)$$是一个随时间变化的参数，表示子系统的输入。倾覆半径可能与非线性问题的吸引盆边界有关。该模型仅显示速率相关的倾覆——因为M是固定的，并且系统中没有分岔，也没有噪声存在。特别地，该模型可以推广到包括随ρ(t)变化的M和R。方程(63)可以用初始条件 $$F(0) = F_{0}$$求解，得到
其中M是一个固定的稳定线性算子$$\text{(i.e. } |e^{Mt}| \rightarrow 0 \text{ as } t \rightarrow \infty\text{)}$$。$$\rho(t)$$是一个随时间变化的参数，表示子[[系统]]的输入。倾覆半径可能与非线性问题的吸引盆边界有关。该模型仅显示速率相关的倾覆——因为M是固定的，并且[[系统]]中没有分岔，也没有噪声存在。特别地，该模型可以推广到包括随ρ(t)变化的M和R。方程(63)可以用初始条件 $$F(0) = F_{0}$$求解，得到
$$F(t) = e^{Mt} F_0 + \int_{s=0}^{t} e^{M(t-s)} M \tilde{F}(\rho(s)) \, ds.$$
$$F(t) = e^{Mt} F_0 + \int_{s=0}^{t} e^{M(t-s)} M \tilde{F}(\rho(s)) \, ds.$$
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图12. 地球气候系统中的一些基本主要临界点要素。
图12. 地球[[气候系统]]中的一些基本主要[[临界点]]要素。
来源：参考文献[161]中的图。
来源：参考文献[161]中的图。
需要注意的是，在零纬全局能量平衡模型中也观察到了与速率相关的[[临界点]]现象[188]。除了上述三种类型的失稳之外，还可能存在另一种类型，即可逆失稳点。在图11d中，我们展示了一个可逆失稳点的示例，在该示例中，一个单稳态[[系统]]表现出非线性但可逆的变化[159]。
2.3.2. 地球气候系统中的临界要素
2.3.2. 地球[[气候系统]]中的临界要素
在参考文献[23]中，Lenton等人引入了“临界要素”一词，用以描述地球系统中可能超过临界点的大尺度组成部分，并评估了它们的临界点所在。他们强调，人类活动可能在推动地球系统组成部分超过其临界点方面发挥至关重要的作用，从而对我们的社会和自然系统产生深远的影响。他们还定义了具有以下条件的与政策相关的临界要素子集：（i）第一个条件在公式（59）中描述；（ii）第二个条件与“政治时间范围”TP相关；（iii）第三个条件被称为“伦理时间范围”TE;；（iv）最后一个条件是，应该在影响方面相应地定义质变。根据上述四个条件，我们在此回顾气候系统中一些与政策相关的潜在临界要素，如图12所示。对于每个临界要素，我们考虑其（1）系统特征F（参见公式（59））或变化方向，（2）控制参数ρ，（3）临界值ρc，（4）转变时间尺度T以及（5）关键影响。
在参考文献[23]中，Lenton等人引入了“临界要素”一词，用以描述地球[[系统]]中可能超过[[临界点]]的大尺度组成部分，并评估了它们的[[临界点]]所在。他们强调，人类活动可能在推动地球[[系统]]组成部分超过其[[临界点]]方面发挥至关重要的作用，从而对我们的社会和[[自然系统]]产生深远的影响。他们还定义了具有以下条件的与政策相关的临界要素子集：（i）第一个条件在公式（59）中描述；（ii）第二个条件与“政治时间范围”TP相关；（iii）第三个条件被称为“伦理时间范围”TE;；（iv）最后一个条件是，应该在影响方面相应地定义质变。根据上述四个条件，我们在此回顾[[气候系统]]中一些与政策相关的潜在临界要素，如图12所示。对于每个临界要素，我们考虑其（1）[[系统]]特征F（参见公式（59））或变化方向，（2）控制参数ρ，（3）临界值ρc，（4）转变时间尺度T以及（5）关键影响。
北极海冰。对于夏季和冬季的北极海冰，覆盖面积都在减少，并且大片区域的冰层已显著变薄[190]。在IPCC使用海洋-大气GCMs的预测中，其中一半将在本世纪的九月份变为无冰状态[191]，极地温度为−9 ◦C [192]。面积范围的减少可以被视为系统的特征，用F表示；局部气温∆Tair和海洋热输送可以被视为控制参数；文献中仍然缺乏临界阈值的数值；过渡时间尺度约为T ∼ 10年；北极海冰的减少会放大变暖并引起生态系统变化。
北极海冰。对于夏季和冬季的北极海冰，覆盖面积都在减少，并且大片区域的冰层已显著变薄[190]。在IPCC使用海洋-大气GCMs的预测中，其中一半将在本世纪的九月份变为无冰状态[191]，极地温度为−9 ◦C [192]。面积范围的减少可以被视为[[系统]]的特征，用F表示；局部气温∆Tair和海洋热输送可以被视为控制参数；文献中仍然缺乏临界阈值的数值；过渡时间尺度约为T ∼ 10年；北极海冰的减少会放大变暖并引起生态[[系统]]变化。
格陵兰冰盖。据报道，格陵兰冰盖正以加速的速度融化[193]，如果超过某个特定阈值，可能会在数千年内使海平面额外升高7米。冰体积的减少可以被看作是系统的一个特征F；局部气温 $$\Delta T_{\text{air}}$$ 是一个控制参数；临界值 $$\rho_{c} \sim 3^{\circ}$$ ;；过渡时间尺度T可达约300年。
格陵兰冰盖。据报道，格陵兰冰盖正以加速的速度融化[193]，如果超过某个特定阈值，可能会在数千年内使海平面额外升高7米。冰体积的减少可以被看作是[[系统]]的一个特征F；局部气温 $$\[[Del]]ta T_{\text{air}}$$ 是一个控制参数；临界值 $$\rho_{c} \sim 3^{\circ}$$ ;；过渡时间尺度T可达约300年。
西南极冰盖。根据IPCC报告[193]，西南极洲阿蒙森海湾可能已经超过了一个临界点，即“接地线”（冰、海洋和基岩相遇的地方）正在不可逆转地后退。这也可能破坏西南极冰盖的其余部分[194]。利用古气候学数据发现，西南极冰盖的这种大范围崩塌在过去曾多次发生。与格陵兰冰盖类似，冰体积的减少可以被认为是F；局部气温 $$\Delta T_{\text{air}}$$ 是控制参数；临界值$$\rho_{c} \sim 5 - 8^{\circ}$$ ; 过渡时间尺度T可达300年。西南极冰盖的崩塌可能导致海平面在几个世纪到几千年的时间尺度上上升约5米[23]。
西南极冰盖。根据IPCC报告[193]，西南极洲阿蒙森海湾可能已经超过了一个[[临界点]]，即“接地线”（冰、海洋和基岩相遇的地方）正在不可逆转地后退。这也可能破坏西南极冰盖的其余部分[194]。利用古气候学数据发现，西南极冰盖的这种大范围崩塌在过去曾多次发生。与格陵兰冰盖类似，冰体积的减少可以被认为是F；局部气温 $$\[[Del]]ta T_{\text{air}}$$ 是控制参数；临界值$$\rho_{c} \sim 5 - 8^{\circ}$$ ; 过渡时间尺度T可达300年。西南极冰盖的崩塌可能导致海平面在几个世纪到几千年的时间尺度上上升约5米[23]。
大西洋环流。大西洋经向翻转环流（AMOC）是地球主要的海洋环流[[系统]]之一，它重新分配热量并影响气候。研究提供了证据，表明自20世纪中叶以来，AMOC减弱了约3 ± 1斯维德鲁普（约15％）[(3)] [160]。AMOC也被认为是地球[[系统]]的主要临界要素之一[23,156]。大西洋环流的翻转可以被认为是F；额外的北大西洋淡水输入是控制参数；临界值 $$\rho_{c} \sim 0.1 - 0.5 \, \text{\textdegree Sv}$$；过渡时间尺度T可达100年。AMOC的减缓与热带降雨带的南移有关，它通过影响热带辐合带，以及南大洋和南极洲的变暖来实现[17]。
厄尔尼诺-南方涛动（ENSO）。ENSO是热带太平洋异常暖和冷条件之间的年际波动，是地球上最具影响力的海气耦合气候现象之一[195–197]。据报道，极端厄尔尼诺事件在21世纪的发生频率可能会增加[198]。参考文献[199]讨论了全球变暖背景下ENSO的临界点行为。ENSO的振幅被认为是F；纬向平均温跃层深度、赤道东太平洋温跃层锐度以及年循环强度是控制参数；过渡时间尺度T可达100年。较强的厄尔尼诺现象通常会导致更多的极端事件（如洪水、干旱或严重风暴），这对经济、社会、农业和生态系统产生严重影响。
厄尔尼诺-南方涛动（ENSO）。ENSO是热带太平洋异常暖和冷条件之间的年际波动，是地球上最具影响力的海气耦合气候现象之一[195–197]。据报道，极端厄尔尼诺事件在21世纪的发生频率可能会增加[198]。参考文献[199]讨论了全球变暖背景下ENSO的[[临界点]]行为。ENSO的振幅被认为是F；纬向平均温跃层深度、赤道东太平洋温跃层锐度以及年循环强度是控制参数；过渡时间尺度T可达100年。较强的厄尔尼诺现象通常会导致更多的极端事件（如洪水、干旱或严重风暴），这对经济、社会、农业和生态[[系统]]产生严重影响。
印度夏季风。印度夏季风降雨（ISMR）对印度的农业产出和经济有着决定性的影响。季风季节（从六月到九月）可能带来干旱和粮食短缺，或者严重的洪水，取决于降雨量的多少。陆地到海洋的压力梯度驱动着季风环流，这与水分平流[[反馈]]有关[200]。自1953年以来，ISMR呈现下降趋势[201]。据报道，在一些合理的土地利用、温室气体和气溶胶强迫的年代际尺度情景下，印度夏季风在对应于“活跃”和“弱”季风阶段的两个亚稳态状态之间切换[23]。因此，印度夏季风也可以被视为一个临界要素。特别地，ISMR被认为是F；印度上空的行星反照率是控制参数；临界值 $$\rho_{c} = 0.5 \, \text{SV}$$；过渡时间尺度T是1年。
亚马逊雨林。热带森林在全球碳循环中起着至关重要的作用[202]，并且是全球已知物种一半以上的家园[203]。自 1990 年代以来，森林砍伐和气候变化正在破坏热带森林的稳定，每年的森林砍伐率约为 0.5%，近年来这一比例大幅增加[204]。一项经验性研究表明，观测到的热带森林破碎化现象接近于美洲、非洲和亚洲-澳大利亚这三个大陆的临界点[205]。特别是，我们关注亚马逊雨林，因为它是世界上最大的雨林，也是十分之一已知物种的家园[161]。如果森林接近临界点，亚马逊的枯竭可能会释放 90 吉吨的二氧化碳。因此，找到亚马逊雨林的临界点对于我们保持在排放预算范围内至关重要。这里，亚马逊雨林被视为F；降水和旱季长度是控制参数；临界值ρc = 1, 100 毫米/年；其过渡时间尺度T约为 50 年。
亚马逊雨林。热带森林在全球碳循环中起着至关重要的作用[202]，并且是全球已知物种一半以上的家园[203]。自 1990 年代以来，森林砍伐和气候变化正在破坏热带森林的稳定，每年的森林砍伐率约为 0.5%，近年来这一比例大幅增加[204]。一项经验性研究表明，观测到的热带森林破碎化现象接近于美洲、非洲和亚洲-澳大利亚这三个大陆的[[临界点]][205]。特别是，我们关注亚马逊雨林，因为它是世界上最大的雨林，也是十分之一已知物种的家园[161]。如果森林接近[[临界点]]，亚马逊的枯竭可能会释放 90 吉吨的二氧化碳。因此，找到亚马逊雨林的[[临界点]]对于我们保持在排放预算范围内至关重要。这里，亚马逊雨林被视为F；降水和旱季长度是控制参数；临界值ρc = 1, 100 毫米/年；其过渡时间尺度T约为 50 年。
除了上述七个临界要素外，[[气候系统]]中还存在一些潜在的与政策相关的临界要素，例如，撒哈拉/萨赫勒和西非季风、北方森林、南极底层水、苔原、永久冻土、海洋甲烷水合物、海洋缺氧和北极臭氧。感兴趣的读者可以在参考文献[23]中找到它们。强有力的证据表明，在过去十年中，“[[临界点]]正在发生”的说法越来越多。多米诺骨牌效应也被提出’’ [161]。
2.3.3. 临界点的早期预警
2.3.3. [[临界点]]的早期预警
如上所述，许多[[复杂]]的[[动力系统]]，特别是[[气候系统]]，可能存在[[临界点]]，并暗示着不希望发生的崩溃风险。尽管在达到这些[[临界点]]之前对其进行预测是一项巨大的挑战，但通用EWS的存在为预测此类关键转变提供了有用的指标[176,178]。因此，如果能够识别出[[临界点]]的早期预警，那么它将有助于更广泛的社会、科学家和政策制定者采取早期行动，以减少与[[系统]]崩溃相关的损害。因此，大量的研究致力于检测和预测这些关键转变，通常会利用EWS。在这篇综述中，我们将重点介绍用于预测、检测和预报[[动力系统]]中关键转变的[[临界点]]分析技术。
[[临界点]]附近的临界减速
‘‘临界减速’’现象已被认为是[[动力系统]]是否接近临界阈值的指标[206]。例如，这发生在折叠分岔处（图11），通常与[[临界点]]相关联。这表明[[系统]]从小扰动中恢复的速度变慢，并且这种缓慢可以从小扰动中“记忆”的增加来推断。例如，图13表明，临界减速是一个指标，表明[[系统]]已经失去了弹性，并且可能更容易被推入另一种状态（如滞后1自相关所反映的那样）[178]。
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为了阐明临界慢化现象、自相关性增加和方差增加之间的关系，这里我们展示一个简单的例子，揭示其潜在机制。我们考虑一个简单的一阶自回归模型（式65），
为了阐明临界慢化现象、自相关性增加和方差增加之间的关系，这里我们展示一个简单的例子，揭示其潜在机制。我们考虑一个简单的一阶自回归模型（式65），
$$x_{n+1} - \bar{x} = e^{\lambda \Delta t} (x_n - \bar{x}) + \sigma \varepsilon_n$$
$$x_{n+1} - \bar{x} = e^{\lambda \[[Del]]ta t} (x_n - \bar{x}) + \sigma \varepsilon_n$$
$$y_{n+1} = e^{\lambda \Delta t} y_n + \sigma \varepsilon_n,$$
$$y_{n+1} = e^{\lambda \[[Del]]ta t} y_n + \sigma \varepsilon_n,$$
其中 $$\bar{x}$$ 是模型的稳定均衡，$$\Delta t$$是周期， $$\lambda$$ 是恢复速度。这里 $$y_{n}$$是状态变量 x 偏离均衡的偏差，$$\varepsilon_{n}$$是从标准正态分布中获得的随机数，$$\sigma$$ 是标准差。如果$$\lambda$$ 和 $$\Delta t$$独立于$$y_{n}$$，则方程 (65) 可以写成式（66）：
其中 $$\bar{x}$$ 是模型的稳定均衡，$$\[[Del]]ta t$$是周期， $$\lambda$$ 是恢复速度。这里 $$y_{n}$$是状态变量 x 偏离均衡的偏差，$$\varepsilon_{n}$$是从标准正态分布中获得的随机数，$$\sigma$$ 是标准差。如果$$\lambda$$ 和 $$\[[Del]]ta t$$独立于$$y_{n}$$，则方程 (65) 可以写成式（66）：
$$y_{n+1} = \alpha y_n + \sigma \varepsilon_n.$$
$$y_{n+1} = \alpha y_n + \sigma \varepsilon_n.$$
$$y_{n+1} = c + \alpha y_{n} + \sigma \varepsilon_{n}$$ is
$$y_{n+1} = c + \alpha y_{n} + \sigma \varepsilon_{n}$$ is
让我们考虑c = 0，那么期望值等于零，方差为（如式68所示）
让我们考虑c = 0，那么期望值等于零，方差为（如式68所示）
$$\text{Var}(y_{n+1}) = \mathbb{E}(y_n^2) - \mu^2 = \frac{\sigma^2}{1 - \alpha^2}.$$
$$\text{Var}(y_{n+1}) = \mathbb{E}(y_n^2) - \mu^2 = \frac{\sigma^2}{1 - \alpha^2}.$$
当[[系统]]接近[[临界点]]时，返回平衡的速度会降低。这意味着λ趋于零，而α趋于一。根据公式(68)，方差趋于无穷大。总而言之，临界慢化导致滞后1自相关(α)的增加以及由此产生的波动模式（方差）的增加。
减缓变化速度会导致内在变化率降低，因此[[系统]]状态变得更像其过去的状态，即自相关性增加。由此产生的“记忆”增加可以通过[[系统]]频谱等多种方式进行测量。
自[[相关函数]]。滞后1阶自[[相关函数]]（ACF(1)）指标是为即将发生的突变事件提供预警信号的一种简单方法。例如，Held和Kleinen已经表明，在温盐环流模型中，自相关性在分岔附近会增加[179]；Dakos等人发现，在过去的数据中，自相关性在八个著名的气候转变之前会增加[157]。
时间序列中两个数值之间的相关系数被称为自相关系数（ACF）。例如，在自回归模型中，时间序列的自相关系数yn（见式66）可表示为：Corr(yn, yn−s), s = 1, 2, . . . , s表示时间间隔，也被称为滞后值。特别的，滞后1的自相关系数是相隔一个时间步长的数值之间的相关性。更一般的说，滞后s的自相关系数是相隔s个时间步长的数值之间的相关性。
时间序列中两个数值之间的相关系数被称为自相关系数（ACF）。例如，在自回归模型中，时间序列的自相关系数yn（见式66）可表示为：Corr(yn, yn−s), s = 1, 2, . . . , s表示时间间隔，也被称为滞后值。特别的，滞后1的自相关系数是相隔一个时间步长的数值之间的相关性。更一般的说，滞后s的自相关系数是相隔s个时间步长的数值之间的相关性。
$$C(s) \sim s^{-\gamma},$$
$$C(s) \sim s^{-\gamma},$$
ACF的缩放指数 γ是自相关函数随滞后量s增大而呈现的幂律衰减特性[207]。我们将其表示为C(s)，时间序列滞后量s下的自相关值，那么这种缩放关系，对于长距离相关性而言，可定义为$$C(s) \sim s^{-\gamma},$$值的注意的是，对于短距离相关性的记录，C(s)会呈指数衰减，并且只有自相关函数（1）能够表明数据的变异性接近临界点
ACF的缩放指数 γ是自[[相关函数]]随滞后量s增大而呈现的幂律衰减特性[207]。我们将其表示为C(s)，时间序列滞后量s下的自相关值，那么这种缩放关系，对于长距离相关性而言，可定义为$$C(s) \sim s^{-\gamma},$$值的注意的是，对于短距离相关性的记录，C(s)会呈指数衰减，并且只有自[[相关函数]]（1）能够表明数据的变异性接近[[临界点]]
去趋势波动分析。减速会导致记忆量增加，这一现象也可以通过去趋势波动分析（DFA）来测量[180]。有关详细方法，请参阅[180]。DFA常用于检测长程相关性或包括DNA系列、心率、地震以及气候记录等多种时间序列的持久性[208]。如果时间序列具有长程相关性，波动函数 $$F(n)$$将按幂律关系$$F(n) \sim n^{\alpha}$$增加。其中n是窗口大小，α是DFA缩放指数。这里， $$F(n) = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n} (X_t - Y_t^z)^2}$$是时间序列xi的累积和或“轮廓”，Ytz是拟合多项式，z代表DFA的（多项式）阶数。DFA指数α计算为F(n)与n的log-log图的线性拟合斜率。研究发现，时间范围10 ≤ n ≤ 100内的DFA指数对动力系统的变化很敏感，这与ACF(1) [181]相似。
去趋势波动分析。减速会导致记忆量增加，这一现象也可以通过去趋势波动分析（DFA）来测量[180]。有关详细方法，请参阅[180]。DFA常用于检测长程相关性或包括DNA系列、心率、地震以及气候记录等多种时间序列的持久性[208]。如果时间序列具有长程相关性，波动函数 $$F(n)$$将按幂律关系$$F(n) \sim n^{\alpha}$$增加。其中n是窗口大小，α是DFA缩放指数。这里， $$F(n) = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n} (X_t - Y_t^z)^2}$$是时间序列xi的累积和或“轮廓”，Ytz是拟合多项式，z代表DFA的（多项式）阶数。DFA指数α计算为F(n)与n的log-log图的线性拟合斜率。研究发现，时间范围10 ≤ n ≤ 100内的DFA指数对[[动力系统]]的变化很敏感，这与ACF(1) [181]相似。
功率谱。最近，Prettyman等人引入了一种基于功率谱（PS）衰减率的新型尺度指标[214]。PS分析将时间序列中的变化量分解为不同的频率。当系统接近临界跃迁时，它倾向于表现出频谱变红，即在低频率下具有更高的变化[215]。PS标度指数β通过估计功率谱S(f)的斜率来计算，该功率谱来自标度关系
功率谱。最近，Prettyman等人引入了一种基于功率谱（PS）衰减率的新型尺度指标[214]。PS分析将时间序列中的变化量分解为不同的频率。当[[系统]]接近临界跃迁时，它倾向于表现出频谱变红，即在低频率下具有更高的变化[215]。PS标度指数β通过估计功率谱S(f)的斜率来计算，该功率谱来自标度关系
$$S(f) \sim f^{-\beta}.$$
$$S(f) \sim f^{-\beta}.$$
从分析角度来看，这三个标度指数具有线性关系： $$\alpha = \frac{1 + \beta}{2} = 1 - \frac{\gamma}{2}$$ 。据报道，PS指标是一种有用的技术，其行为与相关的ACF(1)和DFA指标类似。此外，它还显示出为真实的地球物理系统（热带气旋）提供预警信号的迹象，而ACF(1)指标则失效 [214]。
从分析角度来看，这三个标度指数具有线性关系： $$\alpha = \frac{1 + \beta}{2} = 1 - \frac{\gamma}{2}$$ 。据报道，PS指标是一种有用的技术，其行为与相关的ACF(1)和DFA指标类似。此外，它还显示出为真实的地球物理[[系统]]（热带气旋）提供预警信号的迹象，而ACF(1)指标则失效 [214]。
除了从扰动中恢复较慢之外，自相关和记忆增加[参见公式(67)]，方差增加[以标准差衡量，参见公式(68)]是临界转变接近时临界减速的另一个可能指标。例如，Carpenter和Brock已经表明，在一个湖泊模型的分岔附近，方差会增加[216]。
除了从扰动中恢复较慢之外，自相关和记忆增加[参见公式(67)]，方差增加[以标准差衡量，参见公式(68)]是临界转变接近时临界减速的另一个可能指标。例如，Carpenter和Brock已经表明，在一个湖泊模型的分岔附近，方差会增加[216]。
跃迁前的闪烁现象。另一个值得注意的早期预警信号（EWS）是[[系统]]在临界跃迁附近于两个稳定状态之间来回振荡。这种振荡被称为闪烁现象，并在湖泊富营养化[217]和营养级联[218]模型中被观察到。
偏度和峰度。除了上述在灾难性分支点之前出现的早期预警信号外，在接近关键转变时还会观察到另外两个先兆，他们被视为早期预警信号，即状态分布的偏度和峰度的变化[219-221].偏度表示分布的不对称性——负偏度表示向右聚集，正偏度则表示相反的情况。偏度是分布围绕均值的标准化第三阶矩（如式72所示）。
偏度和峰度。除了上述在灾难性分支点之前出现的早期预警信号外，在接近关键转变时还会观察到另外两个先兆，他们被视为早期预警信号，即状态分布的偏度和峰度的变化[219-221].偏度表示分布的不对称性——负偏度表示向右聚集，正偏度则表示相反的情况。偏度是分布围绕均值的标准化第三阶矩（如式72所示）。
$$\gamma = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \mu)^3}{\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \mu)^2 \right]^{3/2}}.$$
$$\gamma = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \mu)^3}{\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \mu)^2 \right]^{3/2}}.$$
类似地，峰度是衡量分布“峰态”的指标——正峰度表示峰值高于正态分布的峰值，而负峰度表示峰值低于正态分布的峰值。峰度是围绕分布均值的标准化四阶矩，估计如式73所示。
类似地，峰度是衡量分布“峰态”的指标——正峰度表示峰值高于正态分布的峰值，而负峰度表示峰值低于正态分布的峰值。峰度是围绕分布均值的标准化四阶矩，估计如式73所示。
$$\kappa = \frac{\frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n} (z_t - \mu)^4}{\left( \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n} (z_t - \mu)^2} \right)^2}.$$
$$\kappa = \frac{\frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n} (z_t - \mu)^4}{\left( \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n} (z_t - \mu)^2} \right)^2}.$$
2.3.4. 真实系统中跃迁的先兆
2.3.4. 真实[[系统]]中跃迁的先兆
在上一节中，我们首先强调了临界转变之前可能在非平衡动力学中发生的[[临界点]]的理论背景。然而，在真实[[复杂系统]]中检测预警信号（EWS）仍然是一个巨大的挑战，例如气候、社会和生态[[系统]]。开发基于这些通用属性的可靠预测[[系统]]可以增强我们应对[[系统]]性故障的能力，并指导我们设计更具弹性的[[系统]]。
我们将简要回顾不同真实[[系统]]中转型的新兴先兆，包括气候、生态[[系统]]、医学和金融。当地球[[系统]]被迫跨越阈值进入新的气候状态时，就会发生突变的气候变化[222]。大[[规模]]、突发性和广泛性的气候变化包括石炭纪雨林崩溃[223]、新仙女木事件[224]、温室-冰室过渡[225]、丹斯伽德-奥施格事件、海因里希事件和古新世-始新世极热事件[226]。所有这些快速的气候变化都可以解释为临界转型[176]。例如，自相关性的显著增加被认为是八个著名的气候转型的先兆[157]。人们发现，闪烁现象早于新仙女木寒冷期的突然结束，这也可以被视为一种先兆[227]。
在生态学中，[[临界点]]分析也已成为研究的主要焦点。例如，在被过度捕捞的鱼类种群的失稳中发现了一种早期预警信号，过度捕捞导致鱼类种群波动增加[228]。早期预警信号的出现已在湖泊和海洋[[系统]]中得到证实[229,230]。在生理学中，癫痫发作和哮喘发作中发现了突变[174]。例如，闪烁可能发生在癫痫发作之前。在金融领域，市场动态可能包含指示突变的信息。例如，交易波动性增加可能发生在主要冲击之前[231]。有关真实[[系统]]中转变的其他先兆，读者可参考参考文献[176]。
2.4. 熵与复杂性
2.4. 熵与[[复杂性]]
2.4.1. 引言
2.4.1. 引言
熵是[[统计力学]]中一个重要的概念。它是描述由较小组成部分构成的[[系统]]状态的一个特征量，已被用作[[复杂性]]的一般度量，具有广泛的应用。在经典热力学中，熵与不可逆过程中的能量损失相关，由鲁道夫·克劳修斯在19世纪50年代初提出。热力学熵S源自固定温度 $$T$$ 下的热流 $$\delta Q$$,
$$S = \int \frac{\delta Q}{T}.$$
$$S = \int \frac{\delta Q}{T}.$$
需要注意的是，[[系统]]的熵只有在其处于热力学平衡状态时才有定义。[[统计力学]]中熵的定义是由路德维希·[[玻尔兹曼]]在19世纪70年代通过分析[[系统]]微观组件的统计行为提出的：
$$S = k_B \ln \Omega.$$
$$S = k_B \ln \Omega.$$
其中，S是宏观态的熵，$$k_B$$是玻尔兹曼常数， $$\Omega$$ 代表产生该宏观态的所有可能微观态的总数。从信息论的角度来看，克劳德·香农提出了非常通用的信息熵概念，它是信息论的基本基石，用于描述类似的信息损失[232]。信息熵是衡量接收前缺失信息多少的度量。信息熵的定义为：
