更改

<math>\displaystyle{ \arg\min_{B \in \mathbb{C}^{N_K \times N_K}} \left\{ \int_{\Omega} \max_{\substack{g \in \mathbb{C}^{N_K}, \\ \|\boldsymbol{g}\|=1}} |r(g, \boldsymbol{x})|^2 d\omega(\boldsymbol{x}) = \int_{\Omega} \|\Psi(F(\boldsymbol{x})) - \Psi(\boldsymbol{x}) B\|_{\ell^2}^2 d\omega(\boldsymbol{x}) \right\} }</math>

<math>\displaystyle{ \arg\min_{B \in \mathbb{C}^{N_K \times N_K}} \left\{ \int_{\Omega} \max_{\substack{g \in \mathbb{C}^{N_K}, \\ \|\boldsymbol{g}\|=1}} |r(g, \boldsymbol{x})|^2 d\omega(\boldsymbol{x}) = \int_{\Omega} \|\Psi(F(\boldsymbol{x})) - \Psi(\boldsymbol{x}) B\|_{\ell^2}^2 d\omega(\boldsymbol{x}) \right\} }</math>

其中<math>\|\mathbf{ · }\|_2</math>表示向量的标准欧几里得范数。实际计算中无法直接对上式的求积分，因此通过 “积分规则”（以<math>\displaystyle{ \{x_j\}_{j=1}^M }</math>为节点，<math>\boldsymbol{y}^{(j)} = F(\boldsymbol{x}^{(j)}) </math>，<math>\displaystyle{ \{w_j\}_{j=1}^M }</math>为权重，<math>M </math>为初始条件数量）[[近似]]积分，将上式转化为加权最小二乘问题：

其中<math>\|\mathbf{ · }\|_2</math>表示向量的标准欧几里得范数。实际计算中无法直接对上式的求积分，因此通过 “积分规则”（以<math>\displaystyle{ \{x_j\}_{j=1}^M }</math>为节点，<math>\boldsymbol{y}^{(j)} = F(\boldsymbol{x}^{(j)}) </math>，<math>\displaystyle{ \{w_j\}_{j=1}^M }</math>为权重，<math>M </math>为初始条件数量）近似积分，将上式转化为加权[[最小二乘]]问题：

<math>\arg\min_{B\in\mathbb{C}^{N_K \times N_K}} \sum_{j=1}^{M} w_j \|\Psi(y^{(j)}) - \Psi(x^{(j)})B\|_{\ell_2}^2</math>

<math>\arg\min_{B\in\mathbb{C}^{N_K \times N_K}} \sum_{j=1}^{M} w_j \|\Psi(y^{(j)}) - \Psi(x^{(j)})B\|_{\ell_2}^2</math>

===算法===

===算法===

一、ResDMD计算无谱污染的特征对算法<ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>：从切片数据中提取Koopman算子的准确特征对（[[特征值]]+特征函数），核心解决传统EDMD的谱污染问题。

一、计算无谱污染特征值的算法<ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>：从切片数据中提取Koopman算子的准确[[特征值]]和[[特征函数]]，核心解决传统EDMD的谱污染问题。

输入：<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>（初始状态）、<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>（下一时刻状态）、<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>（数值积分权重）、<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（观测函数）、<math>\epsilon>0</math>（残差阈值）

输入：<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>（初始状态）、<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>（下一时刻状态）、<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>（数值积分权重）、<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（观测函数）、<math>\epsilon>0</math>（残差阈值）

