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下图展示了一个二维的匹配生长模型的生长过程，其中每一个圆盘中心对应为一个节点，圆盘对应为每个节点的相互作用范围。圆盘随机地生成（新圆盘坐标服从二维空间的均匀分布），新的圆盘只有与一个已有的圆盘重叠的时候（匹配），才能有效地生长。有效生长后（达到了匹配），新节点会和其对应圆盘范围内的所有节点建立新的连接。

下图展示了一个二维的匹配生长模型的生长过程，其中每一个圆盘中心对应为一个节点，圆盘对应为每个节点的相互作用范围。圆盘随机地生成（新圆盘坐标服从二维空间的均匀分布），新的圆盘只有与一个已有的圆盘重叠的时候（匹配），才能有效地生长。有效生长后（达到了匹配），新节点会和其对应圆盘范围内的所有节点建立新的连接。

[[File:matchingprocess.png|300px|无|缩略图]]

[[File:matchingprocess.png|二维平面上的[[匹配生长模型]]，其中每一个圆盘的中心点就是网络的节点，代表的对象可以是一个人、一个居民社区、一个用户等，节点之间的连边代表了节点之间的相互作用，圆盘代表了每个节点的覆盖范围大小。该模型的运行规则是，节点顺序地一个个地随机生成（二维坐标随机），但是只有当新节点与老节点的圆盘相互重叠（匹配）时，新节点才真正生长成功，一旦成功，则新节点会与其对应圆盘范围内的所有节点建立连边。该模型可模拟虚拟空间中的社区生长、网络生长，也可以经改造后模拟城市的生长。|300px|无|缩略图]]

如果我们将该生长网络的节点数量记为[math]N[/math]，连边数记为[math]Y[/math]，所有圆盘覆盖的面积记为[math]D[/math]，则三个变量服从如下规模法则：

如果我们将该生长网络的节点数量记为[math]N[/math]，连边数记为[math]Y[/math]，所有圆盘覆盖的面积记为[math]D[/math]，则三个变量服从如下规模法则：

: <math>

:<math>

Y \propto N^{\gamma}  

Y \propto N^{\frac{d+2}{d+1}}  

</math>

</math>

:<math>

:<math>

D\propto N^{2-\gamma}

D\propto N^{\frac{d}{d+1}}

</math>

</math>

这两个规模法则可以模拟普遍存在于各类复杂系统中的相互作用的超线性规模法则，和多样性的亚线性规模法则，其中[math]\displaystyle{N}[/math] 表示系统的规模，[math]\displaystyle{Y}[/math] 可表示系统中的总的单位时间内的相互作用数量。[math]\displaystyle{D}[/math]表示节点种类数时，[math]\displaystyle{\gamma > 1}[/math]为相互作用的超线性规模法则的幂律指数，而[math]2-\gamma[/math]为模型预测的多样性的亚线性规模法则的幂律指数。

 

这三种规模法则可以模拟普遍存在于各类复杂系统中的相互作用的超线性规模法则，和多样性的亚线性规模法则，其中[math]\displaystyle{N}[/math] 表示系统的规模，[math]\displaystyle{Y}[/math] 表示系统中的总的单位时间内的相互作用数量，[math]\displaystyle{D}[/math]表示节点圆盘的覆盖区域的面积，[math]t[/math]代表整个网络的生长周期（总共产生了多少个随机点，也包括无效生长的点），[math]d[/math]代表空间维度，在二维空间中，[math]d=2[/math]。其中第一个式子，模拟了相互作用的超线性规模法则，其中幂律指数[math]\alpha =\frac{d+2}{d+1}>1[/math]；而第二个式子则模拟了多样性的亚线性规模法则，其中节点圆盘的覆盖面积对应为节点的多样性，这一亚线性规模法则的幂律指数为[math]\beta=\frac{d}{d+1}<1[/math]；第三个式子则模拟了很多复杂系统之中的加速生长现象，即系统的规模的增长速度会随着系统的存活时间变长而变快，这一规律可以反映为时间与规模的亚线性规模法则，其中幂指数[math]\gamma=\frac{1}{d+1}[/math]。

 

有趣的是，该模型还预言，无论维数[math]d[/math]是多少，[math]\alpha+\beta=2[/math]，即相互作用的超线性规模法则和多样性的亚线性规模法则二者之间存在着一个相互制约的约束关系，这也可以反映社会分工的多样性与社会连接度的此消彼长的关系有关。详细信息可以参考：[[匹配生长模型]]。

==== 一般性标度规律 ====

==== 一般性标度规律 ====