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===理论===

===理论===

具体来说，[[核函数]]<math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y})</math>用于度量数据点<math>\mathbf{x}</math>和<math>\mathbf{y}</math>之间的相似性，它对应于一个特征映射<math>\phi(\mathbf{x})</math>，使得<ref name=william_2015_kernal>M. O. Williams, C. W. Rowley, and I. G. Kevrekidis, A kernel approach to data-driven Koopman spectral analysis, J. Comput. Dynam., 2 (2015), pp. 247--265. (Cited on pp. 255, 256, 284, 285, 294, 318)</ref><ref name=Gonzalez_2023_kernal>Gonzalez, E., Abudia, M., Jury, M., Kamalapurkar, R. & Rosenfeld, J. A. The kernel perspective on dynamic mode decomposition. Preprint at https://doi.org/10.48550/arXiv.2106.00106 (2023).</ref>

具体来说，[[核函数]]<math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y})</math>用于度量数据点<math>\mathbf{x}</math>和<math>\mathbf{y}</math>之间的相似性，它对应于一个特征映射<math>\phi(\mathbf{x})</math>，使得：

<math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \langle \phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{y}) \rangle</math>，

<math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \langle \phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{y}) \rangle</math>，

其中<math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>表示RKHS中的内积。这种方法允许我们在不知道显式映射<math>\phi</math>的情况下，直接在核空间中计算相似性。

其中<math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>表示RKHS中的内积。这种方法允许我们在不知道显式映射<math>\phi</math>的情况下，直接在核空间中计算相似性。即此时Koopman算子的近似矩阵<math>\mathbf{A}</math>为<ref name=william_2015_kernal>M. O. Williams, C. W. Rowley, and I. G. Kevrekidis, A kernel approach to data-driven Koopman spectral analysis, J. Comput. Dynam., 2 (2015), pp. 247--265. (Cited on pp. 255, 256, 284, 285, 294, 318)</ref><ref name=Gonzalez_2023_kernal>Gonzalez, E., Abudia, M., Jury, M., Kamalapurkar, R. & Rosenfeld, J. A. The kernel perspective on dynamic mode decomposition. Preprint at https://doi.org/10.48550/arXiv.2106.00106 (2023).</ref>：

在核DMD中，我们首先构建一个核矩阵<math>\mathbf{K}</math>，其元素为<math>K_{ij} = k(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j)</math>，然后通过对核矩阵进行[[特征分解]]来提取主导模式。这相当于在RKHS中执行标准DMD算法，从而获得近似Koopman算子的[[特征值]]和[[特征模式]]。核DMD的优势在于，它能够处理复杂的[[非线性系统]]，如[[流体湍流]]或[[混沌系统]]，而无需手动设计非线性特征函数。此外，核技巧减少了[[计算复杂度]]，因为我们可以通过核矩阵运算避免高维空间中的直接计算。目前，有很多种核函数，包括线性核、多项式核、[[径向基]]核、高斯核、拉普拉斯核、sigmod核等等。

<math>\mathbf{K}{YX} \approx \mathbf{A}\phi \mathbf{K}{XX}</math>

 

其中，<math>(\mathbf{K}{XX}){ij} = k(\mathbf{x}i, \mathbf{x}j), \quad (\mathbf{K}{YX}){ij} = k(\mathbf{y}i, \mathbf{x}j)</math>

 

这相当于在RKHS中执行标准DMD算法，从而获得近似Koopman算子。核DMD的优势在于，它能够处理复杂的[[非线性系统]]，如[[流体湍流]]或[[混沌系统]]，而无需手动设计非线性特征函数。此外，核技巧减少了[[计算复杂度]]，因为我们可以通过核矩阵运算避免高维空间中的直接计算。目前，有很多种核函数，包括线性核、多项式核、[[径向基]]核、高斯核、拉普拉斯核、sigmod核等等。

===核函数===

===核函数===