# 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>为字典在<math>x/y</math>上的取值矩阵，<math>W</math>为权重对角矩阵）。

# 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>为字典在<math>x/y</math>上的取值矩阵，<math>W</math>为权重对角矩阵）。

# 求解广义[[特征值]]问题：<math>(\Psi_X^* W \Psi_Y)g = \lambda(\Psi_X^* W \Psi_X)g</math>，得到候选特征对。

# 求解广义[[特征值]]问题：<math>(\Psi_X^* W \Psi_Y)g = \lambda(\Psi_X^* W \Psi_X)g</math>，得到候选[[特征值]]和[[特征函数]]。

# 计算每个候选特征对的残差<math>res(\lambda_j, g_j)</math>（衡量特征对与真实Koopman算子的契合度）。

# 计算每个候选[[特征值]]的残差<math>res(\lambda_j, g_j)</math>（衡量它们与真实Koopman算子的契合度）。

# 丢弃残差大于<math>\epsilon</math>的伪特征对，保留满足精度的有效特征对。

# 丢弃残差大于<math>\epsilon</math>的[[伪特征值]]，保留满足精度的有效[[特征值]]。

二、ResDMD计算ε-伪谱估计算法<ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>：扩展上个算法的功能，计算Koopman算子的<math>\epsilon</math>-伪谱，弥补[[特征值]]无法反映的非正规算子暂态行为和谱分布信息。

二、ResDMD计算ε-伪谱估计算法<ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>：扩展上个算法的功能，计算Koopman算子的<math>\epsilon</math>-伪谱，弥补[[特征值]]无法反映的谱分布信息。

输入：<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>（初始状态）、<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>（下一时刻状态）、<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>（数值积分权重）、<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（观测函数）、<math>\epsilon>0</math>（残差阈值）、<math>\{z_1,...,z_k\} \subset \mathbb{C}</math>（待评估的谱区域网格点）

输入：<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>（初始状态）、<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>（下一时刻状态）、<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>（数值积分权重）、<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（观测函数）、<math>\epsilon>0</math>（残差阈值）、<math>\{z_1,...,z_k\} \subset \mathbb{C}</math>（待评估的谱区域网格点）

式中，<math>\alpha=2</math>；<math>\beta=-1-\exp(-\alpha)</math>。映射的状态空间限制为<math>\Omega=[-1,0]</math>，采用标准[[勒贝格测度]]（Lebesgue measure）<math>\omega</math>描述状态分布。

式中，<math>\alpha=2</math>；<math>\beta=-1-\exp(-\alpha)</math>。映射的状态空间限制为<math>\Omega=[-1,0]</math>，采用标准[[勒贝格测度]]（Lebesgue measure）<math>\omega</math>描述状态分布。

观测字典用<math>[-1,0]</math>区间的勒让德多项式，具体形式为：<math>\psi_j(x) = c_j P_j(2x+1)</math>

观测字典用<math>[-1,0]</math>区间的[[勒让德多项式]]，具体形式为：<math>\psi_j(x) = c_j P_j(2x+1)</math>

其中：<math>P_j</math>为j次勒让德多项式；<math>c_j</math>为[[归一化]]系数，使字典在<math>L^2(\Omega, \omega)</math>空间内满足<math>\langle \psi_i, \psi_j \rangle = \delta_{ij}</math><math>(\delta_{ij}</math>为[[克罗内克函数]]），减少基函数间的冗余干扰。实验中固定字典规模<math>N_K=40</math>。

其中：<math>P_j</math>为j次勒让德多项式；<math>c_j</math>为[[归一化]]系数，使字典在<math>L^2(\Omega, \omega)</math>空间内满足<math>\langle \psi_i, \psi_j \rangle = \delta_{ij}</math><math>(\delta_{ij}</math>为[[克罗内克函数]]），减少基函数间的冗余干扰。实验中固定字典规模<math>N_K=40</math>。

实验数据为<math>\{(x^{(j)}, y^{(j)})\}_{j=1}^M</math>，其中<math>(y^{(j)}=F(x^{(j)})</math>（F为[[高斯迭代映射]]）。

实验数据为<math>\{(x^{(j)}, y^{(j)})\}_{j=1}^M</math>，其中<math>(y^{(j)}=F(x^{(j)})</math>（F为[[高斯迭代映射]]）。

左图验证 ResDMD 的谱污染剔除能力，以[[复平面]]（横轴<math>Re(\lambda)</math>、纵轴<math>Im(\lambda)</math>）为背景，黑色曲线是[[伪谱]]轮廓，分别对应<math>\epsilon=0.001,0.01,0.1,0.3</math>的<math>\epsilon</math>- [[伪谱]]，定义为：<math>\sigma_\epsilon(K) = cl\left(\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \|(K - \lambda)^{-1}\| > 1/\epsilon\}\right)</math>。

