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==问题背景==

==问题背景==

种群增长的一个模型是基于如下假设建立的：种群规模的增长率与种群规模成正比。这个假设对于理想条件下（无限的环境、充足的营养、没有天敌、对疾病免疫）的细菌种群或动物种群是合理的。

种群增长的一个模型是基于如下假设建立的：种群规模的增长率与种群规模成正比。这个假设对于理想条件下（无限的环境、充足的营养、没有天敌、对疾病免疫）的细菌种群或动物种群是合理的。

种群规模N的增长率为导数[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }[/math]，所以种群规模的增长率与种群规模成正比的假设可以表示成：

种群规模N的增长率为导数<math>\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }</math>，所以种群规模的增长率与种群规模成正比的假设可以表示成：

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|{{EquationRef|1}}}}

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其中k为比例常数，它是一个微分方程，因为它包含未知函数N及其导数[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }[/math]。

其中k为比例常数，它是一个微分方程，因为它包含未知函数N及其导数<math>\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }</math>。

排除规模为0的种群，那么对所有t都有N(t) > 0。因此，如果k > 0，那么由方程(1)可得，对所有t都有N(t) > 0，这表示种群是不断增长的。事实上，方程(1)表明，随着N(t)不断增大，[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }[/math]也不断增大，即随着种群增长，增长率也不断增大。

排除规模为0的种群，那么对所有t都有N(t) > 0。因此，如果k > 0，那么由方程(1)可得，对所有t都有N(t) > 0，这表示种群是不断增长的。事实上，方程(1)表明，随着N(t)不断增大，<math>\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }</math>也不断增大，即随着种群增长，增长率也不断增大。

求解方程（1），要根据该方程求出一个函数，其导数是它本身的常数倍，指数函数具有这个性质。如果令 [math]\displaystyle{ \N(t) = C\mathrm{e}^{kt}}[/math]，则有

求解方程（1），要根据该方程求出一个函数，其导数是它本身的常数倍，指数函数具有这个性质。如果令 <math>\displaystyle{ N(t) = C\mathrm{e}^{kt}}</math>，则有

N ^ {\prime} (t) = C \left(k e ^ {k t}\right) = k \left(C e ^ {k t}\right) = k N (t),

<math>N ^ {\prime} (t) = C \left(k e ^ {k t}\right) = k \left(C e ^ {k t}\right) = k N (t)</math>,

即任何形如N(t) = C\mathrm{e}^{kt}的指数函数都是方程的解．

即任何形如<math>N(t) = C\mathrm{e}^{kt}</math>的指数函数都是方程的解．

令C为不同的实数值，可以得到方程的解族N(t) = Ce^{kt}。而种群规模只能为正，所以只保留C > 0的解。此外，我们只关心解在t大于初始时间t = 0的部分。代入t = 0，得到N(0) = Ce^{k(0)} = C，所以常数C为种群规模的初值N(0)。

令C为不同的实数值，可以得到方程的解族<math>N(t) = Ce^{kt}</math>。而种群规模只能为正，所以只保留C > 0的解。此外，我们只关心解在t大于初始时间t = 0的部分。代入t = 0，得到<math>N(0) = Ce^{k(0)} = C</math>，所以常数C为种群规模的初值N(0)。

然而，在自然界中，种群的增长并非总是无限制的。马尔萨斯模型描述了在资源无限情况下的指数增长，但这在现实中几乎不存在。大多数增长过程会受到环境承载力（如食物、空间、天敌等）的限制。韦尔霍斯特意识到人口增长不但和现有人口相关，还和可用资源有关，即存在一个人口的承载量。

然而，在自然界中，种群的增长并非总是无限制的。马尔萨斯模型描述了在资源无限情况下的指数增长，但这在现实中几乎不存在。大多数增长过程会受到环境承载力（如食物、空间、天敌等）的限制。韦尔霍斯特意识到人口增长不但和现有人口相关，还和可用资源有关，即存在一个人口的承载量。