其中，S是宏观态的熵，$$k_B$$是[[玻尔兹曼]]常数， $$\Omega$$ 代表产生该宏观态的所有可能微观态的总数。从[[信息论]]的角度来看，[[克劳德·香农]]提出了非常通用的信息熵概念，它是[[信息论]]的基本基石，用于描述类似的信息损失[232]。信息熵是衡量接收前缺失信息多少的度量。信息熵的定义为：
$$S = -k_S \sum_{i} p_i \log p_i,$$
$$S = -k_S \sum_{i} p_i \log p_i,$$
其中$$k_S = \frac{1}{\log(2)} $$（单位为比特），$$p_i$$是每个状态的概率。在量子统计力学中，熵的概念由约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）提出，通常被称为“冯·诺依曼熵”。对于一个由密度矩阵 $$\rho$$ 描述的量子力学系统，冯·诺依曼熵为：
其中$$k_S = \frac{1}{\log(2)} $$（单位为比特），$$p_i$$是每个状态的概率。在量子[[统计力学]]中，熵的概念由[[约翰·冯·诺依曼]]（[[John von Neumann]]）提出，通常被称为“[[冯·诺依曼]]熵”。对于一个由密度矩阵 $$\rho$$ 描述的量子力学[[系统]]，[[冯·诺依曼]]熵为：
$$S = -k_B \operatorname{Tr}(\rho \log \rho),
$$S = -k_B \operatorname{Tr}(\rho \log \rho),
$$
$$
其中 $$\operatorname{Tr}
其中 $$\operatorname{Tr}
$$ 表示迹算子.此外，还存在许多其他类型的熵，如吉布斯熵、残余熵、近似熵、西奈-柯尔莫哥洛夫熵、样本熵、多尺度熵等。熵已被证明在许多现实世界系统中有用，包括DNA序列分析[233]、宇宙学和天体物理学[234-236]、经济学[237,238]以及气候系统[239-241]等领域。每种熵定义对某些系统效果更好，但对其他系统可能失效。我们将在下文中讨论熵具有三种相互关联的解释，作为衡量（i）不可逆变化；（ii）无序性；（iii）不确定性的量度。
$$ 表示迹算子.此外，还存在许多其他类型的熵，如[[吉布斯]]熵、残余熵、[[近似]]熵、西奈-柯尔莫哥洛夫熵、样本熵、多尺度熵等。熵已被证明在许多现实世界[[系统]]中有用，包括DNA序列分析[233]、宇宙学和天体物理学[234-236]、经济学[237,238]以及[[气候系统]][239-241]等领域。每种熵定义对某些[[系统]]效果更好，但对其他[[系统]]可能失效。我们将在下文中讨论熵具有三种相互关联的解释，作为衡量（i）不可逆变化；（ii）无序性；（iii）不确定性的量度。
2.4.2. 不可逆的熵
2.4.2. 不可逆的熵
不可逆性的概念是理解熵的核心。一个不可逆的过程通常被称为不可逆过程。这个概念源于热力学。有研究表明，所有[[复杂]]的动态自然过程都是不可逆的[242]。对于一个经历不可逆过程的孤立[[系统]]，熵永不减少。这就是著名的[[热力学第二定律]]。
[图片]
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为了更好地理解熵在不可逆过程中的行为，我们考虑卡诺热机和相应的卡诺循环。如图14a所示，给定一个带有压力P（外部）的活塞，以及两个热库，一个处于高温$$T_H$$，另一个处于低温$$T_C$$ ，活塞内部装有某种物质（单原子理想气体）。在一个卡诺循环中，热量 $$Q_H$$从高温热库流出，热量 $$Q_c$$ 流入低温热库，从而产生净功 $$W = Q_H - Q_c$$。卡诺设想了一个完全可逆的热机，卡诺循环通过以下四个步骤使活塞内外移动（见图14b，卡诺循环P–V图）。（1）（i→ii）：气体连接到高温热库，活塞在变化的压力和固定温度 TH 下向外移动。在这此步骤中，热量$$Q_H$$流入活塞。（2）（ii→iii）：活塞在变化的压力P下膨胀。（3）（iii→iv）：膨胀后的气体然后连接到低温热库，并在固定温度 $$T_C$$下被压缩。在此步骤中，热量$$Q_c$$流出。（4）（iv→i）：活塞被压缩并回到初始状态。在此步骤中，没有热传递。
为了更好地理解熵在不可逆过程中的行为，我们考虑卡诺热机和相应的卡诺循环。如图14a所示，给定一个带有压力P（外部）的活塞，以及两个热库，一个处于高温$$T_H$$，另一个处于低温$$T_C$$ ，活塞内部装有某种物质（单原子理想气体）。在一个卡诺循环中，热量 $$Q_H$$从高温热库流出，热量 $$Q_c$$ 流入低温热库，从而产生净功 $$W = Q_H - Q_c$$。卡诺设想了一个完全可逆的热机，卡诺循环通过以下四个步骤使活塞内外移动（见图14b，卡诺循环P–V图）。（1）（i→ii）：气体连接到高温热库，活塞在变化的压力和固定温度 TH 下向外移动。在这此步骤中，热量$$Q_H$$流入活塞。（2）（ii→iii）：活塞在变化的压力P下膨胀。（3）（iii→iv）：膨胀后的气体然后连接到低温热库，并在固定温度 $$T_C$$下被压缩。在此步骤中，热量$$Q_c$$流出。（4）（iv→i）：活塞被压缩并回到初始状态。在此步骤中，没有热传递。
将式（84）代入热流方程（81）和（81），我们得到卡诺的基本结果：
将式（84）代入热流方程（81）和（81），我们得到卡诺的基本结果：
$$\frac{Q_H}{T_H} = \frac{Q_C}{T_C}.$$
$$\frac{Q_H}{T_H} = \frac{Q_C}{T_C}.$$
我们定义在固定温度T下的热流 $$\Delta E = Q$$。则熵变$$\Delta S$$为:
我们定义在固定温度T下的热流 $$\[[Del]]ta E = Q$$。则熵变$$\[[Del]]ta S$$为:
$$\Delta S = \frac{Q}{T}.$$
$$\[[Del]]ta S = \frac{Q}{T}.$$
注意，上式等同于式（74）。这意味着对于可逆卡诺热机，从高温热库流出的熵 $$Q_{\mathrm{H}} / T_{\mathrm{H}}$$等于从活塞流出的熵 $$Q_{\mathrm{c}} / T_{\mathrm{c}}$$，即没有熵的产生或消失。然而，对于任何不可逆的实际热机，熵都会增加。
注意，上式等同于式（74）。这意味着对于可逆卡诺热机，从高温热库流出的熵 $$Q_{\mathrm{H}} / T_{\mathrm{H}}$$等于从活塞流出的熵 $$Q_{\mathrm{c}} / T_{\mathrm{c}}$$，即没有熵的产生或消失。然而，对于任何不可逆的实际热机，熵都会增加。
2.4.3. 熵的无序性
2.4.3. 熵的无序性
传统上，熵的另一种解释是描述[[系统]]的无序性或随机性的度量。在热力学中，混合熵是当两种或更多不同类型的粒子混合而没有化学反应时熵的增加。考虑N个理想气体分子被分隔在一个具有两个相等体积V的容器中。总的混合熵 $$S_{\mathrm{un}}$$ 为[29]:
$$S_{\mathrm{un}} = 2k_B \log \left[ V^{N/2} / (N/2)! \right].$$
$$S_{\mathrm{un}} = 2k_B \log \left[ V^{N/2} / (N/2)! \right].$$
这里我们假设两种分离的理想气体具有相同的质量和相同的总能量。移除气体之间的隔板，让它们混合。然后混合熵$$S_{\mathrm{m}}$$ 变为：
这里我们假设两种分离的理想气体具有相同的质量和相同的总能量。移除气体之间的隔板，让它们混合。然后混合熵$$S_{\mathrm{m}}$$ 变为：
$$S_{\mathrm{m}} = 2k_B \log \left[ (2V)^{N/2} / (N/2)! \right].$$
$$S_{\mathrm{m}} = 2k_B \log \left[ (2V)^{N/2} / (N/2)! \right].$$
根据式（87）和（88），我们得到增加的熵,
根据式（87）和（88），我们得到增加的熵,
$$\Delta S = S_{\mathrm{m}} - S_{\mathrm{un}} = Nk_B \left[ \log(2V) - \log V \right] = Nk_B \log 2.$$
$$\[[Del]]ta S = S_{\mathrm{m}} - S_{\mathrm{un}} = Nk_B \left[ \log(2V) - \log V \right] = Nk_B \log 2.$$
上式意味着在混合过程中，每个分子的熵将增加 $$k_B$$log 2 。这是因为温度和压力相等，移除容器的隔板不涉及任何热传递，因此气体的混合（例如通过扩散）总是导致熵的增加。混合是自发的！初始分离的气体扩散导致熵增加。这个过程增加了分子的随机分布。因此，提出熵与复杂性（无序性）之间存在关系是合理的。
上式意味着在混合过程中，每个分子的熵将增加 $$k_B$$log 2 。这是因为温度和压力相等，移除容器的隔板不涉及任何热传递，因此气体的混合（例如通过扩散）总是导致熵的增加。混合是自发的！初始分离的气体扩散导致[[熵增]]加。这个过程增加了分子的随机分布。因此，提出熵与[[复杂性]]（无序性）之间存在关系是合理的。
2.4.4. 熵的不确定性
2.4.4. 熵的不确定性
熵的第三种解释是将其视为对[[复杂系统]]不确定性或未知度的度量。这种解释更为普遍，并且与信息和记忆密切相关。在这种解释中，熵并非一个固有属性，而是代表我们对[[系统]]的认知。
接下来，我们将聚焦于非平衡熵和信息熵来阐明释熵如何被解释为不确定性。[[热力学第二定律]]指出，孤立[[系统]]的熵永不减少，并且当且仅当所有过程都是可逆时，熵才保持不变。我们感兴趣的是如何定义[[非平衡系统]]的熵。通常，对于[[非平衡系统]]和平衡[[系统]]，我们都使用[[概率分布]]ρ来定义一个状态系综。给定离散状态集的[[概率分布]]，熵定义为
$$S_{\mathrm{discrete}} = -k_B \langle \log p_i \rangle = -k_B \sum_{i} p_i \log p_i,$$
$$S_{\mathrm{discrete}} = -k_B \langle \log p_i \rangle = -k_B \sum_{i} p_i \log p_i,$$
其中 $$p_i$$是状态i的概率。在连续分布的情况下，熵变为
其中 $$p_i$$是状态i的概率。在连续分布的情况下，熵变为
$$S_{\mathrm{micro}} = -k_B \log \rho_{\mathrm{equil}} = k_B \log (\Omega(E) \delta E)$$
$$S_{\mathrm{micro}} = -k_B \log \rho_{\mathrm{equil}} = k_B \log (\Omega(E) \delta E)$$
$$= k_B \log (\Omega(E)) + k_B \log (\delta E).$$
$$= k_B \log (\Omega(E)) + k_B \log (\delta E).$$
对于量子[[系统]]，非平衡熵可以通过密度矩阵 $$\rho$$来描述，如公式（77）所示。对于非热力学[[系统]]，温度变量不存在。因此，我们不需要使用[[玻尔兹曼]]常数 $$k_B$$，而是使用常数 $$k_S = 1 / \log(2)$$。那么公式（76）变为:
$$S_S = - \sum_{i} p_i \log_2 p_i,$$
$$S_S = - \sum_{i} p_i \log_2 p_i,$$
这里熵的单位是比特。这被称为信息熵，由[[香农]][232]引入。信息熵表示一个可能的消息或图像的系综，在通信技术（消息传递）和计算机科学（数据压缩）中具有重要意义。注意，非平衡[[香农]]熵满足以下性质：（1）在概率相等时达到最大值；（2）不受零概率额外状态的影响；（3）对于条件概率会发生变化。更多细节，读者可参阅参考文献[29]。
2.4.5. 近似熵、样本熵以及系统样本熵
2.4.5. [[近似]]熵、样本熵以及[[系统]]样本熵
接下来，我们将重点介绍几种熵，包括[[近似]]熵（ApEn）、样本熵（SampEn）和[[系统]]样本熵（SysSampEn），这些熵是为量化非线序列的[[复杂性]]而开发的。
$$近似熵 (ApEn)$$
$$[[近似]]熵 (ApEn)$$
[[近似]]熵（ApEn）由Pincus于1991年提出[243]，其灵感源自精确的规律性统计、柯尔莫哥洛夫 - 西奈（KS）熵[244]和$$K_2$$ 熵[245]。它被用作量化时间序列数据规律性的指标，尤其适用于相对较短且有噪声的数据集。[[近似]]熵在多个领域有着广泛的应用，从医学数据（如心率[243]）到金融[[系统]][246]、心理学[247]和人因工程[248]等。
[[近似]]熵$$ApEn$$的定义：给定一个时间序列数据$$u(1), u(2), \ldots, u(N)$$。有N个时间上等距的原始数据。它构成了一个由x(1)到x(N - m + 1)的向量序列，其中x(i) = [u(i)，…，u(i + m - 1)]。这里，m是一个表示数据长度的整数。将向量x(i)和x(j)之间的嵌入距离d[x(i), x(j)] [249]定义为它们各自标量分量的最大差值。然后使用x(1)，x(2)，…，x(N - m + 1)，对于每个i ≤ N - m + 1，构造C_i^m(r) = （满足d[x(i), x(j)] ≤ r的j ≤ N - m + 1的数量）/ (N - m + 1)。这里，
$$d[x(i), x(j)] = \max_{k=1,2,\ldots,m} \left( |u(i + k - 1) - u(j + k - 1)| \right),$$
$$d[x(i), x(j)] = \max_{k=1,2,\ldots,m} \left( |u(i + k - 1) - u(j + k - 1)| \right),$$
其中 r 是一个指定滤波水平的正实数。基于 $$C_i^m(r)$$，$$\text{ApEn}$$ 定义为
其中 r 是一个指定滤波水平的正实数。基于 $$C_i^m(r)$$，$$\text{ApEn}$$ 定义为
需要注意的是，一种类似的熵，称为$$\text{Eckmann-Ruelle (E-R)}$$熵[244]，已被定义为，
需要注意的是，一种类似的熵，称为$$\text{Eckmann-Ruelle (E-R)}$$熵[244]，已被定义为，
$$\text{E-R entropy} = \lim_{r \to 0} \lim_{m \to \infty} \lim_{N \to \infty} \left[ \Phi^m(r) - \Phi^{m+1}(r) \right].$$
$$\text{E-R entropy} = \lim_{r \to 0} \lim_{m \to \infty} \lim_{N \to \infty} \left[ \Phi^m(r) - \Phi^{m+1}(r) \right].$$
尽管$$\text{ApEn}(m, r)$$的算法与E-R熵非常相似，但它并非旨在作为E-R熵的近似值。与K-S、E-R和$$K_2$$熵相比， $$\text{ApEn}(m, r)$$具有以下优点[250]：(i)受噪声影响较小；(ii)对离群值具有鲁棒性；(iii)计算需求较低，且置信度良好；(iv)对于随机、含噪声的确定性和复合过程， $$\text{ApEn}(m, r)$$是有限的；(v) $$\text{ApEn}(m, r)$$的增加直观上对应着过程复杂度的增加。 $$\text{ApEn}(m, r)$$已被应用于对精神疾病（如精神分裂症[251]、癫痫[252]和成瘾[253]）的脑电图（EEG）进行分类。
尽管$$\text{ApEn}(m, r)$$的算法与E-R熵非常相似，但它并非旨在作为E-R熵的[[近似]]值。与K-S、E-R和$$K_2$$熵相比， $$\text{ApEn}(m, r)$$具有以下优点[250]：(i)受噪声影响较小；(ii)对离群值具有[[鲁棒性]]；(iii)计算需求较低，且置信度良好；(iv)对于随机、含噪声的确定性和复合过程， $$\text{ApEn}(m, r)$$是有限的；(v) $$\text{ApEn}(m, r)$$的增加直观上对应着过程[[复杂]]度的增加。 $$\text{ApEn}(m, r)$$已被应用于对精神疾病（如精神分裂症[251]、癫痫[252]和成瘾[253]）的脑电图（EEG）进行分类。
$$样本熵 $$
$$样本熵 $$
受[[近似]]熵（ApEn）概念的启发，Richman和Moorman开发了样本熵（SampEn），用于评估生理时间序列信号的[[复杂性]]，诊断疾病状态[254]。样本熵（SampEn）是对[[近似]]熵（ApEn）的改进，但具有三个优点：（i）在广泛的操作条件下，样本熵（SampEn）统计量比[[近似]]熵（ApEn）统计量更符合具有已知概率特征的随机数理论；（ii）保持相对一致性；（iii）对于极短的记录长度存在残余偏差。
\text{SampEn}的定义：类似于\text{ApEn}的定义：给定一个包含N个点的时间序列，\{ u(j) : 1 \leq j \leq N \}构成了N - m + 1个\text{向量}\mathbf{x}_m(i)，其中\{ i | 1 \leq i \leq N - m + 1 \}。这里\mathbf{x}_m(i) = \{ u(i + k) : 0 \leq k \leq m - 1 \}是从u(i)到u(i + m - 1)的m个数据点组成的向量。两个向量之间的距离为d[X(i), X(j)] = \max\{ |u(i + k) - u(j + k)| : 0 \leq k \leq m - 1 \}，即它们对应标量分量的最大差值。设Bi为\mathbf{x}_m(j)中与\mathbf{x}_m(i)距离在r以内的向量数量，设Ai为\mathbf{x}_{m+1}(j)中与\mathbf{x}_{m+1}(i)距离在r以内的向量数量。这里r表示接受匹配的容差。将容差设为r \times SD（数据集的均方差）比较方便。则样本熵定义为：
\text{SampEn}的定义：类似于\text{ApEn}的定义：给定一个包含N个点的时间序列，\{ u(j) : 1 \leq j \leq N \}构成了N - m + 1个\text{向量}\mathbf{x}_m(i)，其中\{ i | 1 \leq i \leq N - m + 1 \}。这里\mathbf{x}_m(i) = \{ u(i + k) : 0 \leq k \leq m - 1 \}是从u(i)到u(i + m - 1)的m个数据点组成的向量。两个向量之间的距离为d[X(i), X(j)] = \max\{ |u(i + k) - u(j + k)| : 0 \leq k \leq m - 1 \}，即它们对应标量分量的最大差值。设Bi为\mathbf{x}_m(j)中与\mathbf{x}_m(i)距离在r以内的向量数量，设Ai为\mathbf{x}_{m+1}(j)中与\mathbf{x}_{m+1}(i)距离在r以内的向量数量。这里r表示接受[[匹配]]的容差。将容差设为r \times SD（数据集的均方差）比较方便。则样本熵定义为：
$$\text{SampEn} = -\log \frac{A}{B}.$$
$$\text{SampEn} = -\log \frac{A}{B}.$$
显然，A 始终小于或等于 B。因此，\text{SampEn} 始终为零或正数。\text{SampEn} 值越小，表明数据集中的自相似性越高或噪声越少 [254]。请注意，每次计算时参数 N、m 和 r 必须固定。
显然，A 始终小于或等于 B。因此，\text{SampEn} 始终为零或正数。\text{SampEn} 值越小，表明数据集中的[[自相似]]性越高或噪声越少 [254]。请注意，每次计算时参数 N、m 和 r 必须固定。
$$系统样本熵$$
$$[[系统]]样本熵$$
上述熵的一个局限性在于，它只能应用于单变量或双变量时间序列（交叉[[近似]]熵）[254]。对于具有多变量时间序列和时空结构的[[复杂系统]]，孟等人提出了所谓的 $$\text{SysSampEn}$$ ，并将其应用于[[气候系统]]研究。基于 $$\text{SysSampEn}$$ ，他们能够测量由温度异常时间序列组成的[[系统]]的[[复杂性]]（无序性），并以1年的预测期高精度预测厄尔尼诺事件的强度[241]。
$$\text{SysSampEn}$$的定义：给定N个相互依赖的时间序列
$$\text{SysSampEn}$$的定义：给定N个相互依赖的时间序列
$$\chi_{\alpha}(t) \ (\alpha = 1, 2, \ldots, N; \ t = 1, 2, \ldots, l)$$
$$\chi_{\alpha}(t) \ (\alpha = 1, 2, \ldots, N; \ t = 1, 2, \ldots, l)$$
长度为l的组成[[系统]]的：
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图15. 系统样本熵与厄尔尼诺强度的相关性。
图15. [[系统]]样本熵与厄尔尼诺强度的相关性。
来源：转载自参考文献[241]的图
来源：转载自参考文献[241]的图
1.我们选择长度为m < l的子记录k，从每个第q个数据点开始，即从t = k × q + 1 = 0 × q + 1、1 × q + 1、2 × q + 1、…开始，只要k × q + m ≤ l。因此，一个特定的子序列表示为X_{\alpha}^{k}(m, q) = \{ x_{\alpha}(k × q + 1), x_{\alpha}(k × q + 2), …, x_{\alpha}(k × q + m) \}。然后，我们从每个时间序列中选择n个子序列，并从系统中构造一组N × n个模板向量，即\Theta(m, q, n) = \{ X_{\alpha}^{k}(m, q) : 0 ≤ k ≤ n - 1, 1 ≤ \alpha ≤ N \}。我们假设，如果两个向量的欧几里得距离d(X_{\alpha}^{i}(m, q), X_{\beta}^{j}(m, q)) < \gamma × \max\{\sigma_{\alpha}, \sigma_{\beta}\}（如果\alpha = \beta，则i ≠ j），则它们是接近（相似）的，其中\sigma_{\alpha}和\sigma_{\beta}分别是时间序列x_{\alpha}(t)和x_{\beta}(t)的标准差。\gamma定义了相似性准则，是一个非零常数。
1.我们选择长度为m < l的子记录k，从每个第q个数据点开始，即从t = k × q + 1 = 0 × q + 1、1 × q + 1、2 × q + 1、…开始，只要k × q + m ≤ l。因此，一个特定的子序列表示为X_{\alpha}^{k}(m, q) = \{ x_{\alpha}(k × q + 1), x_{\alpha}(k × q + 2), …, x_{\alpha}(k × q + m) \}。然后，我们从每个时间序列中选择n个子序列，并从[[系统]]中构造一组N × n个模板向量，即\Theta(m, q, n) = \{ X_{\alpha}^{k}(m, q) : 0 ≤ k ≤ n - 1, 1 ≤ \alpha ≤ N \}。我们假设，如果两个向量的欧几里得距离d(X_{\alpha}^{i}(m, q), X_{\beta}^{j}(m, q)) < \gamma × \max\{\sigma_{\alpha}, \sigma_{\beta}\}（如果\alpha = \beta，则i ≠ j），则它们是接近（相似）的，其中\sigma_{\alpha}和\sigma_{\beta}分别是时间序列x_{\alpha}(t)和x_{\beta}(t)的标准差。\gamma定义了相似性准则，是一个非零常数。
2.为了研究在m个数据点处相近的两个时间序列在接下来的p个数据点处仍然相近的概率，我们类似地通过选择长度为m + p的子记录来构造另一个集合\(\Theta(m + p, q, n)\)。为了使长度为m的模板向量数量等于长度为m + p的模板向量数量，我们选择\(n \leq \frac{l - m - p}{q} + 1\)。为了减少参数自由度并节省计算时间，我们取\(p = q\)，则\(n \leq \frac{l - m}{p}\)。我们假设，如果\(d(X_{\alpha}^{i}(m + p, q), X_{\beta}^{j}(m + p, q)) < \gamma \times \max\{\sigma_{\alpha}, \sigma_{\beta}\}\)（如果\(\alpha = \beta\)，则\(i \neq j\)），那么来自集合\(\Theta(m + p, q, n)\)的两个模板向量是相近的。
2.为了研究在m个数据点处相近的两个时间序列在接下来的p个数据点处仍然相近的概率，我们类似地通过选择长度为m + p的子记录来构造另一个集合\(\Theta(m + p, q, n)\)。为了使长度为m的模板向量数量等于长度为m + p的模板向量数量，我们选择\(n \leq \frac{l - m - p}{q} + 1\)。为了减少参数[[自由度]]并节省计算时间，我们取\(p = q\)，则\(n \leq \frac{l - m}{p}\)。我们假设，如果\(d(X_{\alpha}^{i}(m + p, q), X_{\beta}^{j}(m + p, q)) < \gamma \times \max\{\sigma_{\alpha}, \sigma_{\beta}\}\)（如果\(\alpha = \beta\)，则\(i \neq j\)），那么来自集合\(\Theta(m + p, q, n)\)的两个模板向量是相近的。
3.系统的\text{SysSampEn}定义为
3.[[系统]]的\text{SysSampEn}定义为
$$\text{SysSampEn}\left(N, m, p, l_{\text{eff}}, \gamma\right) = -\log\left(\frac{A}{B}\right),$$(100)
$$\text{SysSampEn}\left(N, m, p, l_{\text{eff}}, \gamma\right) = -\log\left(\frac{A}{B}\right),$$(100)
其中A是来自\Theta(m + p, q, n)的近向量对的数量，B是来自集合\text{set }\Theta(m, q, n)的近向量对的数量，l_{\text{eff}}(n) = n * p + m是用于计算\text{SysSampEn}的天数。
其中A是来自\Theta(m + p, q, n)的近向量对的数量，B是来自集合\text{set }\Theta(m, q, n)的近向量对的数量，l_{\text{eff}}(n) = n * p + m是用于计算\text{SysSampEn}的天数。
请注意，当N = 1、p = 1且$l_{\text{eff}} = l$时，\text{SysSampEn.}等同于经典的\text{SampEn} [254]。由于只有某些特定的参数值组合才能相当准确地估计系统的复杂性，因此必须确定合适的参数值。为了实现这一点，Meng等人引入了两个测试 [241]：\text{空间异步性测试}和\text{时间无序性测试}。针对由Niño 3.4区域近地表空气或海表温度异常时间序列组成的气候系统计算了\text{SysSampEn.}。研究发现，厄尔尼诺强度与前一个自然年的\text{SysSampEn.}值之间存在很强的正相关性（图15A、B）。图15C展示了准确度水平的计算，这有助于选择有效的参数组合。
请注意，当N = 1、p = 1且$l_{\text{eff}} = l$时，\text{SysSampEn.}等同于经典的\text{SampEn} [254]。由于只有某些特定的参数值组合才能相当准确地估计[[系统]]的[[复杂性]]，因此必须确定合适的参数值。为了实现这一点，Meng等人引入了两个测试 [241]：\text{空间异步性测试}和\text{时间无序性测试}。针对由Niño 3.4区域近地表空气或海表温度异常时间序列组成的[[气候系统]]计算了\text{SysSampEn.}。研究发现，厄尔尼诺强度与前一个自然年的\text{SysSampEn.}值之间存在很强的正相关性（图15A、B）。图15C展示了准确度水平的计算，这有助于选择有效的参数组合。