下图中左图验证 ResDMD 的谱污染剔除能力，以[[复平面]]（横轴<math>Re(\lambda)</math>、纵轴<math>Im(\lambda)</math>）为背景，黑色曲线是[[伪谱]]轮廓，分别对应<math>\epsilon=0.001,0.01,0.1,0.3</math>的<math>\epsilon</math>- [[伪谱]]，定义为：<math>\sigma_\epsilon(K) = cl\left(\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \|(K - \lambda)^{-1}\| > 1/\epsilon\}\right)</math>。其中<math>cl(\cdot)</math>表示集合的闭包。

品红色圆点为传统 EDMD [[特征值]]，大量[[特征值]]位于伪谱之外，这些是离散化导致的[[谱污染]]（虚假[[特征值]]），无法反映系统真实动力学，例如虚部 > 0.5的[[特征值]]对应不存在的高频振荡，与[[高斯迭代映射]]的实际动力学矛盾。蓝色叉号为ResDMD 筛选[[特征值]]，所有[[特征值]]均位于<math>\epsilon=0.01</math>的伪谱内。下图右图体现不同积分规则的性能差异，以 “数据点数量M” 为横轴、“核心矩阵元素最大绝对误差” 为纵轴（对数坐标），误差定义为：

 

品红色圆点为传统 EDMD [[特征值]]，大量[[特征值]]位于伪谱之外，这些是离散化导致的[[谱污染]]（虚假[[特征值]]），无法反映系统真实动力学，例如虚部 > 0.5 的[[特征值]]对应不存在的高频振荡，与[[高斯迭代映射]]的实际动力学矛盾。蓝色叉号为ResDMD 筛选[[特征值]]，所有[[特征值]]均位于<math>\epsilon=0.01</math>的伪谱内。

 

右图体现不同积分规则的性能差异，以 “数据点数量M” 为横轴、“核心矩阵元素最大绝对误差” 为纵轴（对数坐标），误差定义为：

<math>err = \max_{1 \leq j,k \leq N_K} \left| (\Psi_X^* W \Psi_Y)_{jk} - \langle K\psi_k, \psi_j \rangle \right|</math>，

<math>err = \max_{1 \leq j,k \leq N_K} \left| (\Psi_X^* W \Psi_Y)_{jk} - \langle K\psi_k, \psi_j \rangle \right|</math>，

其中<math>\langle K\psi_k, \psi_j \rangle</math>为 Koopman 算子 inner product 的真实值（作为误差基准）。结果显示不同积分规则的收敛速率差异显著：高斯 - 勒让德规则指数收敛；梯形规则<math>O(M^{-2})</math>；黎曼和规则<math>O(M^{-1})</math>；[[蒙特卡洛]]规则<math>O(M^{-1/2})</math>。

其中<math>\langle K\psi_k, \psi_j \rangle</math>为 Koopman 算子 inner product 的真实值（作为误差基准）。结果显示不同积分规则的收敛速率差异显著：高斯-勒让德规则指数收敛；梯形规则<math>O(M^{-2})</math>；黎曼和规则<math>O(M^{-1})</math>；[[蒙特卡洛]]规则<math>O(M^{-1/2})</math>。高斯迭代映射伪谱图与随着数据点𝑀数量增加，不同求积法则下Galerkin矩阵Ψ*<small>𝑋</small>𝑊Ψ<small>𝑌</small>的收敛情况。

[[文件:ResDMDGussian.png|500x500px|替代=|高斯迭代映射伪谱图与随着数据点𝑀数量增加，不同求积法则下Galerkin矩阵Ψ*<small>𝑋</small>𝑊Ψ<small>𝑌</small>的收敛情况。]]

[[文件:ResDMDGussian.png|500x500px|替代=|]]

==核DMD==

==核DMD==