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其中  $k$  为比例常数，方程1是种群增长的第一个模型，它是一个微分方程，因为它包含未知函数  $P$  及其导数  $\mathrm{d}P / \mathrm{d}t$  ：

其中  $k$  为比例常数，方程1是种群增长的第一个模型，它是一个微分方程，因为它包含未知函数  $N$  及其导数  $\mathrm{d}P / \mathrm{d}t$  ：

建立好模型后，来考虑一下它带来的结论。如果排除规模为0的种群，那么对所有  $t$  都有  $P(t) > 0$  。因此，如果  $k > 0$  ，那么由方程1可得，对所有  $t$  都有  $P^{\prime}(t) > 0$  ，这表示种群是不断增长的。事实上，方程1表明，随着  $P(t)$  不断增大， $\mathrm{d}P / \mathrm{d}t$  也不断增大，即随着种群增长，增长率也不断增大。

建立好模型后，来考虑一下它带来的结论。如果排除规模为0的种群，那么对所有  $t$  都有  $N(t) > 0$  。因此，如果  $k > 0$  ，那么由方程1可得，对所有  $t$  都有  $N^{\prime}(t) > 0$  ，这表示种群是不断增长的。事实上，方程1表明，随着  $N(t)$  不断增大， $\mathrm{d}P / \mathrm{d}t$  也不断增大，即随着种群增长，增长率也不断增大。

接下来解方程1. 我们要根据该方程求出一个函数，其导数是它本身的常数倍。我们从第3章中了解到，指数函数具有这个性质。实际上，如果令  $P(t) = C\mathrm{e}^{kt}$ ，则有

接下来解方程1. 我们要根据该方程求出一个函数，其导数是它本身的常数倍。我们从第3章中了解到，指数函数具有这个性质。实际上，如果令  $N(t) = C\mathrm{e}^{kt}$ ，则有

$$

$$

P ^ {\prime} (t) = C \left(k e ^ {k t}\right) = k \left(C e ^ {k t}\right) = k P (t),

P ^ {\prime} (t) = C \left(k e ^ {k t}\right) = k \left(C e ^ {k t}\right) = k P (t),

$$

$$

即任何形如  $P(t) = C\mathrm{e}^{kt}$  的指数函数都是方程的解．

即任何形如  $N(t) = C\mathrm{e}^{kt}$  的指数函数都是方程的解．

令  $C$  为不同的实数值，可以得到方程的解族  $P(t) = Ce^{kt}$ 。而种群规模只能为正，所以只保留  $C > 0$  的解。此外，我们只关心解在  $t$  大于初始时间  $t = 0$  的部分。代入  $t = 0$ ，得到  $P(0) = Ce^{k(0)} = C$ ，所以常数  $C$  为种群规模的初值  $P(0)$ 。

令  $C$  为不同的实数值，可以得到方程的解族  $N(t) = Ce^{kt}$ 。而种群规模只能为正，所以只保留  $C > 0$  的解。此外，我们只关心解在  $t$  大于初始时间  $t = 0$  的部分。代入  $t = 0$ ，得到  $N(0) = Ce^{k(0)} = C$ ，所以常数  $C$  为种群规模的初值  $N(0)$ 。