此外，为揭示\text{SysSampEn.}的数学意义，图16展示了逻辑映射，作为应用\text{SysSampEn.}估计系统复杂度并将其与李雅普诺夫指数进行比较的示例。研究发现，\text{SysSampEn.}的较高（较低）值与较高（较低）的李雅普诺夫指数密切相关，这表明\text{SysSampEn.}能够很好地捕捉系统的复杂度。
此外，为揭示\text{SysSampEn.}的数学意义，图16展示了[[逻辑映射]]，作为应用\text{SysSampEn.}估计[[系统]][[复杂]]度并将其与李雅普诺夫指数进行比较的示例。研究发现，\text{SysSampEn.}的较高（较低）值与较高（较低）的李雅普诺夫指数密切相关，这表明\text{SysSampEn.}能够很好地捕捉[[系统]]的[[复杂]]度。
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图16. SysSampEn的一个逻辑映射示例，该示例能准确估计系统复杂度，即SysSampEn值越高，表明系统复杂度越高。对于每个系统，从逻辑方程xn+1 = µxn(1 - xn)生成10个时间序列，其中µ取值相同，µ ∈ [2.5, 4]，但初始条件x0不同，x0 ∈ [0.0001, 0.0002]。
图16. SysSampEn的一个[[逻辑映射]]示例，该示例能准确估计[[系统]][[复杂]]度，即SysSampEn值越高，表明[[系统]][[复杂]]度越高。对于每个[[系统]]，从逻辑方程xn+1 = µxn(1 - xn)生成10个时间序列，其中µ取值相同，µ ∈ [2.5, 4]，但初始条件x0不同，x0 ∈ [0.0001, 0.0002]。
来源：转载自参考文献[241]的图
来源：转载自参考文献[241]的图
3.应用
3.应用
3.1. 气候系统
3.1. [[气候系统]]
地球[[气候系统]]是一个高度[[复杂]]和相互作用的[[系统]]，正如世界气象组织（WMO）的全球大气研究计划（GARP）在1975年所定义的，它由五个主要组成部分构成：大气、水圈、冰冻圈、陆地表面和生物圈。1992年，联合国气候变化框架公约（FCCC）将[[气候系统]]定义为“大气、水圈、生物圈和地圈及其相互作用的总和”。图17显示了[[气候系统]]最重要组成部分及其潜在变化的示意图。大气是环绕固体行星的气体包层，为地球表面的大多数动物生命提供氧气。它是最不稳定和快速变化的组成部分。目前，大气主要由氮气（78.1%）和氧气（20.9%）组成。还有一些微量气体引起了人们对地球未来的极大关注，包括二氧化碳（CO2）、甲烷（CH4）和臭氧（O3）。它们被称为温室气体（GHGs），与水蒸气一起，为地球提供温室效应。它们的作用是保持地球温暖，但又不会太热。水圈是行星上的水，包括海洋、海、河流、湖泊和地下水。冰冻圈是地球表面水以固体形式存在的部分，包括陆地冰（包括冰架和冰川）、雪和海冰。它通过其高反照率对[[气候系统]]产生重大影响。冰盖体积的变化被认为是海平面上升的主要因素之一。陆地表面，即“固体”地球，形成了大陆、海盆、山脉等的分布。它影响着短波辐射向长波辐射的转化、地球表面的反射率、尘埃的储集层、陆地表面的动量和能量传递。生物圈是地球上所有生物的总和，包括陆地地块的有机覆盖物（植被、土壤）和海洋生物。它在不同储层之间碳的交换中起着至关重要的作用，例如大气中CO2的浓度，以及其他气体的平衡[255]。各组成部分之间存在着大量的相互作用，通过交换质量、热量和动量。例如，海洋-大气相互作用是一个强耦合[[系统]]，通过蒸发等方式交换水蒸气和热量。每个[[气候系统]]组成部分都在相当广泛的特征时间和空间尺度上运行。请注意，[[气候系统]]本身通常被认为是更广泛的地球[[系统]]的一部分[2]。
气候科学分析中的一个基本因素是气候数据，它提供了关于地球生态[[系统]]变化的信息，并为决策者提供了关于气候危机及其影响的可靠知识基础。一般来说，有两种数据收集方法来收集定量和定性的气候数据（也在第1.1节中简要讨论）：观测（仪器观测、替代指标和再分析）和气候模型模拟。[[气候系统]]的观测数据基于直接测量和来自卫星、雷达和其他平台的遥感。第一个气象站建立在欧洲和北美洲。仪器时代的全球尺度观测始于19世纪中期，用于测量温度和其他气候变量。自1950年以来，观测网络的增加和质量，以及支持数据收集和存储的技术迅速发展。古气候重建将一些替代指标记录追溯到数百年至数百万年前，包括珊瑚记录[10,256]，过去几千年的树轮记录[13]，以及石笋δ18O时间序列[12]，中地中海沉积物[11]和冰芯记录[257]。
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图 17. 全球尺度上气候系统最重要组成部分和相关过程的示意图. 来源：该图来自 IPCC 第四次评估报告 (AR4) [255]。© 2007 IPCC。经许可转载。
图 17. 全球尺度上[[气候系统]]最重要组成部分和相关过程的示意图. 来源：该图来自 IPCC 第四次评估报告 (AR4) [255]。© 2007 IPCC。经许可转载。
气候研究需要在长时间间隔内具有一致空间分辨率和准确性的数据。为了满足这一目标，一些数值天气预报中心已经开始生成所谓的再分析资料，这些资料是通过精细的数据同化技术获得的，该技术有效地结合了观测数据和数值数据。例如，欧洲中期天气预报中心(ECMWF) [258] 提供了以下再分析数据集：ERA5、ERA-Interim、CERASAT、CERA-20C、ERA-20CM、ERA-40、ERA-20C等等。(4) 美国国家环境预报中心(NCEP)和国家大气研究中心(NCAR)合作产生了NCEP-NCAR再分析I/II、20世纪再分析和北美区域再分析(NARR)5 [259]。JRA-25和JRA-55再分析6由日本气象厅(JMA)制作 [260,261]。请注意，这些再分析数据中的大多数气候变量或场与观测数据非常吻合，例如北半球大陆上的地势高度场。然而，在南半球或那些观测较差的区域，一些场仍然存在显著差异 [262–266]。更多细节总结于参考文献[267]中。
气候研究需要在长时间间隔内具有一致空间分辨率和准确性的数据。为了满足这一目标，一些数值天气预报中心已经开始生成所谓的再分析资料，这些资料是通过精细的数据同化技术获得的，该技术有效地结合了观测数据和数值数据。例如，欧洲中期天气预报中心(ECMWF) [258] 提供了以下再分析数据集：ERA5、ERA-Interim、CERASAT、CERA-20C、ERA-20CM、ERA-40、ERA-20C等等。(4) 美国国家环境预报中心(NCEP)和国家大气研究中心(NCAR)合作产生了NCEP-NCAR再分析I/II、20世纪再分析和北美区域再分析(NARR)5 [259]。JRA-25和JRA-55再分析6由日本气象厅(JMA)制作 [260,261]。请注意，这些再分析数据中的大多数气候变量或场与观测数据非常吻合，例如北半球大陆上的地势高度场。然而，在南半球或那些观测较差的区域，一些场仍然存在显著差异 [262–266]。更多细节总结于参考文献[267]中。
气候模型被认为是研究[[气候系统]]对各种强迫响应、在季节到年代的时间尺度上进行气候预测以及对未来一个世纪及更长时间的气候进行预测的主要工具。气候模型可以定义为基于物理、化学和生物学原理的[[气候系统]]的数学表示。气候研究中使用的模型范围从简单的能量平衡模型到[[复杂]]的地球[[系统]]模型（ESM），即使在高性能计算机上使用，这些模型也可能速度慢且成本高昂，并且结果可能只是[[近似]]值[17]。在此，我们简要概述气候模型的基本类型：（i）能量平衡模型提出了[[气候系统]]动力学的高度简化版本。它们是零维或一维模型，将地表温度描述为地球能量平衡的函数，其中维数（从零到三）是指模型域中使用的独立空间变量的数量。例如，全球平均地表温度$$\bar{T}_s$$ 可以表示为：
$$c \frac{d\bar{T}_s}{dt} = R_i - R_o$$
$$c \frac{d\bar{T}_s}{dt} = R_i - R_o$$
$$R_i = \mu Q_0 \left(1 - \alpha(\bar{T}_s)\right)$$
$$R_i = \mu Q_0 \left(1 - \alpha(\bar{T}_s)\right)$$
$$R_o = \sigma m(\bar{T}_s) (\bar{T}_s)^4.$$
$$R_o = \sigma m(\bar{T}_s) (\bar{T}_s)^4.$$
此处，$$R_i$$ 和 $$R_o$$分别是吸收的短波辐射和射出的长波辐射。C是地球系统的热容量，单位为$$J\mathrm{m}^{-2}\ \mathrm{K}^{-1}$$ ，α是行星反照率; m是大气透过率，一个小于 1 的数字，代表地球大气层的温室效应;$$\sigma≈ 5.67 × 10−8 W \mathrm{m}^{-2}\ \mathrm{K}^{-4}$$是斯特凡-玻尔兹曼常数， µ是一个太阳辐射参数，对于当前条件等于 1。（ii）大气-海洋环流模式（AOGCMs）是 IPCC 第四次评估报告（AR）中评估的最全面的标准气候模式。它们被用于理解气候系统物理组成部分（例如，大气、海洋、陆地和海冰）的动力学，并用于基于未来温室气体和气溶胶强迫进行预测。（iii）地球系统模式（ESMs）是当前最先进的模式，它们通过包含各种生物地球化学循环的表示（例如碳循环、硫循环或臭氧）来扩展 AOGCM。这些模型提供了最全面的工具，可用于模拟气候系统对外部强迫的过去和未来响应，其中生物地球化学反馈起着重要作用。（iv）区域气候模式 RCM 是有限区域模型，其气候过程的表示与 AOGCM 的大气和陆地表面组成部分中的气候过程相当，尽管通常在没有交互式海洋和海冰的情况下运行。RCM 通常用于动态“降尺度”某些特定地理区域的全球模型模拟，以提供更详细的信息。此外，基于 GCM，开发了中等复杂性模型，以研究长时间尺度或以降低的计算成本研究地球系统 [20]。一个特殊的应用是在次季节尺度上实现对极端事件的可靠预测
此处，$$R_i$$ 和 $$R_o$$分别是吸收的短波辐射和射出的长波辐射。C是地球[[系统]]的热容量，单位为$$J\mathrm{m}^{-2}\ \mathrm{K}^{-1}$$ ，α是行星反照率; m是大气透过率，一个小于 1 的数字，代表地球大气层的温室效应;$$\sigma≈ 5.67 × 10−8 W \mathrm{m}^{-2}\ \mathrm{K}^{-4}$$是斯特凡-[[玻尔兹曼]]常数， µ是一个太阳辐射参数，对于当前条件等于 1。（ii）大气-海洋环流模式（AOGCMs）是 IPCC 第四次评估报告（AR）中评估的最全面的标准[[气候模式]]。它们被用于理解[[气候系统]]物理组成部分（例如，大气、海洋、陆地和海冰）的动力学，并用于基于未来温室气体和气溶胶强迫进行预测。（iii）地球[[系统]]模式（ESMs）是当前最先进的模式，它们通过包含各种[[生物地球化学循环]]的表示（例如碳循环、硫循环或臭氧）来扩展 AOGCM。这些模型提供了最全面的工具，可用于模拟[[气候系统]]对外部强迫的过去和未来响应，其中生物地球化学[[反馈]]起着重要作用。（iv）区域[[气候模式]] RCM 是有限区域模型，其气候过程的表示与 AOGCM 的大气和陆地表面组成部分中的气候过程相当，尽管通常在没有交互式海洋和海冰的情况下运行。RCM 通常用于动态“降尺度”某些特定地理区域的全球模型模拟，以提供更详细的信息。此外，基于 GCM，开发了中等[[复杂性]]模型，以研究长时间尺度或以降低的计算成本研究地球[[系统]] [20]。一个特殊的应用是在次季节尺度上实现对极端事件的可靠预测
总而言之，气候模型提供了[[气候系统]]变率和长期变化的全面视图。然而，评估和预测极端气候事件，如厄尔尼诺事件和极端降雨，仍然面临挑战。这些困难主要是由于内在的罕见和破坏性的自然条件造成的。它们受到天气模式、变率模式、热力学过程和各种[[反馈]]的强烈影响。在下文中，我们将深入而详细地描述第2节中介绍的[[统计物理]]方法如何应用于研究和（或）预测各种气候现象，如厄尔尼诺-南方涛动（ENSO）、印度夏季风（ISM）、极端降雨、大气环流和大西洋经向翻转环流（AMOC）。
3.1.1. 厄尔尼诺-南方涛动
3.1.1. 厄尔尼诺-南方涛动
El Niño-Southern振荡(ENSO) 是年际尺度上最重要的气候现象之一。如2.3节所述，ENSO可被视为地球系统的一个引爆因素。El Niño是ENSO的温暖阶段，与赤道太平洋中部和中东部的温暖海水带有关，有时被称为El Niño盆地[44]。ENSO的冷期被称为La Niña，东太平洋的海温低于平均水平。ENSO通过影响包括美洲、印度和周边热带大陆在内的全球温度和降水，对地球生态系统和人类社会产生了重大影响[268-270]。这些远程影响被称为远距连接[271]。
El Niño-Southern振荡(ENSO) 是年际尺度上最重要的气候现象之一。如2.3节所述，ENSO可被视为地球[[系统]]的一个引爆因素。El Niño是ENSO的温暖阶段，与赤道太平洋中部和中东部的温暖海水带有关，有时被称为El Niño盆地[44]。ENSO的冷期被称为La Niña，东太平洋的海温低于平均水平。ENSO通过影响包括美洲、印度和周边热带大陆在内的全球温度和降水，对地球生态[[系统]]和人类社会产生了重大影响[268-270]。这些远程影响被称为远距连接[271]。
El Niño的定义:在本文中，我们使用海洋Niño指数(ONI)来定义和区分El Niño和La Niña事件。ONI是监测ONI的主要指标之一。它是根据赤道太平洋中东部一个区域的3个月运行平均SST距平(基于每5年更新一次的中心30年基期) 计算得出的，该区域称为Niño 3.4区域(5(◦)S至5(◦)N;170(◦)W至120(◦)W)，参见图18所示的Niño区域。如果ONI > +0.5(◦)C连续至少5个月，则该事件定义为El Niño;而当ONI连续至少5个月< - 0.5(◦)C时，相应的事件被视为La Niña。ONI用于noaa对ENSO阶段的操作定义。(7)还有一些其他指数来测量El Niño事件，如Niño 1+ 2、3、3.4、4和Trans-Niño指数。(8)除了SST外，ENSO还影响其他气候变量，如大气压梯度、上层洋流和温跃层深度[272]。
El Niño的定义:在本文中，我们使用海洋Niño指数(ONI)来定义和区分El Niño和La Niña事件。ONI是监测ONI的主要指标之一。它是根据赤道太平洋中东部一个区域的3个月运行平均SST距平(基于每5年更新一次的中心30年基期) 计算得出的，该区域称为Niño 3.4区域(5(◦)S至5(◦)N;170(◦)W至120(◦)W)，参见图18所示的Niño区域。如果ONI > +0.5(◦)C连续至少5个月，则该事件定义为El Niño;而当ONI连续至少5个月< - 0.5(◦)C时，相应的事件被视为La Niña。ONI用于noaa对ENSO阶段的操作定义。(7)还有一些其他指数来测量El Niño事件，如Niño 1+ 2、3、3.4、4和Trans-Niño指数。(8)除了SST外，ENSO还影响其他气候变量，如大气压梯度、上层洋流和温跃层深度[272]。
ENSO转变机制简述:下面，我们将描述ENSO的物理机制。比耶克内斯首先假设海洋-大气相互作用对ENSO至关重要，现在被称为比耶克内斯反馈[273]。这种正反馈机制被认为是ENSO发展所必需的重要机制。考虑热带太平洋中部/东部的初始SST异常。这种异常减少了东西向SST梯度减弱Walker环流[274]，导致西风异常。西风异常反过来又推动了海洋环流的变化(东风使赤道温跃层变浅并在太平洋东部引起上升流，使东部保持凉爽)，从而进一步加强了SST异常。由于正反馈，热带太平洋达到温暖状态，即El Niño。Tziperman和Yu指出，西风爆发虽然部分是随机的，但似乎是大尺度确定性ENSO动力学的固有组成部分[275]。
ENSO转变机制简述:下面，我们将描述ENSO的物理机制。比耶克内斯首先假设海洋-大气相互作用对ENSO至关重要，现在被称为比耶克内斯[[反馈]][273]。这种[[正反馈]]机制被认为是ENSO发展所必需的重要机制。考虑热带太平洋中部/东部的初始SST异常。这种异常减少了东西向SST梯度减弱Walker环流[274]，导致西风异常。西风异常反过来又推动了海洋环流的变化(东风使赤道温跃层变浅并在太平洋东部引起上升流，使东部保持凉爽)，从而进一步加强了SST异常。由于[[正反馈]]，热带太平洋达到温暖状态，即El Niño。Tziperman和Yu指出，西风爆发虽然部分是随机的，但似乎是大尺度确定性ENSO动力学的固有组成部分[275]。
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除了正比耶克内斯[[反馈]]外，ENSO的振荡性质还需要一个负[[反馈]]来将耦合的海洋-大气[[系统]]从温暖(El Niño)阶段转变为寒冷(La Niña)阶段。自20世纪80年代以来，人们提出了不同的负[[反馈]]，包括延迟振荡器、西太平洋振荡器、充放电振荡器和射向反射振荡器。延迟振子是ENSO振荡性质的一种机制，由McCreary基于海洋西部边界的罗斯比波反射提出[276]。Suarez和Schopf引入了延迟振子来解释ENSO的振荡特征，以强调大洋西部边界上海浪反射的延迟效应[277]。Cane和Zebiak开发了第一个海洋-大气耦合模式，并用它来预测ENSO[278,279]。概念延迟振子模型表示如下:
$$\frac{dT}{dt} = AT - BT(t-\eta) - \varepsilon T^3,$$
$$\frac{dT}{dt} = AT - BT(t-\eta) - \varepsilon T^3,$$
式中，T为赤道东太平洋SST异常，A、B、η和ε为常数。式(102)右侧的第一项表示海洋和大气之间的比耶克内斯正反馈。第二项表示海洋西边界波反射的延迟负反馈。最后一项为三次阻尼项。已经发现，延迟振子忽略了西太平洋海洋-大气相互作用的作用，并假设海洋东部边界的波反射不重要[280]。
式中，T为赤道东太平洋SST异常，A、B、η和ε为常数。式(102)右侧的第一项表示海洋和大气之间的比耶克内斯[[正反馈]]。第二项表示海洋西边界波反射的延迟负[[反馈]]。最后一项为三次阻尼项。已经发现，延迟振子忽略了西太平洋海洋-大气相互作用的作用，并假设海洋东部边界的波反射不重要[280]。
由于延迟振子没有考虑西太平洋异常模式，Weisberg和Wang[281]开发了ENSO的西太平洋振子模型。该模式强调远西太平洋赤道风异常在ENSO演变中起重要作用。西太平洋振子模式表示为:
由于延迟振子没有考虑西太平洋异常模式，Weisberg和Wang[281]开发了ENSO的西太平洋振子模型。该模式强调远西太平洋赤道风异常在ENSO演变中起重要作用。西太平洋振子模式表示为:
$$\frac{dT}{dt} = a \tau_1 + b_2 \tau_2(t - \delta) - \varepsilon T^3$$,
$$\frac{dT}{dt} = a \tau_1 + b_2 \tau_2(t - \delta) - \varepsilon T^3$$,
$$\frac{dT}{dt} = CT + Dh - \varepsilon T^3$$
$$\frac{dT}{dt} = CT + Dh - \varepsilon T^3$$
$$\frac{dh}{dt} = -ET - R_h h$$
$$\frac{dh}{dt} = -ET - R_h h$$
式中，T为赤道东太平洋SST距平，h为赤道西太平洋温深距平。模式参数C、D、ε、E和Rh为常数。特别地，公式(108)和(109)表示热带太平洋热含量的排放和补给。Picaut等人[285]提出了ENSO射向反射振荡器的概念模型。他们发现，正反馈来自于东向西太平洋暖池(WPWP) 平流的海洋纬向流。有三种负反馈倾向于将WPWP推回西太平洋，包括:(1)洋西边界与波反射相关的纬向流异常，(2) 洋东边界与波反射相关的纬向流异常和(3)WPWP东边缘的平均纬向流辐合。与其他三种振子模式不同，平流-反射振子模式没有一组简单的启发式方程。相反，他们使用了由风异常强迫的线性风强迫海洋数值模式，风异常与第一个斜压开尔文波和第一个经向罗斯比波的纬向流有关[195]。此外，Wang[286]基于Zebiak和Cane耦合模型的动力学和热力学，以及之前所有的ENSO振子模型，建立了统一的ENSO振子海洋-大气模型，假设ENSO可能是一个多机制现象，它们的相对重要性可能取决于时间。统一ENSO振子模型表示为:
式中，T为赤道东太平洋SST距平，h为赤道西太平洋温深距平。模式参数C、D、ε、E和Rh为常数。特别地，公式(108)和(109)表示热带太平洋热含量的排放和补给。Picaut等人[285]提出了ENSO射向反射振荡器的概念模型。他们发现，[[正反馈]]来自于东向西太平洋暖池(WPWP) 平流的海洋纬向流。有三种负[[反馈]]倾向于将WPWP推回西太平洋，包括:(1)洋西边界与波反射相关的纬向流异常，(2) 洋东边界与波反射相关的纬向流异常和(3)WPWP东边缘的平均纬向流辐合。与其他三种振子模式不同，平流-反射振子模式没有一组简单的启发式方程。相反，他们使用了由风异常强迫的线性风强迫海洋数值模式，风异常与第一个斜压开尔文波和第一个经向罗斯比波的纬向流有关[195]。此外，Wang[286]基于Zebiak和Cane耦合模型的动力学和热力学，以及之前所有的ENSO振子模型，建立了统一的ENSO振子海洋-大气模型，假设ENSO可能是一个多机制现象，它们的相对重要性可能取决于时间。统一ENSO振子模型表示为:
$$\frac{dT}{dt} = a \tau_1 - b_1 \tau_1(t-\eta) + b_2 \tau_2(t-\delta) - b_3 \tau_1(t-\mu) - \varepsilon T^3$$,
$$\frac{dT}{dt} = a \tau_1 - b_1 \tau_1(t-\eta) + b_2 \tau_2(t-\delta) - b_3 \tau_1(t-\mu) - \varepsilon T^3$$,
$$\frac{dh}{dt} = -c \tau_1(t-\lambda) - R_h h$$,
$$\frac{dh}{dt} = -c \tau_1(t-\lambda) - R_h h$$,
式中，T、h、τ1和τ2分别代表赤道东太平洋海温异常、赤道西太平洋暖斜深度异常、赤道中太平洋纬向风应力异常和赤道西太平洋纬向风应力异常。对于给定的一组参数，公式 (110) -(113)可以在年际时间尺度上振荡。
式中，T、h、τ1和τ2分别代表赤道东太平洋海温异常、赤道西太平洋暖斜深度异常、赤道中太平洋纬向风应力异常和赤道西太平洋纬向风应力异常。对于给定的一组参数，公式 (110) -(113)可以在年际时间尺度上振荡。
El Niño预测
El Niño预测
自20世纪90年代以来，动力学和统计模型都被用于模拟和预测El Niño事件，为社会提供了为暴雨、洪水和干旱等相关灾害做好准备的机会[287，288]。虽然目前CPC/IRI中大约有17个动态模型和8个统计模型常规提供ENSO预测，但高预测技能通常仅限于未来6个月左右，见图19中的描述。原因是存在所谓的“春季可预测性屏障”(SPB)，由于赤道海洋-大气系统的耦合反馈，误差被大大放大[289,290]。在春季之后，模式成功预测的能力变得越来越好。
自20世纪90年代以来，动力学和统计模型都被用于模拟和预测El Niño事件，为社会提供了为暴雨、洪水和干旱等相关灾害做好准备的机会[287，288]。虽然目前CPC/IRI中大约有17个动态模型和8个统计模型常规提供ENSO预测，但高预测技能通常仅限于未来6个月左右，见图19中的描述。原因是存在所谓的“春季可预测性屏障”(SPB)，由于赤道海洋-大气[[系统]]的耦合[[反馈]]，误差被大大放大[289,290]。在春季之后，模式成功预测的能力变得越来越好。
一般来说，预测技能差可以分为两类:预测系统的不完善(包括，子网格尺度运动的模型参数化错误，数据点的相对稀缺性，数据测量的错误)，以及可预测性的基本限制[272]。基本限制通常来自于系统的复杂性和混沌性。
一般来说，预测技能差可以分为两类:预测[[系统]]的不完善(包括，子网格尺度运动的模型参数化错误，数据点的相对稀缺性，数据测量的错误)，以及可预测性的基本限制[272]。基本限制通常来自于[[系统]]的[[复杂性]]和[[混沌]]性。
为了克服SPB在El Niño预测中的局限性，开发了几种基于神经网络的方法。例如，Ludescher等人通过分析CN发现，在变暖事件发生前一个日历年，存在一种大规模的合作模式，将El Niño区域与海洋的其他部分联系起来[291]。这种模式可能是由于El Niño作为CN中的一个自治组件的出现[61]。CN中使用的所有节点如图20a所示，其中El Niño盆地[61]内的14个网格点为红色，该区域外的193个网格点为蓝色。数据为NCEP/NCAR再分析i的日地表气温(SAT)，如第2节所述，第一步是通过减去每个日历日的气候平均值来去除季节趋势。然后是El Niño盆地之间的联系和外部(见图20a)均被考虑。各环节的强度W(i,j)(t)根据公式(15)计算。CN中动态链路的平均强度S(t)是通过对所有单个链路强度的简单平均得到的。图20b显示了学习阶段(上)和预测阶段(下)S(t)的时间演化。他们发现，在El Niño事件之前，S(t)倾向于增加。当S(t)超过阈值Θ= 2.82时，他们就会发出警报(见图20b)。通过接受者工作特征(ROC)类型分析(稍后解释)的预测精度比基于气候模型的12个月预测要好得多。基于这些关于CN时间演化的发现，Ludescher等人成功预测了2014-2016年El Niño事件的发生[292]。
为了克服SPB在El Niño预测中的局限性，开发了几种基于神经网络的方法。例如，Ludescher等人通过分析CN发现，在变暖事件发生前一个日历年，存在一种大[[规模]]的合作模式，将El Niño区域与海洋的其他部分联系起来[291]。这种模式可能是由于El Niño作为CN中的一个自治组件的出现[61]。CN中使用的所有节点如图20a所示，其中El Niño盆地[61]内的14个网格点为红色，该区域外的193个网格点为蓝色。数据为NCEP/NCAR再分析i的日地表气温(SAT)，如第2节所述，第一步是通过减去每个日历日的气候平均值来去除季节趋势。然后是El Niño盆地之间的联系和外部(见图20a)均被考虑。各环节的强度W(i,j)(t)根据公式(15)计算。CN中动态链路的平均强度S(t)是通过对所有单个链路强度的简单平均得到的。图20b显示了学习阶段(上)和预测阶段(下)S(t)的时间演化。他们发现，在El Niño事件之前，S(t)倾向于增加。当S(t)超过阈值Θ= 2.82时，他们就会发出警报(见图20b)。通过接受者工作特征(ROC)类型分析(稍后解释)的预测精度比基于气候模型的12个月预测要好得多。基于这些关于CN时间演化的发现，Ludescher等人成功预测了2014-2016年El Niño事件的发生[292]。
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Fig. 19. Spring Predictability Barrier. The El Niño forecasting skill of models based on February–October observations to predict the November– January average value in the El Niño-3.4 region (see Fig. 18). Results are an average correlation coefficient from 20 models between 2002–2011.
