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第二步：城市能耗与效率评价。进一步，贝当古通过借鉴生物学中代谢标度律的思路，引入了能量流和阻抗的概念来分析城市的运行效率。他将人员、货物、信息的流动视为网络中的“电流”[math]J[/math]，并假设单位长度的电阻[math]r[/math]为常数。通过层级的电流守恒[math]J_i=s_i\rho_iv_iN_i[/math]和速度/密度缩放关系，可以计算出每个层级的电阻[math]R_i[/math]和能耗（功率耗散）[math]W_i[/math]。对全部层级求和得到城市总能耗[math]W[/math]，其规模为[math]W∼N^{1+δ}=N^{7/6}[/math]通过类比电路分析，可以计算出城市总功耗[math]W \sim N^{7/6}[/math]，与社会产出具有相同的标度指数。这使得城市效率比[math]Y/W[/math]成为一个规模无关的指标，为城市规划和政策制定提供了量化的评价标准。

第二步：城市能耗与效率评价。进一步，贝当古通过借鉴生物学中代谢标度律的思路，引入了能量流和阻抗的概念来分析城市的运行效率。他将人员、货物、信息的流动视为网络中的“电流”[math]J[/math]，并假设单位长度的电阻[math]r[/math]为常数。通过层级的电流守恒[math]J_i=s_i\rho_iv_iN_i[/math]和速度/密度缩放关系，可以计算出每个层级的电阻[math]R_i[/math]和能耗（功率耗散）[math]W_i[/math]。对全部层级求和得到城市总能耗[math]W[/math]，其规模为[math]W∼N^{1+δ}=N^{7/6}[/math]通过类比电路分析，可以计算出城市总功耗[math]W \sim N^{7/6}[/math]，与社会产出具有相同的标度指数。这使得城市效率比[math]Y/W[/math]成为一个规模无关的指标，为城市规划和政策制定提供了量化的评价标准。

第三步：更多变量的规模法则。最后，利用上述几个重要指标的规模法则，贝当古还推导出更多的规模法则，包括城市地价（rent price）的规模法则（1/2幂律）。

第三步：更多变量的规模法则.利用上述已推导出的基本规模法则（[math]L_n \sim N^{2/3}[/math]，[math]A_n \sim N^{5/6}[/math]，[math]W \sim N^{7/6}[/math]），并通过经济学原理（如地租反映可达性与集聚经济）进行联动推导，贝当古预测了其他城市变量的标度关系。最后，利用上述几个重要指标的规模法则，贝当古还推导出更多的规模法则，包括城市地价（rent price）的规模法则，例如平均土地租金的规模法则为[math]Rent∼N^{1/2}[/math]等。这揭示了城市规模对土地价值影响的量化规律。

第四步：最优的G。在贝当古模型中，他引入了一个关键参数G，它代表一座城市当只包含一个人的时候，总产出是多少。该参数衡量了社会经济效率。由于GDP和总的资源消耗服从相同幂指数的规模法则（都是1.15次幂），因此贝当古导出了一个城市的收益-成本模型，并通过最优化推导出G的最优值。他进一步将这一理论用于美国的各个城市，并筛选出效率高的城市和效率低的城市。

第四步：最优的社会互动产出参数G。在贝当古模型中，他引入了一个关键参数[math]G=\bar{g}a_0ℓ[/math]，它综合反映了人均社会互动产出强度 ([math]\bar{g}[/math])、互动范围 ([math]a_0[/math]) 和移动距离 ([math]ℓ[/math])，本质上是衡量“单位基础设施支撑下所能产生的社会经济互动量”的效率参数。该参数衡量了社会经济效率。模型显示，城市的净收益 L可表达为社会总产出 Y与总能耗成本W之差，并受混合条件与网络条件约束。通过最大化净收益 L，可以求解出最优的[math]G^{*}[/math]。理论预测[math]G^{*}\approx G_{\max}/8[/math]，其中[math] G_{\max}/8[/math]是城市不至于因拥堵成本过高而解体的上限。美国大多数都市区（MSA）的实测G值聚集在最优值附近，但存在明显偏离的案例：如加利福尼亚州河滨市（Riverside）和得克萨斯州布朗斯维尔市（Brownsville）的G值偏低，表明其社会互动潜力和基础设施效率未充分发挥；而康涅狄格州布里奇波特市（Bridgeport）的G值偏高，可能面临高昂的交通能耗成本。因此，参数 G及其与最优值的偏离，为诊断城市发展效率、评估规划政策（如调整密度、提升交通能效）提供了具体的理论依据和量化靶点.由于GDP和总的资源消耗服从相同幂指数的规模法则（都是1.15次幂），因此贝当古导出了一个城市的收益-成本模型，并通过最优化推导出G的最优值。他进一步将这一理论用于美国的各个城市，并筛选出效率高的城市和效率低的城市。

=== 匹配生长模型 ===

=== 匹配生长模型 ===