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→国家的规模法则
在能量耗散较大的系统中（ [math]\gamma>1[/math] ），能量损失增加削弱了高通量节点的影响，使网络更分散；当 [math]\gamma<1[/math] 时，大节点输出更多能量、影响力增强，系统则更集中。
在能量耗散较大的系统中（ [math]\gamma>1[/math] ），能量损失增加削弱了高通量节点的影响，使网络更分散；当 [math]\gamma<1[/math] 时，大节点输出更多能量、影响力增强，系统则更集中。
== 国家的规模法则==
== 国家的规模法则==
社会经济复杂系统中普遍地存在着规模法则，除了上面已有阐述的城市与企业，规模法则还适用于一种更大的社会经济复杂系统，这就是国家。
2010年，[[张江]]等人利用 ''Mathematica CountryData'' 数据库，对273个国家或地区的104个变量展开了系统性的规模法则研究<ref name=":11">{{cite journal|last=Zhang|first=Jiang|title=Allometric scaling of countries|journal=Physica A|time=2010|page=4887–4896|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378437110006072}}</ref>，将规模法则（也被叫做异速生长律Allometric Scaling）拓展到了国家上。也可参考：[[异速生长律]]词条。
===广延量与强度量===
首先，该研究将所有变量划分成了两类：
# 广延型的变量；
# 强度型变量。
在物理中，所谓的广延型变量是诸如能量、质量、熵等具有子系统可加性的变量。在国家中，一些宏观总量，如人口、GDP、面积、出口、进口等都属于广延型变量。而平均的人均GDP，人口的生育率、死亡率等类似于物理中的温度、压强被称为强度量。
对于广延性的变量，张江分别研究了它们和三种不同的国家尺度变量（分别是地理尺度，即国土面积、人口尺度，即总人口和经济尺度即GDP）做规模法则分析，即用数据检验它们与不同国家尺度变量[math]X[/math]（面积、人口和GDP）的幂律关系：
:<math>
:<math>
</math>
</math>
这里，[math]Y[/math]为任意的宏观变量，[math]a[/math]为幂律指数，[math]c[/math]为规模法则的系数。
下面，我们选择一些典型的X与Y，陈述一些典型的结论。
===人口与GDP===
首先，我们可以选择[math]X[/math]代表人口作为国家规模的度量，选择国家的GDP作为[math]Y[/math]来看GDP对人口的规模法则，并可以与城市的GDP-人口的规模法则进行对比。
<ref name=":11" />中的结果显示，国家与城市相比，呈现出明显不同的规律。以人口和GDP的规模法则为例，虽然两者之间仍符合幂律形式，但城市的幂指数是大于1的（1.15），呈现出超线性的规模法则，而国家的幂指数 [math]a[/math] 则是小于或约等于1的，即呈现为亚线性或线性的规模法则。这说明国家相比较城市在经济产出方面不但不存在规模效应递增，而且还会出现规模效应递减的现象，即国家越大人均GDP越低。
之所以会出现这种情况，有多方面因素。首先：拟合方法的选择不合理。通常，为了拟合数据，我们大多都采用最小二乘法（Ordinary Linear Square，简称OLS）在双对数坐标下进行线性回归，这种方法会把X看作自变量，而Y看作因变量，因此暗含了X与Y有因果关系。然而，如果实际的变量X和Y不存在因果关系，而仅仅是相关关系的时候，就有可能导致幂指数的估计产生大的偏差。另一种拟合方式则是采用主轴法（Major Axis，简称MA），这种方法并不区分自变量和因变量，因而能够相对平等地对待X与Y。在国家尺度的GDP与人口的双对数坐标下的回归分析中，如果采取OLS方法，则幂指数为0.79，但如果采取MA方法，则幂指数为1.04接近于1。我们认为后者更加可信，这是因为国家的GDP与人口并不呈现明显的因果关系，而且这一结论也与后续的不同变量分析一致。
其次，变量的选择会显著影响GDP和人口这两个变量的关系。如前所述，OLS方法的基础是假设了X是自变量，Y是因变量，也就是说要存在X到Y的因果关系，这种方法才合理。然而，国家层面上看，人口和GDP的因果关系并不显著。除了采用不同的回归方式得到结论以外，我们还可以通过选择更精炼的变量来进行回归。例如，对于人口来说，我们可以选择劳动人口，甚至就业的劳动人口。显然，后两种变量的选择会与社会总产出，即GDP具有更显著的因果关系。同样地，GDP变量也可以被替换为购买力评价GDP，从而消除物价以及汇率对GDP的影响。在进行变量的替代以后，我们会看到X与Y的因果关系就会变得越来越显著，从而得到的幂指数也会越来越准。
[[File:201210250819_improvement.jpg|无|缩略图|为了揭示更加精准的社会总产出与社会总人口的关系，我们可以用更精准的变量替换人口与GDP的衡量，从而得到越来越显著的因果关系]]