Fig. 19. Spring Predictability Barrier. The El Niño forecasting skill of models based on February–October observations to predict the November– January average value in the El Niño-3.4 region (see Fig. 18). Results are an average correlation coefficient from 20 models between 2002–2011.
图21. El Niño预测算法。a.红色曲线为Eq.(115)中定义的预测指标，蓝色线为ONI。水平黑色虚线表示FI = 0, ONI曲线下的蓝色阴影表示El Niño周期。绿色箭头表示真正预测，而黑色虚线箭头表示假警报。紫色箭头是2018-2019年El Niño事件的警报。b. 2012年5月以来FI(t)和ONI的详细视图。
图21. El Niño预测算法。a.红色曲线为Eq.(115)中定义的预测指标，蓝色线为ONI。水平黑色虚线表示FI = 0, ONI曲线下的蓝色阴影表示El Niño周期。绿色箭头表示真正预测，而黑色虚线箭头表示假警报。紫色箭头是2018-2019年El Niño事件的警报。b. 2012年5月以来FI(t)和ONI的详细视图。
来源:转载自参考文献[66]的图。
来源:转载自参考文献[66]的图。
为了预测El Niño事件的发生和震级，孟等人开发了另一种复杂的基于网络的方法[66]。他们提出了一个新的基于CN链的预测指数，表示Niño 3.4区域不同站点之间低频时间温度异常变化的相似性。他们发现，该指数的显著上升趋势预测了El Niño事件大约提前1年发生，而自上次El Niño事件结束以来的最高峰预测了接下来事件的强度。在ERA-Interim、NCEP Reanalysis I、PCMDI-AMIP 1.1.3和ERSST.v5等多个数据集上对其指数进行了测试。他们将Niño 3.4区域的一致性/无序度定义为:
为了预测El Niño事件的发生和震级，孟等人开发了另一种[[复杂]]的基于网络的方法[66]。他们提出了一个新的基于CN链的预测指数，表示Niño 3.4区域不同站点之间低频时间温度异常变化的相似性。他们发现，该指数的显著上升趋势预测了El Niño事件大约提前1年发生，而自上次El Niño事件结束以来的最高峰预测了接下来事件的强度。在ERA-Interim、NCEP Reanalysis I、PCMDI-AMIP 1.1.3和ERSST.v5等多个数据集上对其指数进行了测试。他们将Niño 3.4区域的一致性/无序度定义为:
$$C(t) = \frac{2}{N(N-1)} \sum_{i=1}^{N-1} \sum_{j=i+1}^{N} C_{i,j}^{(t)}(\theta)$$，
$$C(t) = \frac{2}{N(N-1)} \sum_{i=1}^{N-1} \sum_{j=i+1}^{N} C_{i,j}^{(t)}(\theta)$$，
其中N为Niño 3.4区域的节点数， 为延时互相关函数的最大值，见式。(12)和式(13)。提出预测指数(FI)作为时间(月)的函数:
其中N为Niño 3.4区域的节点数， 为延时互[[相关函数]]的最大值，见式。(12)和式(13)。提出预测指数(FI)作为时间(月)的函数:
$$\text{FI}(t) = \frac{1}{m + 1} \sum_{a=0}^{m} \ln C(t - a) - \ln C(t)$$
$$\text{FI}(t) = \frac{1}{m + 1} \sum_{a=0}^{m} \ln C(t - a) - \ln C(t)$$
其中a = 0表示ln(C)的平均值包括当前月份，而m是自1981年1月以来在t之前的月份总数。我们使用ERA-Interim数据集在图21中展示了FI和ONI的时间演变。根据FI的时间演变，他们成功预测了2018-2019年El Niño事件的发生，见图21b中紫色箭头上方的紫色星星。
其中a = 0表示ln(C)的平均值包括当前月份，而m是自1981年1月以来在t之前的月份总数。我们使用ERA-Interim数据集在图21中展示了FI和ONI的时间演变。根据FI的时间演变，他们成功预测了2018-2019年El Niño事件的发生，见图21b中紫色箭头上方的紫色星星。
请注意，可以使用FI的峰值来预测接下来的El Niño事件的强度。这个峰值是从上一个事件结束到一个新事件开始确定的，这意味着我们应该等到新事件开始发生。进一步提高预测技巧，特别是提前时间较长的震级预测。孟等人[241]开发了SysSampEn方法，详见2.4.5节。在公式(100)中定义，如图15a所示。El的震级与SysSampEn的相关性可达r = 0.99[见图15b]。他们进一步利用这种相关性来预测El Niño的大小，预测范围为1年，精度很高(即，单个数据集预测的平均值均方根误差= 0.23◦C)。特别是，对于2018-2019年El Niño事件，他们预测的弱El Niño震级为1.11±0. 23◦C，而观测值为0.9◦C。
请注意，可以使用FI的峰值来预测接下来的El Niño事件的强度。这个峰值是从上一个事件结束到一个新事件开始确定的，这意味着我们应该等到新事件开始发生。进一步提高预测技巧，特别是提前时间较长的震级预测。孟等人[241]开发了SysSampEn方法，详见2.4.5节。在公式(100)中定义，如图15a所示。El的震级与SysSampEn的相关性可达r = 0.99[见图15b]。他们进一步利用这种相关性来预测El Niño的大小，预测范围为1年，精度很高(即，单个数据集预测的平均值均方根误差= 0.23◦C)。特别是，对于2018-2019年El Niño事件，他们预测的弱El Niño震级为1.11±0. 23◦C，而观测值为0.9◦C。
最近，Feng等人将[[机器学习]]技术和气候网络结合起来，应用于El Niño事件的预测，特别是对El Niño事件的发生和NINO 3.4指数随时间的发展[293]。在参考文献[294]中，Petersik和Dijkstra应用高斯密度神经网络和分位数回归神经网络集成来预测ENSO。用于预测的经典[[机器学习]]模型通常只预测一个点值，例如ONI。相反，他们的模型直接预测了ONI的[[概率分布]]。特别是，他们发现他们的[[机器学习]]模型在1963年至2017年的评估期中，对于较长的提前期(提前12个月)具有高相关性技能(r = 0.5)。在参考文献[295]中，Ham、Kim和Luo使用迁移学习在历史模拟和再分析上训练卷积神经网络，并开发了热图分析。他们发现，采用[[深度学习]]方法的统计预测模型可以产生熟练的ENSO预测，预测周期长达一年半。文献[296]综述了基于现代[[机器学习]]和[[人工神经网络]]的ENSO预测。
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ENSO的远程影响:遥相关
ENSO的远程影响:[[遥相关]]
如上所述，ENSO现象主要发生在太平洋。然而，地球的大部分地区都能感受到它的影响。这些远程效应通常被称为远距连接，强调一个地方气候条件的变化可以影响到远离源头的地区[271,297]。遥相关通常由在两个不同地点或地区观测到的数值之间的相关性来表示。它与变率的模式有关，与大气波的传播、洋流的存在等有关。例如，与北大西洋涛动(NAO)和ENSO相关的远相关是可以在大气中找到的远程相关的主要例子。由于这些全球遥相关，El Niño导致太平洋中部降水增加，印度尼西亚和澳大利亚北部干旱，莫桑比克干旱和温暖，而美国西部则趋于湿润。图22显示了12月至1月至2月期间与El Niño相关的气候模式。已在一定程度上可靠地显示出受温暖ENSO阶段影响的区域被突出显示，例如，温暖vs。-冷和湿vs。-干燥异常。ENSO La Niña对冷相的影响在大致相同的区域，但符号相反。
如上所述，ENSO现象主要发生在太平洋。然而，地球的大部分地区都能感受到它的影响。这些远程效应通常被称为远距连接，强调一个地方气候条件的变化可以影响到远离源头的地区[271,297]。[[遥相关]]通常由在两个不同地点或地区观测到的数值之间的相关性来表示。它与变率的模式有关，与大气波的传播、洋流的存在等有关。例如，与北大西洋涛动(NAO)和ENSO相关的远相关是可以在大气中找到的远程相关的主要例子。由于这些全球[[遥相关]]，El Niño导致太平洋中部降水增加，印度尼西亚和澳大利亚北部干旱，莫桑比克干旱和温暖，而美国西部则趋于湿润。图22显示了12月至1月至2月期间与El Niño相关的[[气候模式]]。已在一定程度上可靠地显示出受温暖ENSO阶段影响的区域被突出显示，例如，温暖vs。-冷和湿vs。-干燥异常。ENSO La Niña对冷相的影响在大致相同的区域，但符号相反。
ENSO远程影响的基本机制是通过罗斯比波等大尺度大气波在大气中产生的。罗斯比波是了解大气天气[[系统]]和海洋大尺度环流的基础。它们基本上取决于科里奥利参数随纬度的变化。在所谓的β-平原[[近似]]中，科里奥利参数随纬度线性变化
$$\beta = \frac{2\Omega}{R} \cos \phi$$，
$$\beta = \frac{2\Omega}{R} \cos \phi$$，
其中φ为纬度，Ωis为地球自转的角速度，R为地球的平均半径。大气罗斯比波的波长约为6000千米。大气波动动力学类似于在海洋中观测到的ENSO，因为它们涉及到异常风对大气质量的转移，而异常风反过来又影响压力和风。
其中φ为纬度，Ωis为地球自转的角速度，R为地球的平均半径。大气罗斯比波的波长约为6000千米。大气波动动力学类似于在海洋中观测到的ENSO，因为它们涉及到异常风对大气质量的转移，而异常风反过来又影响压力和风。
为了评估一个地区是否存在ENSO连接，Fan等人应用Pearson相关中枢神经网络方法研究了El Niño和La Niña的全球远程影响[64]。他们将Niño 3.4区域称为El Niño盆地(ENB)。中枢神经网络是基于NCEP/NCAR再分析和EAR-Interim数据集的全球每日SAT场，仅使用从ENB到ENB以外地区的定向链接(“内”链接)构建的。这些链接的强度是根据方程计算的。(12)、(13)、(15)。他们确定了互相关函数绝对值的最高峰 的值，并表示相应的时间滞后为。一个CN的邻接矩阵变为
为了评估一个地区是否存在ENSO连接，Fan等人应用Pearson相关中枢神经网络方法研究了El Niño和La Niña的全球远程影响[64]。他们将Niño 3.4区域称为El Niño盆地(ENB)。中枢神经网络是基于NCEP/NCAR再分析和EAR-Interim数据集的全球每日SAT场，仅使用从ENB到ENB以外地区的定向链接(“内”链接)构建的。这些链接的强度是根据方程计算的。(12)、(13)、(15)。他们确定了互[[相关函数]]绝对值的最高峰 的值，并表示相应的时间滞后为。一个CN的[[邻接矩阵]]变为
其中H(x)是Heaviside∑阶跃函数∑foryh (x≥0)= 1且H(x < 0) = 0。每个节点的“in”度和“out”度分别定义为Ii y =j Ay j,i, Oiy =j Ai,j，量化了进入一个节点或从一个节点流出的链接数。使用的ENB之外的每个节点的总“入”权重定义为
其中H(x)是Heaviside∑阶跃函数∑foryh (x≥0)= 1且H(x < 0) = 0。每个节点的“in”度和“out”度分别定义为Ii y =j Ay j,i, Oiy =j Ai,j，量化了进入一个节点或从一个节点流出的链接数。使用的ENB之外的每个节点的总“入”权重定义为
据报道，有不同类型的El Niño事件，如典型的东太平洋(EP)和Modoki中央太平洋(CP)类型[298,299]。根据SST异常的空间格局进行分类。例如，与EP类型相关的最强SST异常位于南美洲海岸附近。然而，对于CP类型，最强的SST异常位于国际日期变更线附近。在文献[300]中，Wiedermann等人提出了一种基于进化cnn的指数，以客观区分不同类型的El Niño和La Niña事件。特别是，他们发现他们的网络指数在EP事件期间显示出一个尖峰，而在CP事件期间，它仍然接近正常年份的观测值。Lu等人在cnn分析的基础上，开发了一种新的方法来提前估计ElNiño事件的影响，并预测El Niño事件的类型[301]。
据报道，有不同类型的El Niño事件，如典型的东太平洋(EP)和Modoki中央太平洋(CP)类型[298,299]。根据SST异常的空间格局进行分类。例如，与EP类型相关的最强SST异常位于南美洲海岸附近。然而，对于CP类型，最强的SST异常位于国际日期变更线附近。在文献[300]中，Wiedermann等人提出了一种基于进化cnn的指数，以客观区分不同类型的El Niño和La Niña事件。特别是，他们发现他们的网络指数在EP事件期间显示出一个尖峰，而在CP事件期间，它仍然接近正常年份的观测值。Lu等人在cnn分析的基础上，开发了一种新的方法来提前估计ElNiño事件的影响，并预测El Niño事件的类型[301]。
3.1.2. 印度夏季风
3.1.2. 印度夏季风
印度夏季风（ISM）是世界季风[[系统]]中最为突出的一个，对印度的农业生产和经济有着决定性的影响。印度夏季风带来了该国超过70%的年降雨量。对印度夏季风的时间（开始日期和结束日期）以及降雨量的预测对于印度次大陆来说至关重要，并且强烈影响着该国的国内生产总值，其中高达22%由农业决定[302]。时间上的轻微偏差，表现为延迟（或提前到达）可能导致严重的干旱（洪水）。此外，降雨量的波动，即使只有10%的变化，也可能导致严重的洪水或干旱，对基础设施造成破坏，并导致人口的作物和生计损失[303]。印度夏季风的开始是突然发生的，并且近几十年来，对于开始、结束和降雨量的长期提前业务预报几乎没有显示出任何技巧。
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图 23. 厄尔尼诺现象的远程影响：气候网络。(a), (c) 厄尔尼诺事件的“入”权重图（使用 C 和 W）。(b),(d) 厄尔尼娜事件的“入”权重图（使用 C 和 W）。(e), (f) 厄尔尼诺和厄尔尼娜期间的冬季（12 月至 2 月）平均温度异常。来源：转载自参考文献 [64]。
图 23. 厄尔尼诺现象的远程影响：气候网络。(a), (c) 厄尔尼诺事件的“入”权重图（使用 C 和 W）。(b),(d) 厄尔尼娜事件的“入”权重图（使用 C 和 W）。(e), (f) 厄尔尼诺和厄尔尼娜期间的冬季（12 月至 2 月）平均温度异常。来源：转载自参考文献 [64]。
印度夏季风爆发和撤退预测
印度夏季风爆发和撤退预测
已经开发了几种统计气候模型，用于预测ISM的开始和结束日期，其时间尺度各不相同，从短期（最多4天）、中期（4-10天）[304,305]到延伸期（10-30天）和长期（超过30天）预测[306]。特别是，印度气象局（IMD）提前21天提供季风开始的预测，准确度为±4天。请注意，大多数ISM预测模型都基于输入值，包括SST、平均海平面压力、对流层湿度、湿静态能量、出射长波辐射、风场等[307–311]。然而，现有的预测方法仍然存在一些紧迫的挑战：（i）与非季风大气环流系统[312]有关的虚假季风开始；（ii）在9月1日之前预测撤退数据的局限性。
已经开发了几种统计气候模型，用于预测ISM的开始和结束日期，其时间尺度各不相同，从短期（最多4天）、中期（4-10天）[304,305]到延伸期（10-30天）和长期（超过30天）预测[306]。特别是，印度气象局（IMD）提前21天提供季风开始的预测，准确度为±4天。请注意，大多数ISM预测模型都基于输入值，包括SST、平均海平面压力、对流层湿度、湿静态能量、出射长波辐射、风场等[307–311]。然而，现有的预测方法仍然存在一些紧迫的挑战：（i）与非季风大气环流[[系统]][312]有关的虚假季风开始；（ii）在9月1日之前预测撤退数据的局限性。
为了克服这些挑战，Stolbova等人提出了一种新颖的临界要素方法，以准确预测印度夏季风（ISM）的开始和撤退日期[95]。该方法依赖于两种方法的结合：气候网络分析和非线性动力学。首先，对极端降雨事件网络的分析能够识别并揭示最活跃的枢纽之间的遥相关性，即东部高止山脉（EG）和巴基斯坦北部（NP）。其次，通过对波动进行分析来应用非线性动力学，从而检测临界跃迁，这些跃迁被用于定义印度夏季风的临界要素。之后，选择EG和NP作为最佳观测地点或参考点（RPs），以预测印度夏季风的开始和撤退。研究发现，在这些参考点之间，存在一个关于海表温度（SAT）和相对湿度的临界点，这产生了一个非常成功的预测方案。
为了克服这些挑战，Stolbova等人提出了一种新颖的临界要素方法，以准确预测印度夏季风（ISM）的开始和撤退日期[95]。该方法依赖于两种方法的结合：气候网络分析和非线性动力学。首先，对极端降雨事件网络的分析能够识别并揭示最活跃的[[枢纽]]之间的[[遥相关]]性，即东部高止山脉（EG）和巴基斯坦北部（NP）。其次，通过对波动进行分析来应用非线性动力学，从而检测临界跃迁，这些跃迁被用于定义印度夏季风的临界要素。之后，选择EG和NP作为最佳观测地点或参考点（RPs），以预测印度夏季风的开始和撤退。研究发现，在这些参考点之间，存在一个关于海表温度（SAT）和相对湿度的[[临界点]]，这产生了一个非常成功的预测方案。
ISM CN 专注于季风区域 (62.5–97.5◦E，北纬 5.0–40.0◦N)，空间分辨率为 2.5 度，这导致 15 × 15 = 225 个网格点，见图 25。1000 hPa 附近的 SAT (T )、1000 hPa 的相对湿度 (rh) 和700 hPa的风场。首先计算每个格点上(T )和(rh)的方差σ 2，如[95]所示
ISM CN 专注于季风区域 (62.5–97.5◦E，北纬 5.0–40.0◦N)，空间分辨率为 2.5 度，这导致 15 × 15 = 225 个网格点，见图 25。1000 hPa 附近的 SAT (T )、1000 hPa 的相对湿度 (rh) 和700 hPa的风场。首先计算每个格点上(T )和(rh)的方差σ 2，如[95]所示
$$\sigma^2(x, d, w, y) = \langle [x(t^*(y) - d - k) - \bar{x}(t^*(y) - d - k)]^2 \rangle_w =
$$\sigma^2(x, d, w, y) = \langle [x(t^*(y) - d - k) - \bar{x}(t^*(y) - d - k)]^2 \rangle_w =
如果预测的开始时间与实际开始时间的时间差为≤ 7天，预测的结束时间与实际结束时间的时间差为≤ 10天，则认为预测是成功的[95]。所提出的使用T的方案在一年中的第125天（4月10日）进行预测时，能成功预测74%的开始时间。在第205天（7月25日）进行预测时，该结束时间预测方案在84%的年份中取得成功。基于此预测方案，他们成功预测了自2016年以来EG地区的开始和结束时间。
如果预测的开始时间与实际开始时间的时间差为≤ 7天，预测的结束时间与实际结束时间的时间差为≤ 10天，则认为预测是成功的[95]。所提出的使用T的方案在一年中的第125天（4月10日）进行预测时，能成功预测74%的开始时间。在第205天（7月25日）进行预测时，该结束时间预测方案在84%的年份中取得成功。基于此预测方案，他们成功预测了自2016年以来EG地区的开始和结束时间。
ISM降雨量预测
ISM降雨量预测
印度夏季风（ISM）是最突出的季风[[系统]]之一。它影响着印度次大陆，是该地区最古老、最受期待的天气现象之一。人们已经提出了几种理论来解释季风的潜在机制。例如，海陆风理论：由于陆地和水的比热容差异，大陆比海洋升温更快。因此，沿海陆地上方的空气比海洋上方的空气升温更快。与海洋上的气压相比，这些在沿海陆地上方形成了低气压区域，导致富含水分的风从海洋流向陆地。当到达陆地时，这些风由于地理起伏而上升，绝热冷却，导致地形雨。然而，对印度夏季风的理解和可预测性仍在不断发展。
全印度降雨指数（AIRI）是印度次大陆整个区域6月至9月印度夏季风（ISM）降雨量的平均总和。它是印度气象局（IMD）监测印度夏季风降雨量[313]的主要指标。对印度夏季风降雨量（ISMR）进行准确的长期预测对于采取及时行动和缓解活动至关重要。在过去的几十年里，人们已经做出了巨大的努力来理解季风的基本物理原理，并提高全印度降雨指数（AIRI）的预测技巧[314–320]。然而，这两种方法都面临着与预测因子之间关系不稳定的挑战，正如近年来观察到的那样，由于边界强迫与印度季风之间的耦合减弱[321,322]。特别是，印度气象局（IMD）统计模型做出的官方业务预报的预测技巧（互相关）在1989-2012年为−0.12，五个集合模型的多元模型集合为0.09，四个亚太气候中心/气候预测与应用项目（APCC/CliPAS）模型的多元模型集合技巧在1989年后为0.24。研究发现，最近的失败很大程度上是由于这些模型无法捕捉到近期全球变暖期间出现的新可预测性来源[303]。
全印度降雨指数（AIRI）是印度次大陆整个区域6月至9月印度夏季风（ISM）降雨量的平均总和。它是印度气象局（IMD）监测印度夏季风降雨量[313]的主要指标。对印度夏季风降雨量（ISMR）进行准确的长期预测对于采取及时行动和缓解活动至关重要。在过去的几十年里，人们已经做出了巨大的努力来理解季风的基本物理原理，并提高全印度降雨指数（AIRI）的预测技巧[314–320]。然而，这两种方法都面临着与预测因子之间关系不稳定的挑战，正如近年来观察到的那样，由于边界强迫与印度季风之间的耦合减弱[321,322]。特别是，印度气象局（IMD）统计模型做出的官方业务预报的预测技巧（互相关）在1989-2012年为−0.12，五个集合模型的多元模型集合为0.09，四个亚太气候中心/气候预测与应用项目（APCC/CliPAS）模型的多元模型集合技巧在1989年后为0.24。研究发现，最近的失败很大程度上是由于这些模型无法捕捉到近期全球变暖期间出现的新可预测性来源[303]。
传统上，尼诺3或尼诺3.4区域4月至5月的海表温度异常被用作印度夏季风降水（ISMR）预测的预测因子。这是因为印度夏季风降水的变化主要由东太平洋厄尔尼诺（EP-ENSO）通过热带遥相关驱动[314,315]。然而，近几十年来，印度全印度降雨指数（AIRI）和东太平洋厄尔尼诺之间的这种反向关系已经减弱[270]。研究发现，中太平洋厄尔尼诺（CP-ENSO）也具有独特的遥相关，并对印度夏季风降水产生影响[324]。基于这种物理机制，Wang等人[303]提出了四个物理-经验的印度全印度降雨指数预测因子，即东太平洋厄尔尼诺预测因子（EPT）、中太平洋厄尔尼诺预测因子（CPT）、巨型厄尔尼诺预测因子（PSH）和异常亚洲低压（NAT）。EPT定义为：5月减去3月的海表温度东西向偶极子趋势：DSST(∗) (20◦S-5◦N, 150◦E–170◦E)减去DSST (10◦S–10◦N, 110◦W–80◦W); CPT定义为：5月减去4月的海表温度南北向偶极子趋势：DSST† (10 ◦–25◦S, 170◦E–160◦W)减去DSST (5◦–20◦N, 180 ◦–150◦W); PSH定义为：4月至5月平均海平面气压，在(40 ◦ S–10◦S, 160◦W–90◦W)和(10◦N–30◦N, 180◦–130◦W);范围内平均；NAT定义为：5月减去3月的海平面气压，在(45◦N–60◦N, 95◦E–125◦E)范围内平均。DSST(∗)表示5月和3月之间的海表温度差异（5月减去3月）。DSST†表示5月和4月之间的海表温度差异（5月减去4月）。这些预测因子（EPT）在1989-2012年期间产生了0.51的独立预测技巧，在1921-2012年期间产生了0.64的92年回顾性预测技巧。然而，该模型的预测提前期非常短，即从5月（提前一个月）或6月（印度气象局的业务模型）开始。
传统上，尼诺3或尼诺3.4区域4月至5月的海表温度异常被用作印度夏季风降水（ISMR）预测的预测因子。这是因为印度夏季风降水的变化主要由东太平洋厄尔尼诺（EP-ENSO）通过热带[[遥相关]]驱动[314,315]。然而，近几十年来，印度全印度降雨指数（AIRI）和东太平洋厄尔尼诺之间的这种反向关系已经减弱[270]。研究发现，中太平洋厄尔尼诺（CP-ENSO）也具有独特的[[遥相关]]，并对印度夏季风降水产生影响[324]。基于这种物理机制，Wang等人[303]提出了四个物理-经验的印度全印度降雨指数预测因子，即东太平洋厄尔尼诺预测因子（EPT）、中太平洋厄尔尼诺预测因子（CPT）、巨型厄尔尼诺预测因子（PSH）和异常亚洲低压（NAT）。EPT定义为：5月减去3月的海表温度东西向偶极子趋势：DSST(∗) (20◦S-5◦N, 150◦E–170◦E)减去DSST (10◦S–10◦N, 110◦W–80◦W); CPT定义为：5月减去4月的海表温度南北向偶极子趋势：DSST† (10 ◦–25◦S, 170◦E–160◦W)减去DSST (5◦–20◦N, 180 ◦–150◦W); PSH定义为：4月至5月平均海平面气压，在(40 ◦ S–10◦S, 160◦W–90◦W)和(10◦N–30◦N, 180◦–130◦W);范围内平均；NAT定义为：5月减去3月的海平面气压，在(45◦N–60◦N, 95◦E–125◦E)范围内平均。DSST(∗)表示5月和3月之间的海表温度差异（5月减去3月）。DSST†表示5月和4月之间的海表温度差异（5月减去4月）。这些预测因子（EPT）在1989-2012年期间产生了0.51的独立预测技巧，在1921-2012年期间产生了0.64的92年回顾性预测技巧。然而，该模型的预测提前期非常短，即从5月（提前一个月）或6月（印度气象局的业务模型）开始。
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图 26. ISM 开始日期 (OD) 和撤退日期 (WD) 的预测：2012 年案例研究。左列：OD 的预测；右列：东高止山脉 (EG) 的 WD。(a), (c): 1000 hPa 的气温；(b), (d) 1000 hPa 的相对湿度。来自参考点的时间序列：14 年平均值（黑色）和 2012 年巴基斯坦北部 (NP)（蓝色）和 EG（红色）的值。灰色线显示来自 NP 和 EG 的 14 年训练期间的时间序列。饱和温度 Tsat(a) 和饱和湿度 rhsat(c) 用水平黑色实线标记 (Tsat = Tonset, Tonset 和 rhsat 计算为 EG 和 NP 训练期间平均时间序列的交点)，饱和日期 (dsat)（当 2012 年 EG 的温度达到 Tsat) 时）用垂直深蓝色线标记。橙色线表示 NP 和 EG 训练期间平均时间序列的趋势，浅蓝色是 2012 年的趋势。黑色实线表示训练期间 OD (⟨OD⟩) 和 WD (⟨WD⟩) 的平均值。垂直虚线灰色线对应于预测的开始日期 (ODp) 和撤退日期 (WDp)，而垂直实线灰色线是 2012 年的实际开始和撤退日期。来源：参考文献 [95] 中的图。
图 26. ISM 开始日期 (OD) 和撤退日期 (WD) 的预测：2012 年案例研究。左列：OD 的预测；右列：东高止山脉 (EG) 的 WD。(a), (c): 1000 hPa 的气温；(b), (d) 1000 hPa 的相对湿度。来自参考点的时间序列：14 年平均值（黑色）和 2012 年巴基斯坦北部 (NP)（蓝色）和 EG（红色）的值。灰色线显示来自 NP 和 EG 的 14 年训练期间的时间序列。饱和温度 Tsat(a) 和饱和湿度 rhsat(c) 用水平黑色实线标记 (Tsat = Tonset, Tonset 和 rhsat 计算为 EG 和 NP 训练期间平均时间序列的交点)，饱和日期 (dsat)（当 2012 年 EG 的温度达到 Tsat) 时）用垂直深蓝色线标记。橙色线表示 NP 和 EG 训练期间平均时间序列的趋势，浅蓝色是 2012 年的趋势。黑色实线表示训练期间 OD (⟨OD⟩) 和 WD (⟨WD⟩) 的平均值。垂直虚线灰色线对应于预测的开始日期 (ODp) 和撤退日期 (WDp)，而垂直实线灰色线是 2012 年的实际开始和撤退日期。来源：参考文献 [95] 中的图。
