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===谱粗粒化===

===谱粗粒化===

复杂网络可以被建模为一个马尔科夫过程，它的动力学由邻接矩阵<math>A</math>构建的随机矩阵$$W$$（或称转移概率矩阵）所描述，定义为<math>W_{ij} = \frac{A_{ij}}{\sum_k A_{kj}}</math>表示从节点<math>j</math>转移到节点<math>i</math>的概率。为实现网络的降维与简化，研究一种基于谱理论的粗粒化方法<ref>Gfeller D, De Los Rios P. Spectral coarse graining of complex networks[J]. Physical review letters, 2007, 99(3): 038701.</ref>。该方法的核心在于选取随机矩阵前<math>S</math>个最大非平凡特征向值<math>\lambda^2, \lambda^3, \ldots, \lambda^{S+1}</math>对应的左特征向量<math>\langle u^2 |, \langle u^3 |, \ldots, \langle u^{S+1} |</math>，将网络节点映射到该特征向量张成的特征空间。在此基础上，将每个特征向量的值域划分为<math>I</math>个区间，在所有<math>S</math>个特征向量均落入相同区间的节点合并为一个超级节点。从概率角度可以对此粗粒化过程可以解释为，将新超级节点的出边概率为原节点的出边概率的加权平均，其流入概率为原节点的流入概率相加，其他没有合并节点的转移概率保持不变。

复杂网络可以被建模为一个马尔科夫过程，它的动力学由邻接矩阵 <math>A</math> 构建的随机矩阵 <math>W</math>（或称转移概率矩阵）所描述，定义为 <math>W_{ij} = \frac{A_{ij}}{\sum_k A_{kj}}</math> 表示从节点 <math>j</math> 转移到节点 <math>i</math> 的概率。为实现网络的降维与简化，研究一种基于谱理论的粗粒化方法<ref>Gfeller D, De Los Rios P. Spectral coarse graining of complex networks[J]. Physical review letters, 2007, 99(3): 038701.</ref>。该方法的核心在于选取随机矩阵前 <math>S</math> 个最大非平凡特征向值 <math>\lambda^2, \lambda^3, \ldots, \lambda^{S+1}</math> 对应的左特征向量 <math>\langle u^2 |, \langle u^3 |, \ldots, \langle u^{S+1} |</math>，将网络节点映射到该特征向量张成的特征空间。在此基础上，将每个特征向量的值域划分为 <math>I</math> 个区间，在所有 <math>S</math> 个特征向量均落入相同区间的节点合并为一个超级节点。从概率角度可以对此粗粒化过程可以解释为，将新超级节点的出边概率为原节点的出边概率的加权平均，其流入概率为原节点的流入概率相加，其他没有合并节点的转移概率保持不变。

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===结合统计物理与机器学习的网络流方法===

===结合统计物理与机器学习的网络流方法===

我们用扩散方程<math>\frac{d\psi}{d\tau}=-L\psi</math>来描述网络的扩散过程，其中拉普拉斯矩阵<math>L=D-A</math>描述网络的拓扑结构，<math>A</math>是邻接矩阵，<math>D</math>是度矩阵。扩散方程的解为<math>\psi_{\tau}=e^{-\tau L}\psi_0</math>，体现了信息随时间的演化，其中<math>e^{-\tau L}</math>为时间演化算子，<math>[e^{-\tau L}]_{ij}</math>表示经过时间<math>\tau</math>后从节点<math>j</math>到节点<math>i</math>的流量。

我们用扩散方程 <math>\frac{d\psi}{d\tau}=-L\psi</math> 来描述网络的扩散过程，其中拉普拉斯矩阵 <math>L=D-A</math> 描述网络的拓扑结构，<math>A</math> 是邻接矩阵，<math>D</math> 是度矩阵。扩散方程的解为 <math>\psi_{\tau}=e^{-\tau L}\psi_0</math>，体现了信息随时间的演化，其中 <math>e^{-\tau L}</math> 为时间演化算子，<math>[e^{-\tau L}]_{ij}</math> 表示经过时间 <math>\tau</math> 后从节点 <math>j</math> 到节点 <math>i</math> 的流量。

利用配分函数<math>Z_{\tau}=Tr(e^{-\tau L})</math>，我们能量化矩阵的全局信息量。矩阵<math>e^{-\tau L}</math>的每个对角元<math>[e^{-\tau L}]_{ii}</math>是第<math>i</math>个节点的信息保留量，对所有对角元求和则能得到所有节点的信息保留量。

利用配分函数 <math>Z_{\tau}=Tr(e^{-\tau L})</math>，我们能量化矩阵的全局信息量。矩阵 <math>e^{-\tau L}</math> 的每个对角元 <math>[e^{-\tau L}]_{ii}</math> 是第 <math>i</math> 个节点的信息保留量，对所有对角元求和则能得到所有节点的信息保留量。

通过图神经网络（GNN）的消息传递机制，得到每个节点的向量表征，对节点向量应用Softmax函数，得到分组矩阵<math>S_{N\times M}</math>，其中元素<math>s_{ij}</math>表示节点<math>i</math>分到第<math>j</math>个超级节点的概率。

通过图神经网络（GNN）的消息传递机制，得到每个节点的向量表征，对节点向量应用Softmax函数，得到分组矩阵 <math>S_{N\times M}</math>，其中元素 <math>s_{ij}</math> 表示节点 <math>i</math> 分到第 <math>j</math> 个超级节点的概率。