当用劳动力人口替代总人口，并以购买力平价修正GDP时，拟合的显著性提高（[math]R^2[/math] 从0.59上升至0.88），而幂指数依旧接近1，进一步验证了GDP与人口的规模法则近似线性这一结论。这说明，在国家层面，由于人与人之间的互动并不能产生规模递增效应，从而导致人均GDP不会像城市那样随着人口规模的上升而上升。
===以GDP为基准的规模法则===
正是因为国家与城市存在着显著的不同，人与人之间的互动并不明显，这使得人口总规模并不能作为一个良好的规模指标，特别是衡量国家的经济发展水平的时候，选取总人口作为规模指标并不合理。于是，文章探讨了另一种规模指标，即国家的GDP。当我们将GDP作为国家经济总规模的衡量的时候，各种广延量的经济指标，包括出口总额、进口总额、投资总额等等，都呈现了非常显著的与GDP的规模法则。因此，在更大的国家尺度范围中，GDP被发现比人口更能有效衡量国家尺度。
下表列出了与GDP程序明显幂律关系的各个经济广延量指标。
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
|+ 以GDP为国家规模的衡量，各个变量的规模法则
|+ 以GDP为国家规模的衡量，各个变量的规模法则
! 属性 !! OLS方法估计的幂指数 !! r² !! MA方法估计的幂指数 !! 样本数
! 属性 !! MA方法估计的幂指数 !! R² !! OLS方法估计的幂指数 !! 样本数
|-
|-
| 购买力平价GDP（GDPAtParity） || 1.02 ± 0.03 || 0.96 || 0.99 || 230
| 购买力平价GDP（GDPAtParity） || 1.02 ± 0.03 || 0.96 || 0.99 || 230
| 国民收入（NationalIncome） || 0.99 ± 0.01 || 1.00 || 0.99 || 208
| 国民收入（NationalIncome） || 0.99 ± 0.01 || 1.00 || 0.99 || 208
|-
|-
| 农业增加值（AgriculturalValueAdded） || 0.96 ± 0.08 || 0.73 || 0.83 || 207
| 农业附加值（AgriculturalValueAdded） || 0.96 ± 0.08 || 0.73 || 0.83 || 207
|-
|-
| 建筑业增加值（ConstructionValueAdded） || 0.99 ± 0.03 || 0.96 || 0.97 || 208
| 建筑业附加值（ConstructionValueAdded） || 0.99 ± 0.03 || 0.96 || 0.97 || 208
|-
|-
| 固定投资（FixedInvestment） || 0.98 ± 0.02 || 0.97 || 0.97 || 207
| 固定投资（FixedInvestment） || 0.98 ± 0.02 || 0.97 || 0.97 || 207
| 居民消费（HouseholdConsumption） || 0.98 ± 0.02 || 0.98 || 0.97 || 206
| 居民消费（HouseholdConsumption） || 0.98 ± 0.02 || 0.98 || 0.97 || 206
|-
|-
| 工业增加值（IndustrialValueAdded） || 1.18 ± 0.03 || 0.96 || 1.15 || 208
| 工业附加值（IndustrialValueAdded） || 1.18 ± 0.03 || 0.96 || 1.15 || 208
|-
|-
| 存货变动（InventoryChange） || 1.26 ± 0.13 || 0.67 || 0.99 || 193
| 存货变动（InventoryChange） || 1.26 ± 0.13 || 0.67 || 0.99 || 193
|-
|-
| 制造业增加值（ManufacturingValueAdded） || 1.22 ± 0.03 || 0.95 || 1.19 || 208
| 制造业附加值（ManufacturingValueAdded） || 1.22 ± 0.03 || 0.95 || 1.19 || 208
|-
|-
| 其他行业增加值（MiscellaneousValueAdded） || 1.22 ± 0.03 || 0.96 || 1.03 || 208
| 其他行业附加值（MiscellaneousValueAdded） || 1.22 ± 0.03 || 0.96 || 1.03 || 208
|-
|-
| 总消费（TotalConsumption） || 0.97 ± 0.02 || 0.98 || 0.96 || 207
| 总消费（TotalConsumption） || 0.97 ± 0.02 || 0.98 || 0.96 || 207
|-
|-
| 贸易增加值（TradeValueAdded） || 1.00 ± 0.02 || 0.97 || 0.98 || 207
| 贸易附加值（TradeValueAdded） || 1.00 ± 0.02 || 0.97 || 0.98 || 207