为了实现对印度夏季风（ISM）降水的长期可靠预测这一目标，Fan等人基于全球近地表气温场[323]构建了一系列动力和物理耦合的网络。研究发现，有向加权复杂网络的一些特征可以作为印度夏季风降水预测的有效长期预测因子。所开发的预测方法利用前一历年的数据，提前5个月进行预测，预测技巧达到0.5。该预测技巧与当前最先进的模型相当，但提前期较短（即在一个月内）。新的基于网络的预测方法描述如下。
为了实现对印度夏季风（ISM）降水的长期可靠预测这一目标，Fan等人基于全球近地表气温场[323]构建了一系列动力和物理耦合的网络。研究发现，有向加权[[复杂网络]]的一些特征可以作为印度夏季风降水预测的有效长期预测因子。所开发的预测方法利用前一历年的数据，提前5个月进行预测，预测技巧达到0.5。该预测技巧与当前最先进的模型相当，但提前期较短（即在一个月内）。新的基于网络的预测方法描述如下。
气候网络构建：基于NCEP/NCAR再分析逐日SAT异常数据，为从1948年至今的每个日历年构建一个气候网络。在这项工作中，选择了726个节点，以使全球得到近似均匀的覆盖 [61]。连接强度和方向是基于节点温度异常时间序列之间的相似性度量来确定的[参见公式(12)–(16)]。只有当一对节点的连接强度在前5%的正强度范围内时，才定义为连接，这也对应于高于95%置信水平的统计显著性。
气候网络构建：基于NCEP/NCAR再分析逐日SAT异常数据，为从1948年至今的每个日历年构建一个气候网络。在这项工作中，选择了726个节点，以使全球得到[[近似]]均匀的覆盖 [61]。连接强度和方向是基于节点温度异常时间序列之间的相似性度量来确定的[参见公式(12)–(16)]。只有当一对节点的连接强度在前5%的正强度范围内时，才定义为连接，这也对应于高于95%置信水平的统计显著性。
网络预测因子挖掘：为了挖掘AIRI的动态网络预测因子，计算观测到的AIRI与全球每个节点i的网络入度Kiy时间序列之间的互相关[参见公式(6)]。由于自1989年以来，AIRI在IMD业务预报和其他模型中的预测能力变得非常差[303]，因此将记录分为两个连续的时期，即（i）1950-1988年作为训练期，以及（ii）1989-2018年作为回顾性预报期。对于训练期，相关系数如图27a所示。发现一些节点的入度指数能够很好地捕捉AIRI的行为。特别是，具有最大相关性r的节点（在图27a中黄色框标记的区域内）位于南大西洋[(30◦S，30◦W)]。图27b显示，此最大相关性的值为r = 0.49，学生t检验的显著性为p < 0.01。因此，该关键节点的入度指数被认为是AIRI的优化网络预测因子。
网络预测因子挖掘：为了挖掘AIRI的动态网络预测因子，计算观测到的AIRI与全球每个节点i的网络入度Kiy时间序列之间的互相关[参见公式(6)]。由于自1989年以来，AIRI在IMD业务预报和其他模型中的预测能力变得非常差[303]，因此将记录分为两个连续的时期，即（i）1950-1988年作为训练期，以及（ii）1989-2018年作为回顾性预报期。对于训练期，相关系数如图27a所示。发现一些节点的入度指数能够很好地捕捉AIRI的行为。特别是，具有最大相关性r的节点（在图27a中黄色框标记的区域内）位于南大西洋[(30◦S，30◦W)]。图27b显示，此最大相关性的值为r = 0.49，学生t检验的显著性为p < 0.01。因此，该关键节点的入度指数被认为是AIRI的优化网络预测因子。
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图 27. 基于气候网络的ISM降雨量预测示意图。(a) 所有节点在训练期间观测到的AIRI与入度时间序列之间的相关系数。(b) 在训练期间，观测到的AIRI与优化的网络预测因子（即黄色框中关键节点的入度时间序列）的散点图。(c) 在1989-2018年预测期间，观测到的AIRI与预测的AIRI的散点图。(d) 南大西洋关键节点与印度次大陆之间的遥相关路径。面板(a)中的黑色×表示相关性在95%置信水平上显著的区域（Student’s t-test）。面板(c)中最近五年以红色突出显示。颜色和灰色箭头描述了面板(d)中2014年8月12日印度夏季风季节850 hPa风的大小和方向。来源：转载自参考文献[323]中的图。
图 27. 基于气候网络的ISM降雨量预测示意图。(a) 所有节点在训练期间观测到的AIRI与入度时间序列之间的相关系数。(b) 在训练期间，观测到的AIRI与优化的网络预测因子（即黄色框中关键节点的入度时间序列）的散点图。(c) 在1989-2018年预测期间，观测到的AIRI与预测的AIRI的散点图。(d) 南大西洋关键节点与印度次大陆之间的[[遥相关]][[路径]]。面板(a)中的黑色×表示相关性在95%置信水平上显著的区域（Student’s t-test）。面板(c)中最近五年以红色突出显示。颜色和灰色箭头描述了面板(d)中2014年8月12日印度夏季风季节850 hPa风的大小和方向。来源：转载自参考文献[323]中的图。
AIRI预测：接下来，测试网络预测器在1989-2018年期间的预测能力。为了获得特定年份的AIRI预测值，将预测年份的预测变量值（即，前一年关键节点的网络入度）代入最小二乘线性回归方程。用于预测的这个方程仅使用过去的信息推导得出。1989-2018年期间的独立预测技巧变为∼ 0.50，这明显高于IMD的业务预测技巧[参见图27c]。结果表明，基于网络的预测器具有良好的准确性，且提前期长达5个月。最后，基于2018年的数据，2019年的AIRI预测为949.87毫米，与长期平均值887.5毫米相比，偏差百分比为7%。2019年AIRI的实际值为968.3毫米。
AIRI预测：接下来，测试网络预测器在1989-2018年期间的预测能力。为了获得特定年份的AIRI预测值，将预测年份的预测变量值（即，前一年关键节点的网络入度）代入最小二乘线性回归方程。用于预测的这个方程仅使用过去的信息推导得出。1989-2018年期间的独立预测技巧变为∼ 0.50，这明显高于IMD的业务预测技巧[参见图27c]。结果表明，基于网络的预测器具有良好的准确性，且提前期长达5个月。最后，基于2018年的数据，2019年的AIRI预测为949.87毫米，与长期平均值887.5毫米相比，偏差百分比为7%。2019年AIRI的实际值为968.3毫米。
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图 28. ISM降雨预报的物理机制。季节平均（6月-9月）Niño 3.4海表温度与(a)海表温度，(b)每个格点降雨量之间的相关性。具有统计显著性（95%置信水平）的相关性用点表示。来源：重印自参考文献[323]的图。
图 28. ISM降雨预报的物理机制。季节平均（6月-9月）Niño 3.4海表温度与(a)海表温度，(b)每个格点降雨量之间的相关性。具有统计显著性（95%置信水平）的相关性用点表示。来源：重印自参考文献[323]的图。
在下文中，将讨论一种可能的物理机制。从气象学的角度来看，西南大西洋中纬度关键节点的位置与印度次大陆之间的[[遥相关]]并非巧合。由于与中纬度西风带（地表30°S和60°S之间的西风）的相互作用，南美大陆东海岸的地形容易在中纬度形成反气旋。此外，还存在南极急流的影响，它出现在高空西风带中。南极急流的加速/减速分别诱导低/高压区域，这与气旋和反气旋的形成有关。由于南极急流的强度具有季节性和年际变化，因此它与以关键节点位置为中心的环流强度的变化[[同步]]。一种可能基于数据的[[遥相关]][[路径]]如图27d所示。因此，关键节点的位置可以看作是南大西洋环流、南极急流和印度洋上空主要大气环流模式的[[枢纽]]。这解释了为什么我们观察到关键节点的网络特征与AIRI之间存在显著的相关性。
进一步的分析表明，其物理机制与以下因素有关：（i）网络延迟的ENSO[[遥相关]]，即入度指标在厄尔尼诺发生的前一个日历年局部最小。（ii）ENSO-季风[[遥相关]][270,325,326]，即AIRI异常与Niño 3.4 SST异常指数呈负相关。图28展示了Niño 3.4 SST异常指数与所有节点的SST以及降雨指数之间的空间相关图。这些结果表明，Niño 3.4 SST异常指数与赤道印度洋的SST显著负相关，并且严重影响印度陆地地区的降雨模式。
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图 29. 印度次大陆极端降雨事件同步 CN 的度中心性。极端事件阈值为 (a) α = 94% 和 (b) α = 90%。来源：参考文献 [92] 中的图。
图 29. 印度次大陆极端降雨事件[[同步]] CN 的度[[中心性]]。极端事件阈值为 (a) α = 94% 和 (b) α = 90%。来源：参考文献 [92] 中的图。
此外，基于网络的方法也可以成功地应用于预测印度同质区域的降雨，作为一种预测方案，包括两个特定的同质区域[323]：（1）印度中部降雨指数；（2）印度东部和东北部降雨指数。此外，有确凿的证据表明气候变化会影响预测技巧。过去70年里显著的变暖趋势——关键节点区域850 hPa温度升高了2.5 ◦C——对关键节点区域产生了重大影响。观察到入度指数的增加以及网络本身结构的改变。与这些变化同时发生的是，这种预测方法对ISM降雨量的预测技巧正在大幅提高[323]。
此外，基于网络的方法也可以成功地应用于预测印度同质区域的降雨，作为一种预测方案，包括两个特定的同质区域[323]：（1）印度中部降雨指数；（2）印度东部和东北部降雨指数。此外，有确凿的证据表明气候变化会影响预测技巧。过去70年里显著的变暖趋势——关键节点区域850 hPa温度升高了2.5 ◦C——对关键节点区域产生了重大影响。观察到入度指数的增加以及网络本身结构的改变。与这些变化同时发生的是，这种预测方法对ISM降雨量的预测技巧正在大幅提高[323]。
3.1.3. 极端降水
3.1.3. 极端降水
自20世纪50年代以来，极端降水事件带来了更多降雨，且在世界许多地区变得更加频繁。强降水可能对我们的社会构成威胁。最直接的影响是洪水威胁。在城市和农业地区，这种风险可能会加剧。除了洪水，极端降水还会增加山体滑坡的风险。过多的降水还会降低水质，危害人类健康和生态[[系统]]。因此，预测极端降雨事件并为其建立预警[[系统]]至关重要。然而，分析此类事件协变的空间模式具有挑战性，因为基于协方差矩阵主成分分析的传统技术只能捕捉数据的前两个统计矩。
印度极端降雨
印度极端降雨
为了克服这些挑战，Malik等人应用\text{CNs}方法分析了\text{ISM}期间极端降雨的时空模式[92,328]。该方法基于事件同步法（见第2.1.3节）。在文献[328]中，数据集是1961 - 2004年的日降水格点数据集，它是“亚洲降水高分辨率观测数据集成用于水资源评估”项目的一部分。11然后，他们提取了南亚地区0.5度分辨率的数据。为了计算事件同步，选择了\alpha = 94^{\text{th}}百分位数和\alpha = 90^{\text{th}}百分位数这两个不同的阈值来获取极端事件时间序列，分别对应特大暴雨和大暴雨事件。接下来，他们计算了每个格点i和j之间的同步强度Q_{ij}和延迟行为q_{ij} [见式(20)]。归一化后，有0 \leq Q_{ij} \leq 1和-1 \leq q_{ij} \leq 1，其中Q_{ij} = 1表示完全同步，Q_{ij} = 0表示没有同步；q_{ij} = 1表示i处的事件先于j处的事件。然后，通过仅选择显示强相关性的站点对来构建CN，并使用事件之间的时间滞后定义链接方向。
为了克服这些挑战，Malik等人应用\text{CNs}方法分析了\text{ISM}期间极端降雨的时空模式[92,328]。该方法基于事件[[同步]]法（见第2.1.3节）。在文献[328]中，数据集是1961 - 2004年的日降水格点数据集，它是“亚洲降水高分辨率观测数据集成用于水资源评估”项目的一部分。11然后，他们提取了南亚地区0.5度分辨率的数据。为了计算事件[[同步]]，选择了\alpha = 94^{\text{th}}百分位数和\alpha = 90^{\text{th}}百分位数这两个不同的阈值来获取极端事件时间序列，分别对应特大暴雨和大暴雨事件。接下来，他们计算了每个格点i和j之间的[[同步]]强度Q_{ij}和延迟行为q_{ij} [见式(20)]。[[归一化]]后，有0 \leq Q_{ij} \leq 1和-1 \leq q_{ij} \leq 1，其中Q_{ij} = 1表示完全[[同步]]，Q_{ij} = 0表示没有[[同步]]；q_{ij} = 1表示i处的事件先于j处的事件。然后，通过仅选择显示强相关性的站点对来构建CN，并使用事件之间的时间滞后定义链接方向。
研究了印度夏季风（ISM）期间印度极端降雨的空间结构、组织和尺度。图29显示，CNs的度[[中心性]][见公式(4)]揭示了季风极端降水的明确空间结构[92]。基于使用球面地球投影到平面的公式计算的连接地理长度的中位数，发现极端降雨事件在大部分地区的[[同步]]范围可达250公里。他们进一步发现，这种空间组织为及时预测季风降雨活动的可能空间范围提供了可能性，例如，对于大部分次大陆地区，预测精度\epsilon高于70%，在某些地方甚至可达100%[92]。
南美极端降水
南美极端降水
这种事件[[同步]]CN方法也被用于预测南美洲安第斯中部的极端降雨事件[94]。基于实时卫星反演的降雨数据TRMM 3B42V7 [329]，博尔斯等人能够预测安第斯中部超过99百分位的降雨事件中的60%以上，在厄尔尼诺现象期间甚至能预测90%。向北移动的锋面[[系统]]与从亚马逊西部到亚热带的低空风通道之间的相互作用被认为是其成因机制。
极端降雨事件被定义为在空间范围（85°W，30°W）和（40°S，15°N）内，所有12月 - 1月 - 2月季节中阈值α = 99%的时段，空间分辨率为0.25°，时间分辨率为3小时，时间跨度从1998年到2012年。在构建事件同步CN（见第2.1.3节）之后，网络散度$$\Delta S$$被定义为
极端降雨事件被定义为在空间范围（85°W，30°W）和（40°S，15°N）内，所有12月 - 1月 - 2月季节中阈值α = 99%的时段，空间分辨率为0.25°，时间分辨率为3小时，时间跨度从1998年到2012年。在构建事件[[同步]]CN（见第2.1.3节）之后，网络散度$$\[[Del]]ta S$$被定义为
$$\Delta S_i := S_i^{\text{in}} - S_i^{\text{out}} := \sum_{j=1}^{N} A_{ij} - \sum_{j=1}^{N} A_{ji},$$
$$\[[Del]]ta S_i := S_i^{\text{in}} - S_i^{\text{out}} := \sum_{j=1}^{N} A_{ij} - \sum_{j=1}^{N} A_{ji},$$
其中Sin和Sout分别代表每个节点的入强度和出强度。$$\Delta S$$的正值表示网络的汇；负值表示源。流入和流出区域R的强度为
其中Sin和Sout分别代表每个节点的入强度和出强度。$$\[[Del]]ta S$$的正值表示网络的汇；负值表示源。流入和流出区域R的强度为
$$S_i^{\text{in}}(R) = \frac{1}{|R|} \sum_{j \in R} A_{ij},$$
$$S_i^{\text{in}}(R) = \frac{1}{|R|} \sum_{j \in R} A_{ij},$$
$$S_i^{\text{out}}(R) = \frac{1}{|R|} \sum_{j \in R} A_{ji},$$
$$S_i^{\text{out}}(R) = \frac{1}{|R|} \sum_{j \in R} A_{ji},$$
其中|R|表示R中包含的网格点数。
其中|R|表示R中包含的网格点数。
图30a展示了网络散度$$\Delta S$$（在式(123)中定义），该散度用于估算南美洲极端降雨的动态变化和时间顺序。标记为1至7的方框用于追踪极端事件。研究发现，降雨网络中最显著的源区是南美洲东南部（SESA），其定义为范围从(60°W, 53°W)到(35°S, 30°S)的方框。图30b描绘了在SESA发生极端事件后的2天内，同步极端事件发生的位置，由Souti(SESA)测量得出。为作比较，Souti(SESA)在图30c中展示。该分析表明，SESA的极端事件之后，会沿着安第斯山东坡的狭窄地带直至玻利维亚西部出现极端事件，而它们仅在西南部的极端事件之后发生。基于极端降雨从SESA向安第斯山脉中部东部（ECA）的传播，见图30d，在SESA发生极端降雨后的2天内，对ECA的极端降雨进行了预测。需要注意的是，这些极端降雨事件无法通过其他方法进行预测。
图30a展示了网络散度$$\[[Del]]ta S$$（在式(123)中定义），该散度用于估算南美洲极端降雨的动态变化和时间顺序。标记为1至7的方框用于追踪极端事件。研究发现，降雨网络中最显著的源区是南美洲东南部（SESA），其定义为范围从(60°W, 53°W)到(35°S, 30°S)的方框。图30b描绘了在SESA发生极端事件后的2天内，[[同步]]极端事件发生的位置，由Souti(SESA)测量得出。为作比较，Souti(SESA)在图30c中展示。该分析表明，SESA的极端事件之后，会沿着安第斯山东坡的狭窄地带直至玻利维亚西部出现极端事件，而它们仅在西南部的极端事件之后发生。基于极端降雨从SESA向安第斯山脉中部东部（ECA）的传播，见图30d，在SESA发生极端降雨后的2天内，对ECA的极端降雨进行了预测。需要注意的是，这些极端降雨事件无法通过其他方法进行预测。
全球极端降水
全球极端降水
Boers等人[96]还应用事件同步CN方法来研究极端降雨的全球模式。使用的是1998 - 2016年期间，从北纬50°到南纬50°、日时间分辨率的经雨量计校准的卫星衍生降雨数据集TRMM 3B42 V731。极端降雨事件阈值为6 - 8月雨季（>1毫米）的第80、81、……、99百分位。请注意，连续降雨超过阈值的天数被视为单一事件，并记录在发生的第一天。为研究该方法的稳健性，还对全球降水气候学计划32和NCEP/NCAR再分析1数据进行了测试。
Boers等人[96]还应用事件[[同步]]CN方法来研究极端降雨的全球模式。使用的是1998 - 2016年期间，从北纬50°到南纬50°、日时间分辨率的经雨量计校准的卫星衍生降雨数据集TRMM 3B42 V731。极端降雨事件阈值为6 - 8月雨季（>1毫米）的第80、81、……、99百分位。请注意，连续降雨超过阈值的天数被视为单一事件，并记录在发生的第一天。为研究该方法的稳健性，还对全球降水气候学计划32和NCEP/NCAR再分析1数据进行了测试。
首先，计算每对节点的极端事件[[同步]]性（见第2.1.3节）。如果对应的[[同步]]值显著（p < 0.005），则在两个节点之间添加网络链接。研究了显著[[同步]]发生的空间距离的全局分布。这种分布遵循幂律p(d)⇓ d↔α衰减，对于距离d < 2500 km，指数α非常接近1，但对于更长的距离则呈现超幂律行为。尺度断点表明，显著链接可以分为两类：（i）与区域天气[[系统]]相关的链接，距离可达2500 km，包括中尺度对流[[系统]]和热带气旋；（ii）与全球尺度[[遥相关]]相关的链接。一般认为，这种[[遥相关]]是由大[[规模]]大气环流引起的直接信号传输，或由这些环流扰动触发的传播波造成的[96]。在图31中，展示了南亚中部（SCA）95%分位数以上事件的[[遥相关]]模式。明显存在连接SCA与东亚、非洲热带地区、欧洲大部分地区、北美东海岸以及南半球温带地区的显著链接束。进一步分析表明，罗斯贝波可被视为这些全球[[遥相关]]模式的物理机制。
3.1.4. 大气环流与全球变暖
3.1.4. 大气环流与全球变暖
地球大气主要由环绕我们星球的气体组成，其大气环流模式将空气从一个位置移动到另一个位置，并从地表移动到高海拔地区。大气环流受地球自转、气压、地形、洋流以及温度、盐度等差异的控制。
地球大气主要由环绕我们星球的气体组成，其大气环流模式将空气从一个位置移动到另一个位置，并从地表移动到高海拔地区。大气环流受地球自转、气压、地形、洋流以及温度、盐度等差异的控制。
环流的纬度结构
环流的纬度结构
由于太阳能输入的纬度梯度是大气环流的主要驱动因素，因此其主要特征取决于纬度。我们在图32中展示了地球上大[[规模]]大气环流的理想化描述，该图示意性地表示了环流的主要特征，无论是在纬度-高度平面上还是在水平方向上，但尚未考虑由于大陆、海洋等引起的经度变化。这代表了所有经度的平均环流，称为纬向平均。正如我们所见，在两个半球中都有三个大[[规模]]的对流单元。
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图 30. 南美洲极端降雨事件同步 CN。(a) 网络散度，∆S，定义为每个节点的入强度和出强度之差（参见公式 (123)）。标有 1 到 7 的方框用于跟踪极端事件。(b) SESA 的出强度，Siout(SESA)，它是限制在 SESA 的平均出强度（参见公式 (124)）。(c) SESA 的入强度，Siin(SESA)，它是限制在 SESA 的平均入强度（参见公式 (125)）。(d) 沿 (a) 中指示的方框序列，从 SESA 到 ECA 的极端降雨事件的时间演变。来源：参考文献 [94] 中的图。
图 30. 南美洲极端降雨事件[[同步]] CN。(a) 网络散度，∆S，定义为每个节点的入强度和出强度之差（参见公式 (123)）。标有 1 到 7 的方框用于跟踪极端事件。(b) SESA 的出强度，Siout(SESA)，它是限制在 SESA 的平均出强度（参见公式 (124)）。(c) SESA 的入强度，Siin(SESA)，它是限制在 SESA 的平均入强度（参见公式 (125)）。(d) 沿 (a) 中指示的方框序列，从 SESA 到 ECA 的极端降雨事件的时间演变。来源：参考文献 [94] 中的图。
（i）哈德莱环流是一种热力驱动的、翻转的环流，倾向于在热带上升，并在稍高的纬度下沉。来自赤道附近地表的变暖通过对流云向上输送穿过一个深层。上升的空气向极地方向扩散并缓慢冷却，返回到地表，然后向赤道移动。粗略地说，哈德莱环流将热量输送到大约30◦latitude，而瞬时天气扰动的平均效应将热量进一步向极地输送。
（i）哈德莱环流是一种热力驱动的、翻转的环流，倾向于在热带上升，并在稍高的纬度下沉。来自赤道附近地表的变暖通过对流云向上输送穿过一个深层。上升的空气向极地方向扩散并缓慢冷却，返回到地表，然后向赤道移动。粗略地说，哈德莱环流将热量输送到大约30◦latitude，而瞬时天气扰动的平均效应将热量进一步向极地输送。
（ii）费雷尔环流也被称为中纬度环流。在费雷尔环流中，近地面空气向极地方向和东方向流动，而在较高海拔处则向赤道方向和西方向流动；这种运动与哈德莱环流中的气流方向相反。它是第一个解释南北半球纬度35◦和60◦之间西风带的环流。
（ii）费雷尔环流也被称为中纬度环流。在费雷尔环流中，近地面空气向极地方向和东方向流动，而在较高海拔处则向赤道方向和西方向流动；这种运动与哈德莱环流中的气流方向相反。它是第一个解释南北半球纬度35◦和60◦之间西风带的环流。
(iii)极地环流圈是最小且最弱的环流圈，其范围从南北纬60◦和70◦之间延伸至两极。这些环流圈中的空气在最高纬度地区下沉，并在地表向较低纬度地区流动。请注意，基于纬度的大气环流理想化图景是一个合理的初步近似，但陆地-海洋的对比以及经度上的其他变化也很重要。
(iii)极地环流圈是最小且最弱的环流圈，其范围从南北纬60◦和70◦之间延伸至两极。这些环流圈中的空气在最高纬度地区下沉，并在地表向较低纬度地区流动。请注意，基于纬度的大气环流理想化图景是一个合理的初步[[近似]]，但陆地-海洋的对比以及经度上的其他变化也很重要。
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图 31. 全球极端降雨事件同步化CN。南亚中区（SCA）95%分位数以上事件的遥相关模式。(a) 连接到SCA的链接，在校正多重比较偏差之前。(b) 连接到SCA的链接束，在校正多重比较偏差之后。来源：参考文献[96]中的图。
图 31. 全球极端降雨事件[[同步]]化CN。南亚中区（SCA）95%分位数以上事件的[[遥相关]]模式。(a) 连接到SCA的链接，在校正多重比较偏差之前。(b) 连接到SCA的链接束，在校正多重比较偏差之后。来源：参考文献[96]中的图。
气候变化对大气环流的影响
气候变化对大气环流的影响
气候变化强烈影响大气环流模式，特别是哈德莱环流，它通过向极地输送能量和热量，在地球气候中起着关键作用[330–332]。一项对卫星观测的分析表明，从1979年到2005年，哈德莱环流向极地方向扩张了2◦纬度[330]。关于哈德莱环流变化及其与全球变暖之间关系的一种可能机制已被报道[331]。此外，[332]中提出了哈德莱环流强度变化及其与全球变暖之间关系的一种可能机制。上述观测和理论都表明，在全球变暖的情况下，哈德莱环流会减弱并向极地方向扩张。
气候变化强烈影响大气环流模式，特别是哈德莱环流，它通过向极地输送能量和热量，在地球气候中起着关键作用[330–332]。一项对卫星观测的分析表明，从1979年到2005年，哈德莱环流向极地方向扩张了2◦纬度[330]。关于哈德莱环流变化及其与全球变暖之间关系的一种可能机制已被报道[331]。此外，[332]中提出了哈德莱环流强度变化及其与全球变暖之间关系的一种可能机制。上述观测和理论都表明，在全球变暖的情况下，哈德莱环流会减弱并向极地方向扩张。
图 32. 大气环流主要特征示意图。平均环流被理想化为独立于经度且关于赤道对称。来源：该图来自https://courses.lumenlearning.com/geophysical/chapter/global-atmospheric-circulations/。
图 32. 大气环流主要特征示意图。平均环流被理想化为独立于经度且关于赤道对称。来源：该图来自https://courses.lumenlearning.com/geophysical/chapter/global-atmospheric-circulations/。
其中V是气压坐标中的经向速度，R是地球的平均半径，p是气压。算子¯和[ ]分别代表时间和纬向平均。在计算Ψ场时，我们通常假设大气层顶部Ψ = 0，并将公式 (126) 向下积分到地表。哈德莱环流在冬季比夏季强得多。为了量化哈德莱环流的边缘，首先确定500 hPa处Ψ绝对值的最大值(Ψ500)，然后将边缘识别为最大值以北第一个Ψ500变为零的纬度[331]。哈德莱环流的理论表明，经向范围应与对流层顶的高度H成比例[336]
其中V是气压坐标中的经向速度，R是地球的平均半径，p是气压。算子¯和[ ]分别代表时间和纬向平均。在计算Ψ场时，我们通常假设大气层顶部Ψ = 0，并将公式 (126) 向下积分到地表。哈德莱环流在冬季比夏季强得多。为了量化哈德莱环流的边缘，首先确定500 hPa处Ψ绝对值的最大值(Ψ500)，然后将边缘识别为最大值以北第一个Ψ500变为零的纬度[331]。哈德莱环流的理论表明，经向范围应与对流层顶的高度H成比例[336]
$$\phi_H \sim \left( \frac{g H \Delta_H}{\Omega^2 R^2} \right)^{\frac{1}{2}},$$
$$\phi_H \sim \left( \frac{g H \[[Del]]ta_H}{\Omega^2 R^2} \right)^{\frac{1}{2}},$$
其中H是由温度数据计算得出的，作为递减率降至2 ◦C/km时的最低压力水平[337]，∆H是对流层平均经向位温梯度，Ω是地球的角速度。根据热力学方程和质量连续性方程[335]，环流的经向翻转流函数Ψ的尺度为：
其中H是由温度数据计算得出的，作为递减率降至2 ◦C/km时的最低压力水平[337]，∆H是对流层平均经向位温梯度，Ω是地球的角速度。根据热力学方程和质量连续性方程[335]，环流的经向翻转流函数Ψ的尺度为：
$$\Psi \sim \left( \frac{g H \Delta_H}{\Omega^2 R^2} \right)^{\frac{3}{2}} \frac{R H \Delta_H}{\tau \Delta_V} \propto \frac{H^{\frac{5}{2}} \Delta_H^{\frac{2}{5}}}{\Delta_V},$$
