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→数据驱动算法
=数据驱动算法=
=数据驱动算法=
Koopman算子理论上可以用线性方法来研究任何非线性系统。但这个Koopman算子是无限维的，无法直接计算和应用。那么如何用有限的、来自现实的数据，去逼近无限维的Koopman线性算子呢？最开始的方法是动力学模式分解（DMD，Dynamic Mode Decomposition），它直接把“状态变量本身”当作观测函数。然而，对于真正的非线性系统，DMD的近似就太粗糙了。故此后学者们围绕着“如何更有效地拓展观测空间”与“如何优化求解过程”展开。扩展动态模式分解（EDMD, Extended Dynamic Mode Decomposition）通过预定义的非线性函数显式拓展；残差动态模式分解（ResDMD, Residual DMD）致力于严格评估逼近精度并筛选可靠模态；核动态模式分解（Kernel DMD）利用核技巧隐式拓展；基于神经网络的动态模式分解（Neural Network DMD）用深度学习自动学习最优的拓展方式；时间延迟动态模式分解（Time-delay DMD/Hankel DMD）通过历史数据构造嵌入空间；随机动态模式分解（Randomized DMD）专注于利用随机算法提升高维问题的计算效率；最优模式分解（OPD/Optimal DMD）将问题重构为全局非线性优化以求取最佳拟合；多分辨率动态模式分解（mrDMD, Multiresolution DMD）与递归动态模式分解（RDMD, Recursive DMD）则能分离系统在不同时间尺度或层次上的动力学；前向-后向动态模式分解（fbDMD, forward-backward DMD）通过平均正反向数据提升稳定性；张量动态模式分解（Tensor DMD）处理具有空间结构的多维数据；受控动态模式分解（Controlled DMD）则旨在辨识含外部输入系统的Koopman模型。