通过<math>\hat{A}=\frac{M}{N}S^{T}AS</math>得到宏观邻接矩阵<math>\hat{A}_{M\times M}</math>，其中<math>A_{N\times N}</math>原始网络的邻接矩阵。归一化配分函数<math>\frac{Z}{N}</math>的平均绝对误差（MAE）作为训练图神经网络的损失函数，通过梯度下降优化GNN的参数。

通过 <math>\hat{A}=\frac{M}{N}S^{T}AS</math> 得到宏观邻接矩阵 <math>\hat{A}_{M\times M}</math>，其中 <math>A_{N\times N}</math> 原始网络的邻接矩阵。归一化配分函数 <math>\frac{Z}{N}</math> 的平均绝对误差（MAE）作为训练图神经网络的损失函数，通过梯度下降优化GNN的参数。

网络规模从<math>N</math>压缩到<math>N^{'}</math>后，得到新的拉普拉斯矩阵<math>L^{'}</math>和配分函数<math>Z^{'}</math>，原始网络和压缩后的网络的配分函数的关系是<math>Z=\gamma Z^{'}</math>，并且压缩后的配分函数和原始网络的配分函数要尽可能相似，不随时间变化而且误差最小。当<math>\tau=0</math>时，<math>Z=N,Z^{'}=N^{'}</math>，为了使之成立，<math>\gamma=\frac{N}{N^{'}}</math>，所以乘数的有效值为<math>\frac{N}{N^{'}}</math><ref>Zhang, Zhang, et al. "Coarse-graining network flow through statistical physics and machine learning." Nature Communications 16.1 (2025): 1605.</ref>。

网络规模从 <math>N</math> 压缩到 <math>N^{'}</math> 后，得到新的拉普拉斯矩阵 <math>L^{'}</math> 和配分函数 <math>Z^{'}</math>，原始网络和压缩后的网络的配分函数的关系是 <math>Z=\gamma Z^{'}</math>，并且压缩后的配分函数和原始网络的配分函数要尽可能相似，不随时间变化而且误差最小。当 <math>\tau=0</math> 时，<math>Z=N,Z^{'}=N^{'}</math>，为了使之成立，<math>\gamma=\frac{N}{N^{'}}</math>，所以乘数的有效值为 <math>\frac{N}{N^{'}}</math><ref>Zhang, Zhang, et al. "Coarse-graining network flow through statistical physics and machine learning." Nature Communications 16.1 (2025): 1605.</ref>。

马尔科夫链是描述状态仅依赖当前状态的随机过程，通过拉普拉斯矩阵与转移概率的关系，将上述方法应用到马尔科夫链中，在离散时间马尔科夫链中，转移概率矩阵为<math>P</math>；在连续时间马尔科夫链中，<math>P(t)=e^{-tL}</math>是经过时间 <math>t</math> 的转移概率矩阵。配分函数<math>Z_t=Tr(e^{-tL})</math>可以理解为马尔科夫链的所有状态的信息保留总和。

马尔科夫链是描述状态仅依赖当前状态的随机过程，通过拉普拉斯矩阵与转移概率的关系，将上述方法应用到马尔科夫链中，在离散时间马尔科夫链中，转移概率矩阵为 <math>P</math>；在连续时间马尔科夫链中，<math>P(t)=e^{-tL}</math> 是经过时间 <math>t</math> 的转移概率矩阵。配分函数 <math>Z_t=Tr(e^{-tL})</math> 可以理解为马尔科夫链的所有状态的信息保留总和。

进行稳态分析的时候，当<math>t\rightarrow \infty</math>时，<math>e^{-tL}</math>的极限与稳态分布有关，配分函数的渐近行为反映链的长期信息保留特性。通过分析<math>e^{-tL}</math>的特征向量来识别马尔科夫链的状态聚类。

进行稳态分析的时候，当 <math>t\rightarrow \infty</math> 时，<math>e^{-tL}</math> 的极限与稳态分布有关，配分函数的渐近行为反映链的长期信息保留特性。通过分析 <math>e^{-tL}</math> 的特征向量来识别马尔科夫链的状态聚类。

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CGU的评价维度（优化的属性）：'''简洁性'''、'''简单性'''和'''覆盖度'''。

CGU的评价维度（优化的属性）：'''简洁性'''、'''简单性'''和'''覆盖度'''。

#'''简洁性'''：字典中CGU的总数尽可能的少。

#'''简洁性'''：字典中CGU的总数尽可能的少。

#'''简单性'''：单个CGU的结构尽简单，由黑箱数$$H$$决定，<math>H</math>越少越简单。 <math>H=I+O+2M</math>， <math>I</math>为输入节点，<math>O</math>为输出节点，<math>M</math>为混合节点。

#'''简单性'''：单个CGU的结构尽简单，由黑箱数 <math>H</math> 决定，<math>H</math> 越少越简单。 <math>H=I+O+2M</math>， <math>I</math> 为输入节点，<math>O</math> 为输出节点，<math>M</math> 为混合节点。

#'''覆盖度'''：粗粒化后消除的节点和边数尽可能多，被CGU覆盖的节点数<math>P_{covered}</math>和边数<math>E_{covered}</math>尽可能多。

#'''覆盖度'''：粗粒化后消除的节点和边数尽可能多，被CGU覆盖的节点数 <math>P_{covered}</math> 和边数 <math>E_{covered}</math> 尽可能多。