$$\Psi \sim \left( \frac{g H \[[Del]]ta_H}{\Omega^2 R^2} \right)^{\frac{3}{2}} \frac{R H \[[Del]]ta_H}{\tau \[[Del]]ta_V} \propto \frac{H^{\frac{5}{2}} \[[Del]]ta_H^{\frac{2}{5}}}{\[[Del]]ta_V},$$
其中 ∆V 是热带对流层的干静态稳定度，τ 是环流的特征翻转时间尺度。
其中 ∆V 是热带对流层的干静态稳定度，τ 是环流的特征翻转时间尺度。
尽管对卫星观测和气候变化模拟的传统分析表明哈德莱环流存在极向扩张，但仍然存在两个挑战。（i）这种扩张的经纬度结构尚未完全解决。（ii）与模型和理论考虑预测强度降低相反，在再分析数据集中发现哈德莱环流强度呈增加趋势[338]。为了克服这些尚未解决的问题，Fanet al.开发了一种基于网络和渗透框架的方法，以研究气候变化对大气环流的影响[67]。他们发现在气候网络演化过程中存在一个突变，表明与热带地区相对应的最大集群持续向极地扩张，以及热带地区连接强度的减弱。这在再分析数据和CMIP5模拟中均有发现。观测到的热带集群扩张的潜在机制与哈德莱环流的减弱和扩张有关。
尽管对卫星观测和气候变化模拟的传统分析表明哈德莱环流存在极向扩张，但仍然存在两个挑战。（i）这种扩张的经纬度结构尚未完全解决。（ii）与模型和理论考虑预测强度降低相反，在再分析数据集中发现哈德莱环流强度呈增加趋势[338]。为了克服这些尚未解决的问题，Fanet al.开发了一种基于网络和渗透框架的方法，以研究气候变化对大气环流的影响[67]。他们发现在气候[[网络演化]]过程中存在一个突变，表明与热带地区相对应的最大集群持续向极地扩张，以及热带地区连接强度的减弱。这在再分析数据和CMIP5模拟中均有发现。观测到的热带集群扩张的潜在机制与哈德莱环流的减弱和扩张有关。
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图33. 大气环流的网络渗流方法。CN组件结构的快照。(a) 刚好在渗流阈值之前。(b) 巨型簇相对大小G1与总链路数分数r的关系，针对真实（红色）、空间混洗（蓝色）和时间混洗（紫色）记录。(c) 刚好在跨越簇形成之前（在r ⇔ 0.8处的第二大跳跃处）。(d) 全球范围内链路权重Wi,j的PDF，在真实（实线）和混洗（虚线）数据中。垂直线（橙色）表示在渗流阈值rc ⇔ 0.53处临界链路的强度Wc。
图33. 大气环流的网络[[渗流]]方法。CN组件结构的快照。(a) 刚好在[[渗流阈值]]之前。(b) 巨型簇相对大小G1与总链路数分数r的关系，针对真实（红色）、空间混洗（蓝色）和时间混洗（紫色）记录。(c) 刚好在跨越簇形成之前（在r ⇔ 0.8处的第二大跳跃处）。(d) 全球范围内链路权重Wi,j的PDF，在真实（实线）和混洗（虚线）数据中。垂直线（橙色）表示在[[渗流阈值]]rc ⇔ 0.53处临界链路的强度Wc。
来源：转载自参考文献 [67] 的图。
来源：转载自参考文献 [67] 的图。
在参考文献[67]中，气候网络被嵌入到一个二维晶格中，其中只考虑最近邻连接。每个连接的强度是根据公式(15)计算的，使用月度温度差。这些连接按照强度递减的顺序排序，然后按照递减的强度逐个添加。更具体地说，更相似的节点首先被连接。当一个新的连接将一个集群连接到另一个集群时，现有的集群就会增长。然后，气候网络经历一个突发且具有统计学意义的相变，即在序参量G1（最大集群的相对大小）中表现出显著的不连续性。由于地球的球形形状，气候网络中最大的连通分量被重新定义为
在参考文献[67]中，气候网络被嵌入到一个二维晶格中，其中只考虑最近邻连接。每个连接的强度是根据公式(15)计算的，使用月度温度差。这些连接按照强度递减的顺序排序，然后按照递减的强度逐个添加。更具体地说，更相似的节点首先被连接。当一个新的连接将一个集群连接到另一个集群时，现有的集群就会增长。然后，气候网络经历一个突发且具有统计学意义的[[相变]]，即在序参量G1（最大集群的相对大小）中表现出显著的不连续性。由于地球的球形形状，气候网络中最大的连通分量被重新定义为
$$G_1(M) = \frac{\max\left[ \sum_{i \in S_1(M)} \cos(\phi_i), \ldots, \sum_{i \in S_m(M)} \cos(\phi_i), \ldots, \right]}{\sum_{i=1}^N \cos(\phi_i)},$$
$$G_1(M) = \frac{\max\left[ \sum_{i \in S_1(M)} \cos(\phi_i), \ldots, \sum_{i \in S_m(M)} \cos(\phi_i), \ldots, \right]}{\sum_{i=1}^N \cos(\phi_i)},$$
其中 φi 是节点 i 的纬度。渗流阈值根据式 (48) 确定，即跳跃幅度最大的步骤被视为相变点。图 33(a) 显示了渗流阈值下全球地图中的 CN 组件结构。就在这个跳跃之前，CN 的特征是有三个主要群落；最大的一个位于热带地区；第二和第三大的分别位于南半球和北半球的高纬度地区。图 33(b) 描绘了在 CN 演化过程中最大簇 G1 的相对大小随链路占用概率 r 的变化情况。研究发现，G1 在渗流阈值 rc ⇔ 0.53 处出现突然跳跃。链路权重 Wi,j 的概率密度函数 (PDF) 如图 33(d) 所示。
其中 φi 是节点 i 的纬度。[[渗流阈值]]根据式 (48) 确定，即跳跃幅度最大的步骤被视为[[相变]]点。图 33(a) 显示了[[渗流阈值]]下全球地图中的 CN 组件结构。就在这个跳跃之前，CN 的特征是有三个主要群落；最大的一个位于热带地区；第二和第三大的分别位于南半球和北半球的高纬度地区。图 33(b) 描绘了在 CN 演化过程中最大簇 G1 的相对大小随链路占用概率 r 的变化情况。研究发现，G1 在[[渗流阈值]] rc ⇔ 0.53 处出现突然跳跃。链路权重 Wi,j 的概率密度函数 (PDF) 如图 33(d) 所示。
为了确定最大分量Gc的时间演变及其强度Wc（导致最大转变的关键链路的权重），构建了一系列基于连续且不重叠的时间窗口（每个窗口长度为5年）的网络。结果表明，热带集群正在向极地扩张，同时其强度随时间显著减弱。热带分量的稳健减弱和向极地扩张在再分析数据和31个CMIP5模型中均有观测到。网络[[渗流]]方法还被用于识别气候变化响应，通过比较21世纪前20年和后20年（即2080 - 2100年与2006 - 2026年）热带分量的拓扑结构。研究发现，一些地区，例如印度北部、非洲南部和澳大利亚西部，受热带分量影响的概率更高，而其他地区，如东北太平洋，未来的影响将减弱。
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图34. 大西洋经向翻转环流（AMOC）的减缓。模型与观测中SST趋势的比较。地球物理流体动力学实验室的CM2.6气候模型在二氧化碳浓度加倍实验（左）和固定二氧化碳浓度的控制运行（中）期间的线性SST趋势。右，1870年至2016年观测到的HadISST数据的线性SST趋势。数据显示的是11月至5月季节的情况。
图34. 大西洋经向翻转环流（AMOC）的减缓。模型与观测中SST趋势的比较。地球物理流体动力学实验室的CM2.6气候模型在二氧化碳浓度加倍实验（左）和固定二氧化碳浓度的控制运行（中）期间的线性SST趋势。右，1870年至2016年观测到的HadISST数据的线性SST趋势。数据显示的是11月至5月季节的情况。
3.1.5. 大西洋经向翻转环流
3.1.5. 大西洋经向翻转环流
大西洋经向翻转环流（AMOC）是北大西洋[[气候系统]]中的关键组成部分。由于其重新分配的经向热输送，它对气候产生重大影响[339,340]。AMOC已被确定为地球[[系统]]的重要临界要素之一[23]。AMOC的变化不仅影响了北大西洋及其周边陆地，而且还产生了全球性的影响[156]。例如，负向变化导致南欧风暴增多[341]，与美国东海岸高于平均水平的海平面上升有关[342]，并与萨赫勒地区干旱的增加（频率和强度）相关联[343]。最近，Caesar等人提供了确凿的证据，表明自20世纪中叶以来，AMOC减弱了约3 ±1（约15%）斯维德鲁普[160]。这种减弱表现为亚极地大西洋的降温和墨西哥湾流区域的升温模式（见图34）。在高分辨率气候模型（CM2.6）中，以及自19世纪末以来的观测HadISST数据中，都发现了AMOC的减缓，这是对大气中二氧化碳浓度增加的响应。开发了一种改进的基于海表温度的AMOC指数（亚极地冷斑），该指数在其区域和季节覆盖范围上进行了优化，以重建AMOC的变化。特别是，研究发现，自20世纪50年代以来AMOC的下降很可能主要是人为造成的。AMOC的这种减缓主要是由北大西洋北部逐渐变化的淡水强迫引起的。
大西洋经向翻转环流（AMOC）是纬向平均的体积输送，其强度在大西洋26◦N处，目前由RAPID-MOCHA阵列进行常规监测[344]。大西洋经向翻转环流的平均模式由共同体地球系统模型（CESM）模拟确定[345,346]。AMOC的最大值出现在约1000米深度，位于墨西哥湾流的分离纬度附近，强度约为20 Sv。由于未来AMOC的崩溃已被确定为一个临界要素，因此开发针对这种潜在崩溃的早期预警指标至关重要。正如我们在第2.3节中讨论的那样，已经开发并成功应用了各种技术，以检测基于临界减速概念的单个时间序列中的早期预警指标[177]。特别是，在[179,181]中讨论了AMOC临界点的早期预警指标。
大西洋经向翻转环流（AMOC）是纬向平均的体积输送，其强度在大西洋26◦N处，目前由RAPID-MOCHA阵列进行常规监测[344]。大西洋经向翻转环流的平均模式由共同体地球[[系统]]模型（CESM）模拟确定[345,346]。AMOC的最大值出现在约1000米深度，位于墨西哥湾流的分离纬度附近，强度约为20 Sv。由于未来AMOC的崩溃已被确定为一个临界要素，因此开发针对这种潜在崩溃的早期预警指标至关重要。正如我们在第2.3节中讨论的那样，已经开发并成功应用了各种技术，以检测基于临界减速概念的单个时间序列中的早期预警指标[177]。特别是，在[179,181]中讨论了AMOC[[临界点]]的早期预警指标。
最近，一些基于[[复杂网络]]（CN）的预警信号被提出，通过分析大西洋经向翻转环流（AMOC）崩溃的相关性，可以有效地监测深海环流的空间变化。具体而言，当接近[[临界点]]时，平均度数、其峰度、同配性和[[聚类系数]]的值会增加[69,70]。[[复杂网络]]方法被应用于来自理想化海洋模型的大西洋经向翻转环流（AMOC）温度时间序列，以及来自耦合大气-海洋全球环流模式（GCM）的AMOC强度时间序列。此外，还提出了AMOC测量的最佳位置，通过分析该指标的性能，以提供崩溃的早期预警信号。接下来，我们将概述这些基于[[复杂网络]]（CN）的AMOC崩溃早期预警指标。
Mheen等人[69]使用了一个维度（经向-深度）理想化的AMOC海洋模型，其中可以显式计算临界点。在这个模型中，有两个活跃的示踪剂：温度T和盐度S，它们通过线性状态方程与密度ρ相关[347]
Mheen等人[69]使用了一个维度（经向-深度）理想化的AMOC海洋模型，其中可以显式计算[[临界点]]。在这个模型中，有两个活跃的示踪剂：温度T和盐度S，它们通过线性状态方程与密度ρ相关[347]
$$\rho = \rho_0 \left( 1 - \alpha_T (T - T_0) + \alpha_S (S - S_0) \right),$$
$$\rho = \rho_0 \left( 1 - \alpha_T (T - T_0) + \alpha_S (S - S_0) \right),$$
其中αT和αS分别为热膨胀系数和盐收缩系数，而⇀0、T0和S0为参考量。表面淡水强迫FS可作为虚拟盐通量应用，它是
其中αT和αS分别为热膨胀系数和盐收缩系数，而⇀0、T0和S0为参考量。表面淡水强迫FS可作为虚拟盐通量应用，它是
$$F_S(\phi) = \frac{(\gamma + \eta)}{\cos \phi} \cos \pi \frac{\phi}{\phi_N} + \beta F_p(\phi) - Q,$$
$$F_S(\phi) = \frac{(\gamma + \eta)}{\cos \phi} \cos \pi \frac{\phi}{\phi_N} + \beta F_p(\phi) - Q,$$
其中φ表示纬度，φN是赤道对称区域的北边界，↽是背景淡水强迫的强度，η是白噪音项。ϱ是仅在区域[40°N, 60°N]上施加的异常淡水通量的强度，Q是一个常数，用于将所有参数值下的表面积分盐通量从0归一化到1。如图35所示，理想化海洋模型中大西洋经向翻转环流（AMOC）的分岔图表明在L1和L2处存在临界点。该模型在32×16的空间网格上离散化，有四个接近L1的ϱ值，标记为A、B、C和D。该模型的输出是温度场时间序列。
其中φ表示纬度，φN是赤道对称区域的北边界，↽是背景淡水强迫的强度，η是白噪音项。ϱ是仅在区域[40°N, 60°N]上施加的异常淡水通量的强度，Q是一个常数，用于将所有参数值下的表面积分盐通量从0[[归一化]]到1。如图35所示，理想化海洋模型中大西洋经向翻转环流（AMOC）的分岔图表明在L1和L2处存在[[临界点]]。该模型在32×16的空间网格上离散化，有四个接近L1的ϱ值，标记为A、B、C和D。该模型的输出是温度场时间序列。
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图35. 理想化海洋模式中大西洋经向翻转环流（AMOC）的临界点。(a) 最大（8+）经向翻转流函数与最小（8↔）经向翻转流函数之和相对于异常淡水通量强度ϱ的分岔图。(b) 上稳定分支处的经向翻转流函数（8）模式。(c) 下稳定分支处的8模式。来源：转载自参考文献[69]的图。
图35. 理想化海洋模式中大西洋经向翻转环流（AMOC）的[[临界点]]。(a) 最大（8+）经向翻转流函数与最小（8↔）经向翻转流函数之和相对于异常淡水通量强度ϱ的分岔图。(b) 上稳定分支处的经向翻转流函数（8）模式。(c) 下稳定分支处的8模式。来源：转载自参考文献[69]的图。
接下来，基于皮尔逊相关方法（见第2.1节）构建无向无权CN，无时间滞后，阈值Cc = 0.7 [69]，即如果相关性Ci,j > Cc，则对应的两个节点i和j相连。开发了四个基于网络的指标Ed、Ec、Kd和Kc来研究AMOC的动态演化。这里Ed定义为归一化度分布d/dmax的期望值；Ec定义为归一化聚类系数c/cmax的期望值；Kd是度分布的峰度；Kc是聚类系数分布的峰度。这四个网络指标如图36所示。研究发现，当接近临界点L1时，Ed急剧且平稳地增加。这种增加的解释基于在域的大部分区域中，第一个EOF在解的方差中占主导地位的增强。指标Ec（图36g）也是如此。峰度分布Kd和Kc（图36h）更清晰地显示，在崩溃前接近临界点L1时，它们会大幅增加。请注意，CN是使用5000年的滑动窗口（偏移1000年）从完整的空间温度场构建的。结果对滑动窗口长度不敏感。为作比较，图36中还绘制了之前针对同一AMOC时间序列所提出的有关转变的早期预警指标，如滞后1阶自相关、DFA、均方差（见2.3节的讨论），这些指标在接近临界点时往往会出现快速上升/下降。特别是，滞后1阶自相关系数（图36c）在临界点附近达到最大值，表明AMOC出现临界减速。然而，研究发现该指标并非单调的，在AMOC距离转变还很远时也会上升。图36d所示的DFA分析并未显示出转变的早期预警。图36e描绘了AMOC记录的均方差。它显示出在接近转变时稳步上升，但很难设定一个警报阈值。在图36f中，展示了AMOC强度低于0.5百分位数（基于前5000年估算）的时间占比。这一指标显示出更为急剧的上升，但它是一种相当临时的度量方法，依赖于久远过去的校准[69]。
接下来，基于皮尔逊相关方法（见第2.1节）构建无向无权CN，无时间滞后，阈值Cc = 0.7 [69]，即如果相关性Ci,j > Cc，则对应的两个节点i和j相连。开发了四个基于网络的指标Ed、Ec、Kd和Kc来研究AMOC的动态演化。这里Ed定义为[[归一化]][[度分布]]d/dmax的期望值；Ec定义为[[归一化]][[聚类系数]]c/cmax的期望值；Kd是[[度分布]]的峰度；Kc是[[聚类系数]]分布的峰度。这四个网络指标如图36所示。研究发现，当接近[[临界点]]L1时，Ed急剧且平稳地增加。这种增加的解释基于在域的大部分区域中，第一个EOF在解的方差中占主导地位的增强。指标Ec（图36g）也是如此。峰[[度分布]]Kd和Kc（图36h）更清晰地显示，在崩溃前接近[[临界点]]L1时，它们会大幅增加。请注意，CN是使用5000年的滑动窗口（偏移1000年）从完整的空间温度场构建的。结果对滑动窗口长度不敏感。为作比较，图36中还绘制了之前针对同一AMOC时间序列所提出的有关转变的早期预警指标，如滞后1阶自相关、DFA、均方差（见2.3节的讨论），这些指标在接近[[临界点]]时往往会出现快速上升/下降。特别是，滞后1阶自相关系数（图36c）在[[临界点]]附近达到最大值，表明AMOC出现临界减速。然而，研究发现该指标并非单调的，在AMOC距离转变还很远时也会上升。图36d所示的DFA分析并未显示出转变的早期预警。图36e描绘了AMOC记录的均方差。它显示出在接近转变时稳步上升，但很难设定一个警报阈值。在图36f中，展示了AMOC强度低于0.5百分位数（基于前5000年估算）的时间占比。这一指标显示出更为急剧的上升，但它是一种相当临时的度量方法，依赖于久远过去的校准[69]。
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图36. 大西洋经向翻转环流（AMOC）的早期预警信号。（a）AMOC最大值的时间序列。（b）在35000年期间，ϱ相对于时间从0.05到0.17 myr↔1的瞬态变化。（c）时间序列投影到第一个EOF上的滞后1自相关。（d）使用线性（上）和二次（下）去趋势的DFA指数。（e）AMOC的标准差。（f）AMOC强度低于0.5百分位数的时间占比。（g）基于网络的指标Ed（圆圈）和Ec（方块）。（h）与（g）相同，但针对峰度（Kd（圆圈）和Kc（方块））。垂直虚线表示临界点处的ϱ值。
图36. 大西洋经向翻转环流（AMOC）的早期预警信号。（a）AMOC最大值的时间序列。（b）在35000年期间，ϱ相对于时间从0.05到0.17 myr↔1的瞬态变化。（c）时间序列投影到第一个EOF上的滞后1自相关。（d）使用线性（上）和二次（下）去趋势的DFA指数。（e）AMOC的标准差。（f）AMOC强度低于0.5百分位数的时间占比。（g）基于网络的指标Ed（圆圈）和Ec（方块）。（h）与（g）相同，但针对峰度（Kd（圆圈）和Kc（方块））。垂直虚线表示[[临界点]]处的ϱ值。
来源：参考文献[69]中的图。
来源：参考文献[69]中的图。
来源：图源自美国国家海洋和大气管理局（NOAA）https://www.ngdc.noaa.gov/mgg/global/。
来源：图源自美国国家海洋和大气管理局（NOAA）https://www.ngdc.noaa.gov/mgg/global/。
3.2. 地球几何地貌
3.2. 地球几何地貌
地球的地形或水深呈现出[[复杂]]的[[多重分形]]结构和标度特性[34][348][349][350]，这可以被视作板块构造过程的结果。揭示地球表面几何特征与其内部的地质过程之间的联系，长期以来一直是地球科学中的一项基本挑战。板块构造理论通常用于研究地球上的大部分主要地形特征[351]，据报道，海洋底部地形与地球气候之间存在着紧密的关联[352]。此外，地球的表面地形也在海洋动力学演化中起着显著作用，尤其是在全球气候变化和海平面上升的问题上面。海平面上升是全球气候变暖的主要后果之一[353]，且已观察到它与风暴潮及其他极端事件共同产生影响[354]。减少全球二氧化碳排放对于管控海平面上升的风险至关重要。据估计，即使在《巴黎协定》[355]的限制范围内，到2300年为止，海平面上升的中位数也将在0.7～1.2米之间。格陵兰岛和南极洲的大型冰盖被认为是导致海平面上升的最可能的因素。假设这些冰盖完全融化，海平面将分别从格陵兰冰盖、南极西部冰盖和南极东部冰盖上升约7米、5米和53米。因此，人们对解释/预测海平面上升的影响区域产生了极大的兴趣。
近期，ETPO1全球地貌模型(ETOPO1 Global Relief Model) 发布，为基于地貌特征更好地理解地球表面过程提供了新的机会[356]。 ETOPO是一个1弧分的地球表面全球地貌模型，它集成了由NOAA完成的陆地地形和海洋测深。它由全球和区域数据集构建，用于计算世界海洋体积并得出地球表面的螺旋曲线。（见图37）
近期，ETPO1全球地貌模型(ETOPO1 Global Relief Model) 发布，为基于地貌特征更好地理解地球表面过程提供了新的机会[356]。 ETOPO是一个1弧分的地球表面全球地貌模型，它集成了由NOAA完成的陆地地形和海洋测深。它由全球和区域数据集构建，用于计算世界海洋体积并得出地球表面的螺旋曲线。（见图37）
在本节中，我们将使用[[渗流理论]]来研究地球几何表面起伏的统计特性。还将讨论其[[分形结构]]和标度特性。特别是，将证明地球上当前的平均海平面与全球地形[[渗流]]描述中的临界阈值相吻合；有力的证据揭示了地球起伏[[网络演化]]过程中发生的突变，这表明存在大陆/集群聚合现象。这有助于我们识别那些更容易受到全球气候变化影响的关键节点或位置。
3.2.1. 自相似性和长关联性
3.2.1. [[自相似]]性和长关联性
[[自相似]]性和长关联是地球表面地形的显著特征[34]。大约从30年前开始，非线性动力学的新思想，尤其是[[分形]]和标度的理念，引发了固体地球物理学（包括地形学）建模和实验表征研究的爆炸式增长，综述见参考文件[357]。地球地形线形样带的功率谱 S 遵循标度关系 , 其中k表示波数[34]。这种白哦度关系用于测量地球表面地形的[[自相似]]性。此外，在地球的海底地形[358]、河[[流网络]][359]的拓扑以及天然岩石表面[360]中也发现了类似的标度关系。
地球表面地形的长程关联特征可以有以下方式描述。幂律谱中的指数 b(c )通过 b(c )=2H + 1与分数布朗运动 (fBm) 中的Hurst指数H相关，这导致地球地形的 。而对特定部分的进一步通用多重分形参数估计导致了更复杂的结构，即测深、大陆和大陆边缘分别为H = 0.46, 0.66, 0.77。[348]
地球表面地形的长程关联特征可以有以下方式描述。幂律谱中的指数 b(c )通过 b(c )=2H + 1与分数布朗运动 (fBm) 中的Hurst指数H相关，这导致地球地形的 。而对特定部分的进一步通用[[多重分形]]参数估计导致了更[[复杂]]的结构，即测深、大陆和大陆边缘分别为H = 0.46, 0.66, 0.77。[348]
地球表面地形的第三个特征是众所周知的双峰分布，这是板块构造过程的结果[361]。它表示大陆和海洋盆地的地形二分法。
地球表面地形的第三个特征是众所周知的双峰分布，这是板块构造过程的结果[361]。它表示大陆和海洋盆地的地形二分法。
3.2.2. 陆地和海洋集群
3.2.2. 陆地和海洋集群
尽管经典的构造理论提供了一个可以解释地球大部分主要表面地形特征的框架，但正如第 2.2 节所讨论的，为了从统计物理学的角度研究地球的几何特征，开发了一种基于渗流的描述描述[127][130]。该分析基于高分辨率的 ETOPO1 全球地貌记录。分辨率为 1 弧分，即N=110800×21600 个网格点。当前平均海平面（零高度）假设为高度地貌 h(ϕ(i),θ(i))的垂直基准面，其中 ϕ(i), θ(i )是网格点i的相应纬度和经度。
尽管经典的构造理论提供了一个可以解释地球大部分主要表面地形特征的框架，但正如第 2.2 节所讨论的，为了从[[统计物理]]学的角度研究地球的几何特征，开发了一种基于[[渗流]]的描述描述[127][130]。该分析基于高分辨率的 ETOPO1 全球地貌记录。分辨率为 1 弧分，即N=110800×21600 个网格点。当前平均海平面（零高度）假设为高度地貌 h(ϕ(i),θ(i))的垂直基准面，其中 ϕ(i), θ(i )是网格点i的相应纬度和经度。
在参考文献[127] 中，假设的水位被认为是渗透控制参数。当它从地球上的最高可用高度降低到最低可用高度时，在临界水平 h(c) 处发生几何渗透相变，陆地的大部分都围绕着它连接在一起。图38通过将海平面从 h=100m（上）降低到 h=−3520m（下）说明了陆地群聚集。为了确定渗流阈值，将任何节点成为最大岛屿一部分的概率定义为序参量;平均岛屿大小 χ（类似于系统的敏感性）定义为， ,其中 n(s)(h) 表示 h 级别 s 大小岛屿的平均数量，总和上的素数代表排除最大的岛屿;相关长度 ξ 定义为属于同一岛簇的节点的平均距离，,其中 R(s) 是给定 s 簇的回转半径。已经发现，岛屿的序参量在零高度水平 h=0 附近突然跳跃，即在当前的平均海平面上（图39a）。进一步发现，量 χ 和 ξ 在当前的平均海平面上变得不同，见图39b。从这些结果来看，最引人注目的观察结果是临界水平 h(c) 与地球上目前的平均海平面 h=0 相吻合。这可能表明水在地球上的重要作用，并为构造板块运动提供新的视角[127]。
在参考文献[127] 中，假设的水位被认为是渗透控制参数。当它从地球上的最高可用高度降低到最低可用高度时，在临界水平 h(c) 处发生几何渗透[[相变]]，陆地的大部分都围绕着它连接在一起。图38通过将海平面从 h=100m（上）降低到 h=−3520m（下）说明了陆地群聚集。为了确定[[渗流阈值]]，将任何节点成为最大岛屿一部分的概率定义为序参量;平均岛屿大小 χ（类似于[[系统]]的敏感性）定义为， ,其中 n(s)(h) 表示 h 级别 s 大小岛屿的平均数量，总和上的素数代表排除最大的岛屿;相关长度 ξ 定义为属于同一岛簇的节点的平均距离，,其中 R(s) 是给定 s 簇的回转半径。已经发现，岛屿的序参量在零高度水平 h=0 附近突然跳跃，即在当前的平均海平面上（图39a）。进一步发现，量 χ 和 ξ 在当前的平均海平面上变得不同，见图39b。从这些结果来看，最引人注目的观察结果是临界水平 h(c) 与地球上目前的平均海平面 h=0 相吻合。这可能表明水在地球上的重要作用，并为构造板块运动提供新的视角[127]。
对海洋集群也进行了相同的渗透分析，即假设的水位从最低到最高。图 39b 在 −3640 m 左右引起了海洋顺序参数的不连续跳跃。对月球的地形进一步研究揭示了月球的各种特征。研究发现，月球的临界水平在阈值处有相同数量的陆地和海洋，这表明存在纯粹的几何相变[127]。
对海洋集群也进行了相同的渗透分析，即假设的水位从最低到最高。图 39b 在 −3640 m 左右引起了海洋顺序参数的不连续跳跃。对月球的地形进一步研究揭示了月球的各种特征。研究发现，月球的临界水平在阈值处有相同数量的陆地和海洋，这表明存在纯粹的几何[[相变]][127]。
3.2.3. 不连续性的起源
3.2.3. 不连续性的起源
据报道，随机网络或晶格[[系统]]总是经历连续的[[渗流]][[相变]]，并显示出标准的标度特征[81]。然而，地球地形的渗透过渡顺序仍然是一个悬而未决的问题。为了回答这个问题，樊京芳等人开发了一种更[[复杂]]的基于[[渗流]]的方法[130]。[[渗流]]模型定义如下：从未占用的格子开始，根据其排名将站点逐个占用，即首先选择高度最大的站点，然后是第二个站点，依此类推。在每一步中，被占用地点的比例 p 增加与地球地势景观中地点总数 N 的倒数。通过此过程，在每个 p 处连续获得已占用站点的配置。在这里，ETOPO1 全球地貌模型中的所有网格点都根据其高度 h(ϕ(i),θ(i))从最大值到最小值进行排序。在下文中，由于地球的球形性质，[[渗流]]陆地（海洋）团簇 s的大小是根据方程 (129) 计算的。每个分数 p 的第 i个间隙 g(i) 的大小定义如下：
$$g_i(p) \equiv s(p) - s\left(p - \frac{1}{N}\right).
