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→RC电路分析
V_{\text{in}} = RI + \frac{1}{C}\int_{0}^{t} {I} \, \mathrm d{t}. \tag{RC-1}
V_{\text{in}} = RI + \frac{1}{C}\int_{0}^{t} {I} \, \mathrm d{t}. \tag{RC-1}
</math>
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当 $V_{\text{in}}$ 为恒定电压 $V_{0}$ 时，考虑电容 $C$ 上的充电量 $Q$。有
当 <math>V_{\text{in}}</math> 为恒定电压 <math>V_{0}</math> 时，考虑电容 <math>C</math> 上的充电量 <math>Q</math>。有
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V_{0} = RI + \frac{1}{C} \int_{0}^{t} {I} \, \mathrm d{t} \iff V_{0} = R \dot{Q} + \frac{Q}{C} \tag{RC-2}
V_{0} = RI + \frac{1}{C} \int_{0}^{t} {I} \, \mathrm d{t} \iff V_{0} = R \dot{Q} + \frac{Q}{C} \tag{RC-2}
Q(t) = V_{0}C + Ke^{-t/RC}
Q(t) = V_{0}C + Ke^{-t/RC}
</math>
</math>
如果要求初始时刻电容器上电荷为零，即 $Q(0) = 0$，则有 $K = -V_{0}C$，即
如果要求初始时刻电容器上电荷为零，即 <math>Q(0) = 0</math>，则有 <math>K = -V_{0}C</math>，即
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Q(t) = V_{0}C(1 - e^{-t/RC})
Q(t) = V_{0}C(1 - e^{-t/RC})
</math>
</math>
相应地，也能得到电容器的稳态电压 $V_{C}(\infty)$ 为 $V_{0}C$，输出电压随时间变化规律为
相应地，也能得到电容器的稳态电压 <math>V_{C}(\infty)</math> 为 <math>V_{0}C</math>，输出电压随时间变化规律为
<math>
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V_{C}(t) = \frac{Q}{C} = V_{0}(1 - e^{-t/RC}).
V_{C}(t) = \frac{Q}{C} = V_{0}(1 - e^{-t/RC}).
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其中 $\tau = RC$ 称为时间常数，它决定电容器充电的快慢。
其中 <math>\tau = RC</math> 称为时间常数，它决定电容器充电的快慢。
====势函数的定性视角====
====势函数的定性视角====
f(Q) = \dot{Q} = \frac{V_{0}}{R} - \frac{Q}{RC} = -\frac{1}{RC} \cdot Q + \frac{V_{0}}{R}
f(Q) = \dot{Q} = \frac{V_{0}}{R} - \frac{Q}{RC} = -\frac{1}{RC} \cdot Q + \frac{V_{0}}{R}
</math>
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可见其势函数是一个截距为正，斜率为负的直线，有一个稳定不动点 $Q = V_{0}C$。另外，从势函数也可明显的看出上面的结论：当电容初始电量为零时，依照势函数，其电量会一直增长，无限趋于稳定不动点。
可见其势函数是一个截距为正，斜率为负的直线，有一个稳定不动点 <math>Q = V_{0}C</math>。另外，从势函数也可明显的看出上面的结论：当电容初始电量为零时，依照势函数，其电量会一直增长，无限趋于稳定不动点。
====传递函数的视角====
====传递函数的视角====
\tilde{V}_{\text{in}}(s) = R \tilde{I}(s) + \frac{1}{Cs} \tilde{I}(s) = R \tilde{I}(s) + \tilde{V}_{C}(s)
\tilde{V}_{\text{in}}(s) = R \tilde{I}(s) + \frac{1}{Cs} \tilde{I}(s) = R \tilde{I}(s) + \tilde{V}_{C}(s)
</math>
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整理得到 $\tilde{V}_{C} = (RCs + 1)\tilde{V}_{\text{out}}(s)$，系统的传递函数为
整理得到 <math>\tilde{V}_{C} = (RCs + 1)\tilde{V}_{\text{out}}(s)</math>，系统的传递函数为
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G(s) = \frac{\tilde{V}_{\text{out}}(s)}{\tilde{V}_{C}(s)} = \frac{1}{RCs + 1},
G(s) = \frac{\tilde{V}_{\text{out}}(s)}{\tilde{V}_{C}(s)} = \frac{1}{RCs + 1},
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这是一个典型的一阶惯性环节，电容开始无电量，电压恒定的情况相当于系统的阶跃响应，而一阶惯性系统的阶跃响应总是稳定、无震荡的。其响应值达到稳态值的约 $63.2\%$ 所需时间为时间常数 $\tau$。由控制论的工具出发，还可以分析 RC 电路在不同输入电压（如脉冲、交流电）下的不同响应（输出电压）。
这是一个典型的一阶惯性环节，电容开始无电量，电压恒定的情况相当于系统的阶跃响应，而一阶惯性系统的阶跃响应总是稳定、无震荡的。其响应值达到稳态值的约 <math>63.2\%</math> 所需时间为时间常数 <math>\tau</math>。由控制论的工具出发，还可以分析 RC 电路在不同输入电压（如脉冲、交流电）下的不同响应（输出电压）。
====频率特性====
====频率特性====
现在考虑输入为单相交流电的情形。假设输入电压随时间变化为 $V_{\text{in}}(t) = \sin(\omega t)$，其对应的拉普拉斯变换为 $\displaystyle \tilde{V}_{\text{in}}(s) = \frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}}$，由系统的传递函数，可得输出电压的拉普拉斯变换为
现在考虑输入为单相交流电的情形。假设输入电压随时间变化为 <math>V_{\text{in}}(t) = \sin(\omega t)</math>，其对应的拉普拉斯变换为 <math>\displaystyle \tilde{V}_{\text{in}}(s) = \frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}}</math>，由系统的传递函数，可得输出电压的拉普拉斯变换为
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\tilde{V}_{\text{out}}(s) = \tilde{V}_{\text{in}}(s) G(s) = \frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}} \cdot \frac{1}{\tau s+ 1}
\tilde{V}_{\text{out}}(s) = \tilde{V}_{\text{in}}(s) G(s) = \frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}} \cdot \frac{1}{\tau s+ 1}
V_{\text{out}}(t) = \frac{\tau \omega}{1 + \tau^{2}\omega^{2}}e^{-t/\tau} + \frac{1}{\sqrt{ (\omega \tau)^{2} + 1 }} \sin(\omega t - \arctan(\omega \tau))
V_{\text{out}}(t) = \frac{\tau \omega}{1 + \tau^{2}\omega^{2}}e^{-t/\tau} + \frac{1}{\sqrt{ (\omega \tau)^{2} + 1 }} \sin(\omega t - \arctan(\omega \tau))
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称 $a(\omega) = \displaystyle \frac{1}{(\omega \tau)^{2}+1}$ 为系统的幅频特性，$\phi(\omega) = -\arctan(\omega \tau)$ 为其相频特性。可以看到当交流电频率增加时，输出电压的幅度降低：这是一个简单的低通滤波器。
称 <math>a(\omega) = \displaystyle \frac{1}{(\omega \tau)^{2}+1}</math> 为系统的幅频特性，<math>\phi(\omega) = -\arctan(\omega \tau)</math> 为其相频特性。可以看到当交流电频率增加时，输出电压的幅度降低：这是一个简单的低通滤波器。
===企业生长模型===
===企业生长模型===