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在分析复杂的[[非线性系统]]时，我们希望能获得一个全局的线性视角，以便使用成熟的[[线性系统]]理论和方法。Koopman[[算子]]理论通过将系统的状态“提升”到由可观测函数构成的无穷维空间，从而将非线性动力学问题转化为一个无穷维线性算子问题。然而，这个理想的Koopman算子本身是无穷维的，无法直接计算，需要通过数据来近似。

在分析复杂的[[非线性系统]]时，我们希望能获得一个全局的线性视角，以便使用成熟的[[线性系统]]理论和方法。Koopman[[算子]]理论通过将系统的状态“提升”到由可观测函数构成的无穷维空间，从而将非线性动力学问题转化为一个无穷维线性算子问题。然而，这个理想的Koopman算子本身是无穷维的，无法直接计算，需要通过数据来近似。

那么如何用有限的、来自现实的数据，去逼近[[无限]]维的Koopman线性[[算子]]呢？最开始的方法是[[动力学]][[模式分解]]（DMD，Dynamic Mode Decomposition），它直接把“[[状态变量]]本身”当作观测函数。然而，对于真正的[[非线性系统]]，DMD的近似就太粗糙了。故此后学者们围绕着“如何更有效地拓展观测空间”与“如何优化求解过程”展开。扩展动态[[模式分解]]（EDMD, Extended Dynamic Mode Decomposition）通过预定义的[[非线性]]函数显式拓展；残差动态[[模式分解]]（ResDMD, Residual DMD）致力于严格评估逼近精度并筛选可靠模态；核动态[[模式分解]]（Kernel DMD）利用[[核技巧]]隐式拓展；基于[[神经网络]]的动态[[模式分解]]（[[Neural Network]] DMD）用[[深度学习]]自动学习最优的拓展方式；时间延迟动态[[模式分解]]（Time-delay DMD/Hankel DMD）通过历史数据构造[[嵌入空间]]；[[随机]]动态[[模式分解]]（Randomized DMD）专注于利用[[随机]]算法提升高维问题的计算效率；最优[[模式分解]]（OPD/Optimal DMD）将问题重构为全局[[非线性]]优化以求取最佳拟合；多分辨率动态[[模式分解]]（mrDMD, Multiresolution DMD）与[[递归]]动态[[模式分解]]（RDMD, Recursive DMD）则能分离系统在不同时间尺度或层次上的[[动力学]]；前向-后向动态[[模式分解]]（fbDMD, forward-backward DMD）通过平均正反向数据提升稳定性；张量动态[[模式分解]]（Tensor DMD）处理具有空间结构的多维数据；受控动态[[模式分解]]（Controlled DMD）则旨在辨识含外部输入系统的Koopman模型。