|-
|-
| 交通运输增加值（TransportationValueAdded） || 1.02 ± 0.03 || 0.97 || 0.97 || 207
| 交通运输附加值（TransportationValueAdded） || 1.02 ± 0.03 || 0.97 || 0.97 || 207
|-
|-
| 出口额（ExportValue） || 1.09 ± 0.05 || 0.90 || 1.03 || 208
| 出口额（ExportValue） || 1.09 ± 0.05 || 0.90 || 1.03 || 208
|}
|}
从该表中，我们不难看出，从石油、电力消耗到进出口总额，再到交通通信基础设施（如公路总长度、电话线数量、互联网用户数），几乎所有这些宏观变量都与GDP呈现高度显著的幂律关系（[math]R^2>0.6[/math]）<ref name=":11" />。
在该表中，有些指标的幂指数明显大于1，包括政府债务、工业附加值、制造业附加值、存货变动、碳排放、移动电话用户数、互联网用户数、外汇储备、出口总额等等，这些都呈现了超线性规模法则，这说明随着GDP的增长，这些指标的增长会更快；有些指标明显小于1，包括总消费、进口额、石油消费、公路长度等，这呈现了亚线性规模法则，说明它们会比GDP更慢地增长。还有一些则非常接近于1，包括购买力评价GDP、政府收入、政府支出、劳动力、国民收入等等，它们与GDP同速增长。
其中，比较有趣的事，进口额与GDP的规模法则。它们的关系可类比为国家经济系统的“代谢过程”，类似生物代谢中的[[克莱伯定律]]；而碳排放则表现出与GDP的超线性关系（幂指数为1.2），这意味着随着经济增长，碳排放会加速增加，反映出一种难以通过个体行为逆转的系统性规律。由此可以看出，国家层面的规模法则不仅在形式上区别于城市（缺乏超线性的规模经济效应），更在规律上展现出与GDP紧密相关的系统性特征。
===强度量对人均GDP的依赖===
此外，对强度量的分析揭示了社会发展与人类代谢之间的深层联系。随着人均GDP的提高，国家的总和生育率呈幂律下降，而平均寿命则随之上升。这种规律与生物体代谢的限制机制一致，暗示人类社会在宏观尺度上仍受到代谢生态学的约束。
此外，对强度量的分析揭示了社会发展与人类代谢之间的深层联系。随着人均GDP的提高，国家的总和生育率呈幂律下降，而平均寿命则随之上升。这种规律与生物体代谢的限制机制一致，暗示人类社会在宏观尺度上仍受到代谢生态学的约束。
该文章也研究了各种强度变量相对于人均GDP的幂律关系。虽然人均GDP不能看作是国家的规模度量，但是它却可以看作是国家社会经济体系的一种强度量的标尺，因而，不同的变量便呈现了与人均GDP的幂律关系，如下表所列：
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
|+ 强度变量与人均GDP之间的幂律关系
|+ 强度变量与人均GDP之间的幂律关系
! 变量（Property） !! OLS回归幂指数 !! r² !! MA回归幂指数 !! 样本数
! 变量（Property） !! MA回归幂指数 !! R² !! OLS回归幂指数 !! 样本数
|-
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| 识字率比例（LiteracyFraction） || 0.11 ± 0.02 || 0.40 || 0.11 || 204
| 识字率比例（LiteracyFraction） || 0.11 ± 0.02 || 0.40 || 0.11 || 204
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|-
| 出生率比例（BirthRateFraction） || −0.24 ± 0.03 || 0.58 || −0.23 || 208
| 出生率比例（BirthRateFraction） || -0.24 ± 0.03 || 0.58 || −0.23 || 208
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| 预期寿命（LifeExpectancy） || 0.08 ± 0.01 || 0.48 || 0.08 || 207
| 预期寿命（LifeExpectancy） || 0.08 ± 0.01 || 0.48 || 0.08 || 207
|}
|}
可以看到，这些变量的幂指数可以被分成两类，识字率、预期寿命与中位数年龄的幂指数为正，这说明随着国家变得更加富有（人均GDP提高），则人们受教育水平会提升，而预期寿命会增长；另一类包括出生率、总和生育率、婴儿死亡率等，它们的幂指数为负数，说明人均GDP提高的时候，新生儿的出生率降低，死亡率升高。这在某种程度上反映了作为一个独立个体（以经济生活为主要目的）的人，和作为一种生物学的个体（以生命的繁衍为目的）二者之间存在着一定的竞争关系。当人们的生活水平逐渐提高，人们会选择更多地提升自己的个体社会人的生活质量，而非提高作为生物人的个体繁衍率。
== 复杂网络 ==
== 复杂网络 ==