$$g_i(p) \equiv s(p) - s\left(p - \frac{1}{N}\right).
$$
$$
具体来说，这里的 g(1) 表示最大的间隙，g(2) 表示第二大间隙，依此类推。间隙 g(i) 越大，合并前的两个集群就越大。图40a显示了最大陆地团团 s 的动力学演变与占用节点 p 分数的函数关系。研究发现，地球的救援网络经历了几次突然的且具有统计学意义的相变，即在阶次参数 s 中表现出不连续性。图40b 显示了渗流阈值处的网络集群陆地结构（就在最大间隙 g(1) 之前）。结果显示，在这次跳跃之前，该网络由四个主要群落组成：最大的一个是非洲-欧亚大陆陆地，第二大集群是美洲，第三个位于南极洲，第四个是大洋洲。值得注意的是，在当前海平面下，存在一个关键节点 (64.458333°N,171.141667°W)它连接了渗流阈值 pc≈0.321 的最大和第二大团簇，海拔高度 h=−43 m。
具体来说，这里的 g(1) 表示最大的间隙，g(2) 表示第二大间隙，依此类推。间隙 g(i) 越大，合并前的两个集群就越大。图40a显示了最大陆地团团 s 的动力学演变与占用节点 p 分数的函数关系。研究发现，地球的救援网络经历了几次突然的且具有统计学意义的[[相变]]，即在阶次参数 s 中表现出不连续性。图40b 显示了[[渗流阈值]]处的网络集群陆地结构（就在最大间隙 g(1) 之前）。结果显示，在这次跳跃之前，该网络由四个主要群落组成：最大的一个是非洲-欧亚大陆陆地，第二大集群是美洲，第三个位于南极洲，第四个是大洋洲。值得注意的是，在当前海平面下，存在一个关键节点 (64.458333°N,171.141667°W)它连接了[[渗流阈值]] pc≈0.321 的最大和第二大团簇，海拔高度 h=−43 m。
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图38. 通过降低海平面实现陆地块簇聚合的示意图。如果节点对应的高度高于给定阈值h，则该节点被占据。不同颜色代表不同的簇。
图38. 通过降低海平面实现陆地块簇聚合的示意图。如果节点对应的高度高于给定阈值h，则该节点被占据。不同颜色代表不同的簇。
来源：参考文献[127]中的图。
来源：参考文献[127]中的图。
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图39. 地球地形的渗流分析。(a) 最大岛屿（圆圈）和最大海洋（三角形）的相对表面积随海平面的变化。陆地临界水平接近当前海平面h = 0，而海洋临界水平接近h = ↔3287米的水平，在该水平上岛屿和海洋的总表面积相等。(b) 关联长度ς和平均岛屿大小⇁随海平面的变化。虚线标记了当前平均海平面处的几何渗流相变。
图39. 地球地形的[[渗流]]分析。(a) 最大岛屿（圆圈）和最大海洋（三角形）的相对表面积随海平面的变化。陆地临界水平接近当前海平面h = 0，而海洋临界水平接近h = ↔3287米的水平，在该水平上岛屿和海洋的总表面积相等。(b) 关联长度ς和平均岛屿大小⇁随海平面的变化。虚线标记了当前平均海平面处的几何[[渗流]][[相变]]。
来源：转载自参考文献[127]的图。
来源：转载自参考文献[127]的图。
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图 40.地球地形的渗流分析。（a） 最大的陆地群相对大小 s 是真实（绿色）和洗牌（红色）地球地貌记录的总陆地量分数 p 的函数。g(1) 表示方程 (132) 中定义的五个最大间隙。g(5)（b） 渗透阈值处地球表面地形网络的陆地群快照，p=0.321。星号表示关键节点。
图 40.地球地形的[[渗流]]分析。（a） 最大的陆地群相对大小 s 是真实（绿色）和洗牌（红色）地球地貌记录的总陆地量分数 p 的函数。g(1) 表示方程 (132) 中定义的五个最大间隙。g(5)（b） 渗透阈值处地球表面地形网络的陆地群快照，p=0.321。星号表示关键节点。
同样的分析也适用于海洋团簇，即节点根据其高度等级按升序逐个占据。它还导致在[[渗流阈值]] p(c)≈0.379 处，高度水平 h=−3621 m 时，海洋顺序参数出现不连续跳跃。这与参考文献 [127] 中报告的结果 h=−3640 m 非常接近。请注意，临界节点 (59.908333°S, 161.308333°E) 连接大西洋+印度洋板块和太平洋板块。值得注意的是，最大的团簇在陆地结构上的作用与在海洋结构上的作用不同。这些差异揭示了地球地形（大陆）和测深（海洋）的[[复杂]]和不同结构。这种二分法表现在众所周知的地球地形双峰分布[361]。
为了证明地球地貌网络中[[渗流]][[相变]]的顺序，通过改变节点的分辨率进行了有限尺寸效应分析。对于给定的[[系统]]尺寸 L，计算最大间隙 g(1)(L)此处，L 定义为可用区方向上的节点数。根据方程(49)，如果 g(1) (L) → 0 当 L → ∞，则假设相应的巨团簇存在着连续[[渗流]]; 否则，假设相应的[[渗流]]是不连续的 [147][153]。此外，还研究了[[渗流阈值]] [就在最大间隙 g(1)] s(c)(L)序参量的大小 [见方程 (51)]。结果如图 41a 和 b 所示，它们表明存在不连续的[[渗流]]，因为 （1） g(1)(L) 往往是一个非零常数;（2） d(f)− d = 0，也表示不连续的[[渗流]]。为了进行比较，还考虑了从原始数据的洗牌（空间随机化高度剖面）中获得的随机地形（见图41a 和 b）。洗牌情况的数值结果表明，已知临界指数 β∕ν = 5∕48 ≈0.104 和 d(f) = 91∕48 [106][107] 的连续[[渗流]]跃迁，正如在长程关联被破坏时所预期的那样。
为了揭示不连续性的起源，樊京芳等人[130]进一步研究了Hurst指数H [362][363]在二维fBm表面上的渗流。参数 H 通常介于 0 和 1 之间，其中 0 表示噪点非常嘈杂，而 1 表示更平滑。地球的粗糙表面可以通过 fBm [364]进行建模，地球大陆地形的估计值为 H=0.66 [348]。接下来，对 H=0.66 的 fBm 表面进行渗流分析。与真实网络类似，最大的集群 s 也在 p≈0.3 附近表现出突然的转变。最大间隙 g(1)(H, L)的平均值）作为系统大小 L 的函数如图 41c 所示。研究发现，H=0.66 的 fBm 表面上的渗流是不连续的，因为当 L→∞时g(1)(H, L) 往往是一个非零常数。对应于位点渗流演变过程中最大间隙的渗流阈值 p(c)(H, L) 如图 41d 所示。这些值是稳健的，并且与实际数据非常吻合，其中 p(c)≈0.321 [见图38]。这表明渗流和 fBm 相结合的方法可以用作研究地球表面地形的有效工具
为了揭示不连续性的起源，樊京芳等人[130]进一步研究了Hurst指数H [362][363]在二维fBm表面上的[[渗流]]。参数 H 通常介于 0 和 1 之间，其中 0 表示噪点非常嘈杂，而 1 表示更平滑。地球的粗糙表面可以通过 fBm [364]进行建模，地球大陆地形的估计值为 H=0.66 [348]。接下来，对 H=0.66 的 fBm 表面进行[[渗流]]分析。与真实网络类似，最大的集群 s 也在 p≈0.3 附近表现出突然的转变。最大间隙 g(1)(H, L)的平均值）作为[[系统]]大小 L 的函数如图 41c 所示。研究发现，H=0.66 的 fBm 表面上的[[渗流]]是不连续的，因为当 L→∞时g(1)(H, L) 往往是一个非零常数。对应于位点[[渗流]]演变过程中最大间隙的[[渗流阈值]] p(c)(H, L) 如图 41d 所示。这些值是稳健的，并且与实际数据非常吻合，其中 p(c)≈0.321 [见图38]。这表明[[渗流]]和 fBm 相结合的方法可以用作研究地球表面地形的有效工具
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图 41.地球救援网络中渗流的有限尺寸分析。（a） 原始真实数据（红色）和随机数据（蓝色）的最大间隙 g(1) 与网络系统大小 L 的双对数图。（b） 对于实际数据（红色）和随机数据（蓝色），在渗流阈值处最大陆地群相对大小 s(c) 与 L 的双对数。（c） 最大跳跃 g(1)(H, L) 的平均值与系统大小 L 的函数关系;（d） 在 Hurst 指数 H=0.66 的 2D 分数布朗运动表面上渗透的相应渗流阈值 p(c)(H, L) 与 L 的函数关系。
图 41.地球救援网络中[[渗流]]的有限尺寸分析。（a） 原始真实数据（红色）和随机数据（蓝色）的最大间隙 g(1) 与网络[[系统]]大小 L 的双对数图。（b） 对于实际数据（红色）和随机数据（蓝色），在[[渗流阈值]]处最大陆地群相对大小 s(c) 与 L 的双对数。（c） 最大跳跃 g(1)(H, L) 的平均值与[[系统]]大小 L 的函数关系;（d） 在 Hurst 指数 H=0.66 的 2D 分数布朗运动表面上渗透的相应[[渗流阈值]] p(c)(H, L) 与 L 的函数关系。
3.3. 地震系统
3.3. 地震[[系统]]
地震是困扰社会的最具破坏性的自然灾害之一。因此，在不同时间尺度（几天到几十年）进行可靠和熟练的地震预报对于建立合理的地震风险降低[[策略]]以及增强准备和恢复至关重要。地震过程是一种[[复杂]]的时空现象，被认为是[[自组织]]临界[[系统]]的一个案例，其中事件以大小范围广泛的级联形式发生，每个事件都由破裂过程的精细细节决定。尽管在 20 世纪下半叶取得了快速发展，但地震的研究与许多其他[[复杂]][[自然系统]]的科学一样，仍处于探索和发现的初级阶段。科学挑战在于如何理解既深刻又实用的地震现象，特别是对特定事件[[规模]]、位置和时间的确定性预测。最近，基于地震发生的统计模式的概率预测成为一个更加现实的目标，并已在全球倡议中得到积极探索和尝试 [36]。
在本节中，我们将首先介绍地震发生的现象定律，并简要讨论[[标度不变性]]和事件间隔分布。然后，我们将回顾如何应用[[统计力学]]方法（记忆分析）来提高真实地震目录的预测能力。(PS.记忆分析常用于非平衡态[[系统]]的演化，因其具有记忆，往往具有非马尔可夫性，其行为依赖于过去的历史过程)
3.3.1. 标度不变性和事件间隔分布
3.3.1. [[标度不变性]]和事件间隔分布
首先，我们介绍一些表征地震发生的基本量。这些信息，如发生时间、震源位置、地震震级和深度，通常在不同地理区域的在线地震目录中报告，例如，美国地质勘探局 （USGS） 地震目录。我们在这里介绍这些量的统计分布的主要现象学定律。
首先，我们介绍一些表征地震发生的基本量。这些信息，如发生时间、震源位置、地震震级和深度，通常在不同地理区域的在线地震目录中报告，例如，美国地质勘探局 （USGS） 地震目录。我们在这里介绍这些量的统计分布的主要现象学定律。
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事件的震级对其触发的余震数量的影响是可以理解的，即主震震级越大，触发的余震总数就越多。这一特性被称为生产率定律，它表明属于某一序列的余震数量n_A[式(134)的积分]随主震震级mM呈指数增长，
事件的震级对其触发的余震数量的影响是可以理解的，即主震震级越大，触发的余震总数就越多。这一特性被称为生产率定律，它表明属于某一序列的余震数量n_A[式(134)的积分]随主震震级mM呈指数增长，
对于群体型活动，α(M)参数通常较小，而对于清晰的原发性余震序列，α(M)参数通常较大。
对于群体型活动，α(M)参数通常较小，而对于清晰的原发性余震序列，α(M)参数通常较大。
在过去的几十年里，地震事件间隔分布引起了人们的广泛关注和讨论，因为它被认为具有通用的标度形式[370]。Bak 等人首次提出了地震之间等待时间的统一标度律，表达了时间、空间和震级的分层组织。他们考虑了加利福尼亚的地震目录，并用大小为 L×L 的像元网格覆盖了该区域。然后，他们分析了每个单元的事件间隔，并计算了大小大于 m=log(S) 的时间间隔 P(S,L) 的直方图;对于不同的 L 值和最小震级，重复此作（见图43a）。研究发现，如果他们用重新缩放事件间隔 T（其中 b 是古腾堡-里查德 b 值，d(f) 是空间分形维度），并通过 T(α) 重新缩放 P(S,L)，其中 α 是一些指数，则等待时间的分布似乎都坍缩到一条曲线上（图43b）。因此，其标度假设表示为
在过去的几十年里，地震事件间隔分布引起了人们的广泛关注和讨论，因为它被认为具有通用的标度形式[370]。Bak 等人首次提出了地震之间等待时间的统一标度律，表达了时间、空间和震级的分层组织。他们考虑了加利福尼亚的地震目录，并用大小为 L×L 的像元网格覆盖了该区域。然后，他们分析了每个单元的事件间隔，并计算了大小大于 m=log(S) 的时间间隔 P(S,L) 的直方图;对于不同的 L 值和最小震级，重复此作（见图43a）。研究发现，如果他们用重新缩放事件间隔 T（其中 b 是古腾堡-里查德 b 值，d(f) 是空间[[分形]]维度），并通过 T(α) 重新缩放 P(S,L)，其中 α 是一些指数，则等待时间的分布似乎都坍缩到一条曲线上（图43b）。因此，其标度假设表示为
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图43. 地震的统一标度律。(a) 加利福尼亚曲库中，线性尺寸为L的区域内震级m大于log10 S的地震之间的间隔时间T的分布PS,L(T)。(b) 对于(a)中T > 38 s的数据，标度函数（见式(136)），以T 0PS,L(T)重新标度，作为变量x = cTS↔bLdf的函数，其中c = 10↔4。数据塌缩意味着地震存在统一规律。实心圆、正方形和三角形分别对应震级截断值Mc = 2、3和4。颜色编码表示单元格的线性尺寸L = 0.25∈（黑色）、0.5∈（红色）、1∈（绿色）、2∈（蓝色）和4∈（橙色）。
图43. 地震的统一标度律。(a) 加利福尼亚曲库中，线性尺寸为L的区域内震级m大于log10 S的地震之间的间隔时间T的分布PS,L(T)。(b) 对于(a)中T > 38 s的数据，标度函数（见式(136)），以T 0PS,L(T)重新标度，作为变量x = cTS↔bLdf的函数，其中c = 10↔4。数据塌缩意味着地震存在统一规律。实心圆、正方形和三角形分别对应震级截断值Mc = 2、3和4。颜色编码表示单元格的线性尺寸L = 0.25∈（黑色）、0.5∈（红色）、1∈（绿色）、2∈（蓝色）和4∈（橙色）。
来源：转载自参考文献[370]的图。
来源：转载自参考文献[370]的图。
然后，他们分析了每个单元的事件间隔时间，并计算了事件间隔时间PS,L（其震级大于m = log(S)）的直方图；针对不同的L值和最小震级重复进行此操作（见图43a）。研究发现，如果他们将事件间隔时间T按S↔bLdf（其中b是古登堡 - 里克特b值，df是空间分形维数）进行重新标度，并将PS,L按T 0（其中0是某个指数）进行重新标度，等待时间的分布似乎都收敛到一条单一曲线（图43b）。因此，标度假设可表示为
然后，他们分析了每个单元的事件间隔时间，并计算了事件间隔时间PS,L（其震级大于m = log(S)）的直方图；针对不同的L值和最小震级重复进行此操作（见图43a）。研究发现，如果他们将事件间隔时间T按S↔bLdf（其中b是古登堡 - 里克特b值，df是空间[[分形维数]]）进行重新标度，并将PS,L按T 0（其中0是某个指数）进行重新标度，等待时间的分布似乎都收敛到一条单一曲线（图43b）。因此，标度假设可表示为
$$T^\alpha P_{S,L}(T) = f\left( TS^{-b} L^{d_f} \right)$$
$$T^\alpha P_{S,L}(T) = f\left( TS^{-b} L^{d_f} \right)$$
其中0⇔1可被确定为余震的大森定律指数，b⇔1是古登堡 - 里克特定律中的b值，df⇔1.2描述了投影到地球表面的震中位置的二维分形维数[370]。
其中0⇔1可被确定为余震的大森定律指数，b⇔1是古登堡 - 里克特定律中的b值，df⇔1.2描述了投影到地球表面的震中位置的二维[[分形维数]][370]。
随后，科拉尔[371]发现，事件间隔时间ϑ的概率密度函数Dxy(ϑ)可以简化为标度形式
随后，科拉尔[371]发现，事件间隔时间ϑ的概率密度函数Dxy(ϑ)可以简化为标度形式
$$D_{xy}(\tau) = R_{xy} f(R_{xy} \tau)$$
$$D_{xy}(\tau) = R_{xy} f(R_{xy} \tau)$$
其中Rxy代表指(x, y)区域的平均地震发生率。标度函数f可以用广义伽马分布来表示，
其中Rxy代表指(x, y)区域的平均地震发生率。标度函数f可以用广义伽马分布来表示，
$$f(\theta) = C \frac{1}{\theta^{1 - \gamma}} \exp\left(-\theta^\delta / B\right)$$
$$f(\theta) = C \frac{1}{\theta^{1 - \gamma}} \exp\left(-\theta^\delta / B\right)$$
参数 ↽ = 0.67 ± 0.05、( = 0.98 ± 0.05、B = 1.58 ± 0.15 和 C = 0.50 ± 0.10。科拉尔通过考虑来自国家地震信息中心（NEIC）13的全球曲库和几个本地曲库的数据验证了上述标度假设：南加州地震中心（SCEC）14、日本大学网络地震曲库（JUNEC）15、IGN公报（伊比利亚半岛和北非）16以及英国地质调查局曲库（不列颠群岛和北海）17。不同地理区域和不同震级下限值的事件间隔时间分布可以合并为一个通用标度函数，如图44所示。
参数 ↽ = 0.67 ± 0.05、( = 0.98 ± 0.05、B = 1.58 ± 0.15 和 C = 0.50 ± 0.10。科拉尔通过考虑来自国家地震信息中心（N[[EI]]C）13的全球曲库和几个本地曲库的数据验证了上述标度假设：南加州地震中心（SCEC）14、日本大学网络地震曲库（JUNEC）15、IGN公报（伊比利亚半岛和北非）16以及英国地质调查局曲库（不列颠群岛和北海）17。不同地理区域和不同震级下限值的事件间隔时间分布可以合并为一个通用标度函数，如图44所示。
Bak 和 Corral 是通用标度律思想的两个主要支持者。标度关系 Eq. (138) 的有效性引起了人们的极大兴趣。例如，Saichev 和 Sornette [372] 根据传播型余震序列 （ETAS） 模型进行了广泛的分析，以确定事件间隔分布（详见下一节），他们发现它只是近似普适的，并且是伽马形式的，假设方程 (134) 中的 p的值接近 1，地震活动的分支率（每个事件触发的平均事件数）约为 0.7-1。然后 Molchan [373] 发表了一项关于地震事件间时间的严格数学研究，并证明如果标度分布函数是普适的，则函数形式必须服从指数函数。Touati et al. 分析了真实数据（SCEC 目录）和 ETAS 模拟数据的分布变化，并认为它不是通用的 [374]。他们已经表明，该分布是一种双峰混合分布，在较短的等待时间内由相关余震主导，在较长的时间内由独立事件主导。
Bak 和 Corral 是通用标度律思想的两个主要支持者。标度关系 Eq. (138) 的有效性引起了人们的极大兴趣。例如，Saichev 和 Sornette [372] 根据传播型余震序列 （ETAS） 模型进行了广泛的分析，以确定事件间隔分布（详见下一节），他们发现它只是[[近似]]普适的，并且是伽马形式的，假设方程 (134) 中的 p的值接近 1，地震活动的分支率（每个事件触发的平均事件数）约为 0.7-1。然后 Molchan [373] 发表了一项关于地震事件间时间的严格数学研究，并证明如果标[[度分布]]函数是普适的，则函数形式必须服从指数函数。Touati et al. 分析了真实数据（SCEC 目录）和 ETAS 模拟数据的分布变化，并认为它不是通用的 [374]。他们已经表明，该分布是一种双峰混合分布，在较短的等待时间内由相关余震主导，在较长的时间内由独立事件主导。
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图44. 有无重新缩放的复发时间分布。(a) 来自NEIC全球曲库的概率密度。(b) 重新缩放后的先前数据，拟合了缩放函数f，见式(138)。
图44. 有无重新缩放的复发时间分布。(a) 来自N[[EI]]C全球曲库的概率密度。(b) 重新缩放后的先前数据，拟合了缩放函数f，见式(138)。
来源：转载自参考文献[371]中的图。
来源：转载自参考文献[371]中的图。
3.3.2. 通过点过程方法对地震事件序列进行建模
3.3.2. 通过点过程方法对地震事件序列进行建模
f(x,y|m) 是触发事件的空间分布，可以用以下两种方式表示：短程高斯衰减，或是长程逆幂律衰减，
f(x,y|m) 是触发事件的空间分布，可以用以下两种方式表示：短程高斯衰减，或是长程逆幂律衰减，
$$f(x, y \mid m) = \frac{1}{2\pi D^2 e^{\alpha_M (m - M_z)}} \exp\left[ -\frac{x^2 + y^2}{2D^2 e^{\alpha_M (m - M_z)}} \right]$$
$$f(x, y \mid m) = \frac{1}{2\pi D^2 e^{\alpha_M (m - M_z)}} \exp\left[ -\frac{x^2 + y^2}{2D^2 e^{\alpha_M (m - M_z)}} \right]$$
ETAS模型已成功用于业务地震预报，例如[[复杂]]的阿马特里切-诺尔恰地震序列[384]、日本地区[385]和加利福尼亚地区的次日地震预报[386]。关于用点过程方法模拟地震时间序列的更多一般性讨论，请参见参考文献 [387]。
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图45. 加利福尼亚曲库中地震发生间隔时间的去趋势波动分析。(a) 针对所有震级M′≥2的地震，(b) M′≥3的地震。黑色圆圈表示SCEC曲库（1995 - 1998年），红色方块表示NCSN曲库（1995 - 1998年），蓝色三角形表示一个人工的古登堡 - 里克特分布相关数据集，其中γ0 = 0.8。空心符号表示DFA0结果，实心符号表示DFA1结果。相应的斜率由直线表示，γ0⇔0.75。
图45. 加利福尼亚曲库中地震发生间隔时间的去趋势波动分析。(a) 针对所有震级M′≥2的地震，(b) M′≥3的地震。黑色圆圈表示SCEC曲库（1995 - 1998年），红色方块表示NCSN曲库（1995 - 1998年），蓝色三角形表示一个人工的古登堡 - 里克特分布相关数据集，其中γ0 = 0.8。空心符号表示DFA0结果，实心符号表示DFA1结果。相应的斜率由直线表示，γ0⇔0.75。
