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→随机动力系统
其中， <math> \nabla g \cdot f </math>为与确定性系统的生成元一致，对应无噪声时观测函数的瞬时变化率，<math> σ(x) </math>为噪声贡献项，<math> Tr(⋅) </math>是矩阵[[迹]]（对角线元素之和），<math> \nabla^2 g</math>是 <math> g </math>的[[Hessian 矩阵]]（二阶偏导数矩阵）。噪声项通过 [[Hessian 矩阵]]影响观测函数的演化，反映噪声对观测不确定性的贡献，当噪声强度<math> \sigma(x) = 0 </math>时，随机算子退化为确定性连续时间 Koopman 算子，随机 Koopman 算子的[[特征值]]可能包含衰减项（对应噪声导致的不确定性耗散），[[特征函数]]可刻画系统的 “平均线性化” 演化。
其中， <math> \nabla g \cdot f </math>为与确定性系统的生成元一致，对应无噪声时观测函数的瞬时变化率，<math> σ(x) </math>为噪声贡献项，<math> Tr(⋅) </math>是矩阵[[迹]]（对角线元素之和），<math> \nabla^2 g</math>是 <math> g </math>的[[Hessian 矩阵]]（二阶偏导数矩阵）。噪声项通过 [[Hessian 矩阵]]影响观测函数的演化，反映噪声对观测不确定性的贡献，当噪声强度<math> \sigma(x) = 0 </math>时，随机算子退化为确定性连续时间 Koopman 算子，随机 Koopman 算子的[[特征值]]可能包含衰减项（对应噪声导致的不确定性耗散），[[特征函数]]可刻画系统的 “平均线性化” 演化。
以下是完整推导过程的纯格式（连续等式串联，保留每步依据标注，适配学术排版需求）：
<math> \begin{align*}\mathcal{L}_{\text{stoch}} g(x) &= \lim_{t \to 0} \frac{\mathbb{E}[g(x(t)) \mid x(0)=x] - g(x)}{t} \quad (\text{生成元定义}) \\
<math> \begin{align*}\mathcal{L}_{\text{stoch}} g(x) &= \lim_{t \to 0} \frac{\mathbb{E}[g(x(t)) \mid x(0)=x] - g(x)}{t} \quad (\text{生成元定义}) \\