其中 λ 是 Eqs (139)或(141)中定义的局部条件率。表示第 k个单元格的中心。预测概率 P(Σ) 是发生率 在 Σ的积分，取决于超单元格 Σ 的体积，即 Σ 越小，λ 的评估越准确。其次，Σ 的时间延伸 T 也影响着预测精度。根据 T 的时间尺度，可以任意区分长期和短期预报[391]： 地震长期预报T几十年到几个世纪的间隔内; 中期预测，对于月级的 T，以及短期预测, 几秒钟到几周的间隔内的 T。短期预报通常细分为地震后预报和地震前预报，指的是主震的余震和前震。值得注意的是，从风险管理的角度来看，地震后预报仍然非常重要，因为余震的大小可能与其触发的主震相当，甚至更大。然而，从工程的角度来看，长期预测可能是最相关的，例如城市规划风险评估。根据早期预警前震观测，可以成功预测一些大地震，例如 1975 年中国海城地震[392] 和 1995 年希腊科扎尼-格雷韦纳地震[393]。然而，大多数地震并不表现出明显的前兆模式，例如，2004 年帕克菲尔德（加利福尼亚州）地震[394]。因此，对前震或前兆模式的评估仍然是一个悬而未决的问题。由于大多数地震模型都是基于公认的经验定律，即余震时空发生聚类，因此作为ETAS模型，它们在某种程度上只能为长期和震后短期预报提供可靠的风险评估，而不能为前震提供可靠的风险评估。尽管如此，如何验证预测模型仍然非常重要。在下文中，我们将回顾评估地震预测和地震预报的各种方法。
其中 λ 是 Eqs (139)或(141)中定义的局部条件率。表示第 k个单元格的中心。预测概率 P(Σ) 是发生率 在 Σ的积分，取决于超单元格 Σ 的体积，即 Σ 越小，λ 的评估越准确。其次，Σ 的时间延伸 T 也影响着预测精度。根据 T 的时间尺度，可以任意区分长期和短期预报[391]： 地震长期预报T几十年到几个世纪的间隔内; 中期预测，对于月级的 T，以及短期预测, 几秒钟到几周的间隔内的 T。短期预报通常细分为地震后预报和地震前预报，指的是主震的余震和前震。值得注意的是，从风险管理的角度来看，地震后预报仍然非常重要，因为余震的大小可能与其触发的主震相当，甚至更大。然而，从工程的角度来看，长期预测可能是最相关的，例如城市规划风险评估。根据早期预警前震观测，可以成功预测一些大地震，例如 1975 年中国海城地震[392] 和 1995 年希腊科扎尼-格雷韦纳地震[393]。然而，大多数地震并不表现出明显的前兆模式，例如，2004 年帕克菲尔德（加利福尼亚州）地震[394]。因此，对前震或前兆模式的评估仍然是一个悬而未决的问题。由于大多数地震模型都是基于公认的经验定律，即余震时空发生聚类，因此作为ETAS模型，它们在某种程度上只能为长期和震后短期预报提供可靠的风险评估，而不能为前震提供可靠的风险评估。尽管如此，如何验证预测模型仍然非常重要。在下文中，我们将回顾评估地震预测和地震预报的各种方法。
接收者操作特征曲线(ROC曲线)
接收者操作特征曲线(ROC曲线)
接收者操作特征曲线 （ROC） 图是一个图形图，说明了二元分类器系统在其鉴别阈值变化时的预测质量。为了评估地震预测，如果预期会发生地震（“YES”），概率为 P(Σ)>P(t)，其中 P(t) 是阈值，如果事件已发生，则我们称其为命中;如果单元中没有预期到地震（“NO”），如果发生了事件，我们称其为 miss。每个没有观察到相应地震的 “YES” 预测都是误报，而每个没有发生地震的 “NO” 预测都是正确的拒绝。在此表示形式中，警报声明和事件观察有四种可能的组合，请参阅表1了解每种意外事件的数量。在这里，我们将 a 定义为命中数，b 定义为误报数，c 定义为未命中数，d 定义为正确拒绝数。我们将真阳性率 （TPR） 定义为
接收者操作特征曲线 （ROC） 图是一个图形图，说明了二元分类器[[系统]]在其鉴别阈值变化时的预测质量。为了评估地震预测，如果预期会发生地震（“YES”），概率为 P(Σ)>P(t)，其中 P(t) 是阈值，如果事件已发生，则我们称其为命中;如果单元中没有预期到地震（“NO”），如果发生了事件，我们称其为 miss。每个没有观察到相应地震的 “YES” 预测都是误报，而每个没有发生地震的 “NO” 预测都是正确的拒绝。在此表示形式中，警报声明和事件观察有四种可能的组合，请参阅表1了解每种意外事件的数量。在这里，我们将 a 定义为命中数，b 定义为误报数，c 定义为未命中数，d 定义为正确拒绝数。我们将真阳性率 （TPR） 定义为
$$TPR = \frac{a}{a + c},$$
$$TPR = \frac{a}{a + c},$$
和假阳性率 （FPR） 为
和假阳性率 （FPR） 为
$$FPR = \frac{b}{b + d}.$$
$$FPR = \frac{b}{b + d}.$$
当 TPR 和 FPR 一起绘制在正方形 [0,1] × [0,1] 上时，得到的度量称为 ROC，而完美预测对应于坐标为 TPR = 1 和 FPR = 0 的点，对角线表示随机猜测的长期行为。可以通过连续改变 P(t) 来获得完整的 ROC 曲线。这里我们以图49中的深度学习方法为例，展示了一条余震预测 ROC 曲线。
当 TPR 和 FPR 一起绘制在正方形 [0,1] × [0,1] 上时，得到的度量称为 ROC，而完美预测对应于坐标为 TPR = 1 和 FPR = 0 的点，对角线表示随机猜测的长期行为。可以通过连续改变 P(t) 来获得完整的 ROC 曲线。这里我们以图49中的[[深度学习]]方法为例，展示了一条余震预测 ROC 曲线。
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图 48.来自意大利目录的事件间时间和距离的滞后 CP 内存分析。内存测量 （a） S(τ(k)|τ(0))和 （b） S(r(k)|r(0)) 作为滞后指数 k 的函数。重新调整了事件间隔和 （d） 距离的记忆测量 （c）。不同颜色表示不同的网格大小 L。符号的形状表示不同的幅度阈值 M(z)。
图 48.来自意大利目录的事件间时间和距离的滞后 CP 内存分析。内存测量 （a） S(τ(k)|τ(0))和 （b） S(r(k)|r(0)) 作为滞后指数 k 的函数。重新调整了事件间隔和 （d） 距离的记忆测量 （c）。不同颜色表示不同的网格大小 L。符号的形状表示不同的幅度阈值 M(z)。
莫尔昌图
莫尔昌图
与ROC密切相关的是莫尔昌图（Molchan diagram），它是一种误差图，可用于比较测试模型和另一个通用参考模型的预测结果[396]。它是误报率（M = 1↔ TPR）与警报或“是”预测所占据的实验时空体积分数F的关系图。莫尔昌图中的最佳预测是点（F = 0，M = 0）。特别地，在已观测到n次目标地震的情况下，偶然获得h次或更多次命中的概率由二项分布描述。
与ROC密切相关的是莫尔昌图（Molchan diagram），它是一种误差图，可用于比较测试模型和另一个通用参考模型的预测结果[396]。它是误报率（M = 1↔ TPR）与警报或“是”预测所占据的实验时空体积分数F的关系图。莫尔昌图中的最佳预测是点（F = 0，M = 0）。特别地，在已观测到n次目标地震的情况下，偶然获得h次或更多次命中的概率由[[二项分布]]描述。
$$\Gamma_M = \sum_{i=n}^{n} \left[ \binom{N}{i} F^i (1 - F)^{n - i} \right]$$
$$\Gamma_M = \sum_{i=n}^{n} \left[ \binom{N}{i} F^i (1 - F)^{n - i} \right]$$
其中$$\binom{N}{i} $$表示二项式系数。通过固定\(M\)并连续改变\(F\)，可以在莫尔昌图中得到一条置信度曲线。因此，非常小的\(M\)值表明警报集具有较高的技能。
其中$$\binom{N}{i} $$表示二项式系数。通过固定\(M\)并连续改变\(F\)，可以在莫尔昌图中得到一条置信度曲线。因此，非常小的\(M\)值表明警报集具有较高的技能。
数字检验(N检验)
数字检验(N检验)
N检验用于了解预测的地震总数N(forcast)与观测到N(obs)的事件数的匹配程度[397]。假设目标地震服从广义泊松分布，负二项式分布 （NBD） 的质量函数可以表示为[384]
N检验用于了解预测的地震总数N(forcast)与观测到N(obs)的事件数的[[匹配]]程度[397]。假设目标地震服从广义[[泊松分布]]，负二项式分布 （NBD） 的质量函数可以表示为[384]
$$f(n; r, p) = \frac{\Gamma(r + n)}{n! \Gamma(r)} p^n (1 - p)^r,$$
$$f(n; r, p) = \frac{\Gamma(r + n)}{n! \Gamma(r)} p^n (1 - p)^r,$$
其中 Γ(r) 是 Gamma 函数，n 是目标地震的次数，r,p 是分布的两个参数。那么 NBD 可以推导出为
其中 Γ(r) 是 Gamma 函数，n 是目标地震的次数，r,p 是分布的两个参数。那么 NBD 可以推导出为
$$f(n; r, p) = \int_{0}^{\infty} f_1(n; \lambda) f_2 \left( \lambda; r, \frac{1 - p}{p} \right) d\lambda,$$
$$f(n; r, p) = \int_{0}^{\infty} f_1(n; \lambda) f_2 \left( \lambda; r, \frac{1 - p}{p} \right) d\lambda,$$
其中 f(1)(n;λ) 是泊松分布，假设 λ 服从 Gamma 分布
其中 f(1)(n;λ) 是[[泊松分布]]，假设 λ 服从 Gamma 分布
$$f_2(\lambda; k, \theta) = \frac{\lambda^{k - 1} e^{-\frac{\lambda}{\theta}}}{\theta^k \Gamma(k)},$$
$$f_2(\lambda; k, \theta) = \frac{\lambda^{k - 1} e^{-\frac{\lambda}{\theta}}}{\theta^k \Gamma(k)},$$
其中 k,θ 是 r=k 且 p=θ/(1+θ) 的 Gamma 分布参数。接下来，我们计算 gamma 分布的参数 k 和 θ。为了解释 N 检验结果，可以使用有效显著性值 α(eff) 的单侧检验，该值为 α=0.05 的预期显著性值的一半。图50c 显示了 N 检验的一个示例。
其中 k,θ 是 r=k 且 p=θ/(1+θ) 的 Gamma 分布参数。接下来，我们计算 gamma 分布的参数 k 和 θ。为了解释 N 检验结果，可以使用有效显著性值 α(eff) 的单侧检验，该值为 α=0.05 的预期显著性值的一半。图50c 显示了 N 检验的一个示例。
来源：转载自参考文献[395]的图。
来源：转载自参考文献[395]的图。
除了上述方法外，还有各种其他方法来评估预测模型的准确性，例如似然检验（L 检验）、似然比检验（R 检验）和幅度检验（M 检验）。关于地震预测和地震预报评估的指导性综述可以在参考文献[399]中找到。
除了上述方法外，还有各种其他方法来评估预测模型的准确性，例如似然检验（L 检验）、似然比检验（R 检验）和幅度检验（M 检验）。关于地震预测和地震预报评估的指导性综述可以在参考文献[399]中找到。
如上一节所述，我们研究了真实星表和 ETAS 模型中地震中记忆的可能来源。在这里，我们将证明记忆分析可以显著提高真实地震目录的短期预测率。在估计给定地震目录的ETAS模型参数时，ETAS参数通常基于点过程最大似然（ML）方法、Davidon-Fletcher-Powell算法[380]或模拟退火[400]与数据进行反演。例如，通过使用ML方法，可以得到μ=0.2、A=6.26、α(M)=1.4、p=1.13和c=0.007，参见方程(139), 意大利目录[400]。然而，当考虑内存时，ETAS模型可以再现与真实星表中相同的内存，但仅限于小范围的参数值，即μ=0.2、A=6.26、α(M)=1.5、p=1.1和c=0.007 [212]。作为一个测试案例，在2017年1月18日发生的Capitignano 5.7主震[401] 之后，使用ETAS模型预测了事件NC的累积数量。时间 t 的累积数是通过从 0 到 t 对方程 (139) 进行积分来计算的。这样，通过考虑记忆，可以将主震后 14 天内的预测精度提高 20% 以上。此外，Zhang等人最近提出了一种改进的广义ETAS模型，该模型准确地再现了短期和长期/距离记忆[402]。新的 ETAS 模型还被发现可以显著改善意大利和南加利福尼亚地震目录的地震预报。
如上一节所述，我们研究了真实星表和 ETAS 模型中地震中记忆的可能来源。在这里，我们将证明记忆分析可以显著提高真实地震目录的短期预测率。在估计给定地震目录的ETAS模型参数时，ETAS参数通常基于点过程最大似然（ML）方法、Davidon-Fletcher-Powell算法[380]或[[模拟退火]][400]与数据进行反演。例如，通过使用ML方法，可以得到μ=0.2、A=6.26、α(M)=1.4、p=1.13和c=0.007，参见方程(139), 意大利目录[400]。然而，当考虑内存时，ETAS模型可以再现与真实星表中相同的内存，但仅限于小范围的参数值，即μ=0.2、A=6.26、α(M)=1.5、p=1.1和c=0.007 [212]。作为一个测试案例，在2017年1月18日发生的Capitignano 5.7主震[401] 之后，使用ETAS模型预测了事件NC的累积数量。时间 t 的累积数是通过从 0 到 t 对方程 (139) 进行积分来计算的。这样，通过考虑记忆，可以将主震后 14 天内的预测精度提高 20% 以上。此外，Zhang等人最近提出了一种改进的广义ETAS模型，该模型准确地再现了短期和长期/距离记忆[402]。新的 ETAS 模型还被发现可以显著改善意大利和南加利福尼亚地震目录的地震预报。
表1 二元事件列联表
表1 二元事件列联表
4.结论和观点
4.结论和观点
在本文中，我们回顾了[[统计物理]]学和基于[[复杂网络]]的技术，这些技术促进了我们对[[复杂]]地球[[系统]]（地球物理学中一个相对较新的分支）的了解。这些技术有助于解决对气候变异性、地球几何地貌特征和地震的理解和预测问题。在本节中，我们试图得出一些结论性评论，并讨论对未来研究仍持开放态度的观点。我们相信这些新颖的方法将引起相关领域科学家的注意。
在第 2 节中，我们首先描述了基于统计物理学的总体方法，用于分析复杂地球子系统的重要方面。它包括复杂网络、渗流理论、引爆点分析、熵理论和复杂性。尽管已经证明上述方法可以单独或组合地成功地应用于地球系统，但要开发一个适当和全面的框架，还有很多工作要做。在需要解决的不同开放问题中，我们强调了以下四个：（i） 需要对潜在的物理机制收集更好的知识和理解;（ii）需要将 CN 的概念扩展到更全面的描述，例如多层气候网络 [403]。这是因为气候是一个耦合的多层系统;（iii） 需要发展气候系统中临界现象（渗流）的通用理论，特别是对于非平衡系统;（iv）需要提出一个关于如何通过多个时空变量的时间序列来预测地球系统的临界点和熵的原则。
在第 2 节中，我们首先描述了基于[[统计物理]]学的总体方法，用于分析[[复杂]]地球子[[系统]]的重要方面。它包括[[复杂网络]]、[[渗流理论]]、引爆点分析、熵理论和[[复杂性]]。尽管已经证明上述方法可以单独或组合地成功地应用于地球[[系统]]，但要开发一个适当和全面的框架，还有很多工作要做。在需要解决的不同开放问题中，我们强调了以下四个：（i） 需要对潜在的物理机制收集更好的知识和理解;（ii）需要将 CN 的概念扩展到更全面的描述，例如多层气候网络 [403]。这是因为气候是一个耦合的多层[[系统]];（iii） 需要发展[[气候系统]]中临界现象（[[渗流]]）的通用理论，特别是对于[[非平衡系统]];（iv）需要提出一个关于如何通过多个时空变量的时间序列来预测地球[[系统]]的[[临界点]]和熵的原则。
在第 3 节中，我们继续回顾了统计物理学方法在不同地球子系统中的应用。具体来说，第 3.1 节强调了五种天气和气候动力学情景，包括厄尔尼诺-南方涛动、印度夏季季风、极端降雨、大气环流和大西洋经向翻转环流。我们建议不断发展的 CNs （和其他组合方法） 相互作用和模式可以作为新的预测因子，从而显着提高预测。除了上述情景外，CNs方法还被广泛应用于其他高影响现象，如大西洋年代际震荡的西向传播[99]、遥相关路径的检测[62]、因果门户和中介的识别[404]、极端平流层极地涡旋状态的早期预测[405]、二氧化碳（CO2）对全球SAT的影响[406]等。尽管取得了巨大成就，但仍有许多与气候系统相关的未开发问题值得进一步关注。因此，需要进一步研究的主题，例如，（i） 人类活动如何改变并继续改变地球的海洋和大气成分，其中一些变化对地球的能量平衡有直接或间接的影响，因此是气候变化的驱动因素;（ii） 地球系统模型中的统计力学和 CNs 行为，范围从简单的能量平衡模型到一般环流模型;（iii） 古气候中预估的短期和长期突变相变，特别是海冰和雪球-地球起源的作用[407]、[408]、[409];（iv） 通过使用 CNs 方法提高包括雷暴、冰雹和龙卷风在内的强对流天气过程的可预测性。
在第 3 节中，我们继续回顾了[[统计物理]]学方法在不同地球子[[系统]]中的应用。具体来说，第 3.1 节强调了五种天气和[[气候动力学]]情景，包括厄尔尼诺-南方涛动、印度夏季季风、极端降雨、大气环流和大西洋经向翻转环流。我们建议不断发展的 CNs （和其他组合方法） 相互作用和模式可以作为新的预测因子，从而显着提高预测。除了上述情景外，CNs方法还被广泛应用于其他高影响现象，如大西洋年代际震荡的西向传播[99]、[[遥相关]][[路径]]的检测[62]、因果门户和中介的识别[404]、极端平流层极地涡旋状态的早期预测[405]、二氧化碳（CO2）对全球SAT的影响[406]等。尽管取得了巨大成就，但仍有许多与[[气候系统]]相关的未开发问题值得进一步关注。因此，需要进一步研究的主题，例如，（i） 人类活动如何改变并继续改变地球的海洋和大气成分，其中一些变化对地球的能量平衡有直接或间接的影响，因此是气候变化的驱动因素;（ii） 地球[[系统]]模型中的[[统计力学]]和 CNs 行为，范围从简单的能量平衡模型到一般环流模型;（iii） 古气候中预估的短期和长期突变[[相变]]，特别是海冰和雪球-地球起源的作用[407]、[408]、[409];（iv） 通过使用 CNs 方法提高包括雷暴、冰雹和龙卷风在内的强对流天气过程的可预测性。
在第 3.2 节中，我们回顾了当前关于地球表面地形的统计特征和渗透框架的文献。我们已经指出了地球救援网络演化过程中发生的突然转变的证据，这表明了大陆/团簇的聚集。通过分数布朗运动模型的进一步分析表明，长程相关性可能在地球上观察到的不连续性中发挥关键作用。这项研究可能有助于理解地球上的几何相变，但也可用于确定地球救援网络中未来全球变化的关键节点。特别是，（i） 构造板块的未来运动，以及 （ii） 这些关键节点的动态演变至关重要，因此需要进一步解决。
在第 3.2 节中，我们回顾了当前关于地球表面地形的统计特征和渗透框架的文献。我们已经指出了地球救援[[网络演化]]过程中发生的突然转变的证据，这表明了大陆/团簇的聚集。通过分数布朗运动模型的进一步分析表明，长程相关性可能在地球上观察到的不连续性中发挥关键作用。这项研究可能有助于理解地球上的几何[[相变]]，但也可用于确定地球救援网络中未来全球变化的关键节点。特别是，（i） 构造板块的未来运动，以及 （ii） 这些关键节点的动态演变至关重要，因此需要进一步解决。
在第 3.3节中，我们首先描述了公认的地震经验基本定律，包括 Gutenberg-Richter、Omori 和生产力定律。然后，我们讨论了事件间分布的缩放假设。还综述了流行病型余震序列模型 （ETAS） 和评估地震预测和地震预报的各种方法。最后，我们证明了两种提出的内存分析方法，DFA 和 CP，可以显著提高真实地震目录的短期预报率。尽管如此，地震预测研究一直饱受争议的困扰，它仍然是一个突出的挑战。除了改进短期余震预测外，我们还强调新方向的潜力。（i） 引爆点和记忆分析在理论地震模型中的广泛应用，这些模型解释了加速的时刻释放和前震的发生以及其他前兆模式，其中主震被视为地震周期内的特征地震 [410]。（ii） 开发地震预报模型，用于描述前震组织和记忆行为。（iii） 在网络理论成功应用于气候现象预测的推动下，提出了基于发生时间序列的地震网络框架 [411]，特别是地震波（弹性体和剪切波）和直接地震波之前的弹性重力信号[412]。
在第 3.3节中，我们首先描述了公认的地震经验基本定律，包括 Gutenberg-Richter、Omori 和生产力定律。然后，我们讨论了事件间分布的缩放假设。还综述了流行病型余震序列模型 （ETAS） 和评估地震预测和地震预报的各种方法。最后，我们证明了两种提出的内存分析方法，DFA 和 CP，可以显著提高真实地震目录的短期预报率。尽管如此，地震预测研究一直饱受争议的困扰，它仍然是一个突出的挑战。除了改进短期余震预测外，我们还强调新方向的潜力。（i） 引爆点和记忆分析在理论地震模型中的广泛应用，这些模型解释了加速的时刻释放和前震的发生以及其他前兆模式，其中主震被视为地震周期内的特征地震 [410]。（ii） 开发地震预报模型，用于描述前震组织和记忆行为。（iii） 在网络理论成功应用于气候现象预测的推动下，提出了基于发生时间序列的地震网络框架 [411]，特别是地震波（弹性体和剪切波）和直接地震波之前的弹性重力信号[412]。
本文回顾的基于[[统计物理]]学的方法的主要特征之一是能够更好、更可靠地预测[[复杂]]的地球现象，例如厄尔尼诺事件、安第斯山脉中东部的极端降雨、印度夏季季风、大西洋年代际振荡崩溃和地震的发生。此外，我们观察到[[人工智能]]和[[深度学习]]技术[413]近年来在许多领域都取得了巨大成功，例如[[统计物理]]学中的[[相变]][414]、[415]、[416]、数据驱动的地球[[系统科学]][417]、ENSO预报[294]、[295]、印度季风降雨[418]，以及余震模式预报[395]和地震探测[419]在地震[[系统]]中。事实上，我们有信心，基于网络和基于[[人工智能]]的技能的结合和互补将相互促进。例如，将[[机器学习]]应用于网络属性向量（产品相似性）可以预测成功和失败的公司，其准确性比当前最先进的市场预测技术要高得多[420]。此外，[[深度学习]][[系统]]可以被视为[[复杂]]的网络，因此可以深入了解学习过程中产生的计算图的结构和功能特性[421]。
最后，考虑到使用[[复杂网络]]理论分析社会、生态[[系统]]和经济的气候适应力，仍有许多方法的空间。我们目前缺乏合适的模型来更好地理解或预测极端气候/天气事件对相互依赖的关键基础设施日益增长的不利影响所引发的[[级联失效]][30]的影响。缩小这一知识差距对于开发实现气候和基础设施韧性的方法至关重要。另一个肯定会引起广泛关注的非常相关的研究主题是对[[复杂]]气候-健康关系的评估和量化。人们普遍认为，气候条件，包括温度和降水的时空分布，对人类健康有关键影响[422]。此外，某些疾病的发病率和爆发，如媒介传播（疟疾和登革热）疾病、持续的 COVID-19 大流行 [423] 和流感，都受到气候变化或环境的强烈影响 [424-428]。然而，在传统的流行病学模型[113] 中，如SIR、SIR和S[[EI]]R模型，气候影响往往被排除在考虑之外。我们需要强调的是，考虑到气候因素的传统流行病学模型可能是一条非常有前途的道路，可以更深入地了解流行病过程并评估气候变化对区域和全球的健康影响。