那么如何用有限的、来自现实的数据，去逼近[[无限]]维的Koopman线性[[算子]]呢？最开始的方法是'''[[动力学]][[模式分解]]（DMD，Dynamic Mode Decomposition）'''<ref name=Schmid_2008>P. J. Schmid and J. Sesterhenn, Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data, in 61st Annual Meeting of the APS Division of Fluid Dynamics, American Physical Society, 2008. (Cited on pp. 249, 258)</ref><ref name=Schmid_2010>P. J. Schmid, Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data, J. Fluid Mech., 656 (2010), pp. 5--28. (Cited on pp. 231, 237, 238, 249, 250, 255, 258, 284, 292)</ref>，它直接把“[[状态变量]]本身”当作观测函数。然而，对于真正的[[非线性系统]]，DMD的近似就太粗糙了。故此后学者们围绕着“如何更有效地拓展观测空间”与“如何优化求解过程”展开。'''扩展动态[[模式分解]]（EDMD, Extended Dynamic Mode Decomposition）'''<ref name=william_2015>M. O. Williams, I. G. Kevrekidis, and C. W. Rowley, A data-driven approximation of the Koopman operator: Extending dynamic mode decomposition, J. Nonlinear Sci., 6 (2015), pp. 1307--1346. (Cited on pp. 246, 247, 256, 284, 285, 292)</ref>通过预定义的[[非线性]]函数显式拓展；'''残差动态[[模式分解]]（ResDMD, Residual DMD）'''<ref name=Colbrook_2023>Colbrook, M. J., Ayton, L. J. & Szőke, M. Residual dynamic mode decomposition: Robust and verified koopmanism. J. Fluid Mech. 955, A21 (2023).</ref><ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>致力于严格评估逼近精度并筛选可靠模态；'''核动态[[模式分解]]（Kernel DMD）'''<math>\mathbf{A}_\phi</math>为<ref name=william_2015_kernal>M. O. Williams, C. W. Rowley, and I. G. Kevrekidis, A kernel approach to data-driven Koopman spectral analysis, J. Comput. Dynam., 2 (2015), pp. 247--265. (Cited on pp. 255, 256, 284, 285, 294, 318)</ref><ref name=Gonzalez_2023_kernal>Gonzalez, E., Abudia, M., Jury, M., Kamalapurkar, R. & Rosenfeld, J. A. The kernel perspective on dynamic mode decomposition. Preprint at https://doi.org/10.48550/arXiv.2106.00106 (2023).</ref>利用[[核技巧]]隐式拓展；'''基于[[神经网络]]的动态[[模式分解]]（[[Neural Network]] DMD）'''<ref>C. Wehmeyer and F. Noe\', Time-lagged autoencoders: Deep learning of slow collective variables for molecular kinetics, J. Chem. Phys., 148 (2018), pp. 1--9. (Cited on pp. 284, 290, 291)</ref><ref>N. Takeishi, Y. Kawahara, and T. Yairi, Learning Koopman invariant subspaces for dynamic mode decomposition, in Advances in Neural Information Processing Systems, 2017, pp. 1130--1140. (Cited on pp. 284, 290)</ref>用[[深度学习]]自动学习最优的拓展方式；'''时间延迟动态[[模式分解]]（Time-delay DMD/Hankel DMD）'''<ref name=brunton_2017>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, E. Kaiser, and J. N. Kutz, Chaos as an intermittently forced linear system, Nature Commun., 8 (2017), pp. 1--9. (Cited on pp. 257, 275, 284, 287, 288, 289, 294)</ref>通过历史数据构造[[嵌入空间]]；'''[[随机]]动态[[模式分解]]（Randomized DMD）'''<ref name=ranDMD>Erichson, N. B., Mathelin, L., Kutz, J. N. & Brunton, S. L. Randomized dynamic mode decomposition. Siam J. Appl. Dyn. Syst. 18, 1867–1891 (2019)</ref>专注于利用[[随机]]算法提升高维问题的计算效率；'''最优[[模式分解]]（OPD/Optimal DMD）'''<ref name=opdmd>T. Askham and J. N. Kutz, Variable projection methods for an optimized dynamic mode decomposition, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 17 (2018), pp. 380--416, https://doi.org/10. 1137/M1124176. (Cited on pp. 253, 254)</ref>将问题重构为全局[[非线性]]优化以求取最佳拟合；'''多分辨率动态[[模式分解]]（mrDMD, Multiresolution DMD）'''<ref name=mrdmd>J. N. Kutz, X. Fu, and S. L. Brunton, Multiresolution dynamic mode decomposition, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 15 (2016), pp. 713--735, https://doi.org/10.1137/15M1023543. (Cited on pp. 257, 278)</ref>则能分离系统在不同时间尺度或层次上的[[动力学]]；'''前向-后向动态[[模式分解]]（fbDMD, forward-backward DMD）'''<ref name=fbdmd>S. T. Dawson, M. S. Hemati, M. O. Williams, and C. W. Rowley, Characterizing and correcting for the effect of sensor noise in the dynamic mode decomposition, Exp. Fluids, 57 (2016), pp. 1--19. (Cited on p. 253)</ref>通过平均正反向数据提升稳定性；'''张量动态[[模式分解]]（Tensor DMD）'''<ref name=tensordmd>S. Klus, P. Gel{\ss}, S. Peitz, and C. Sch\"utte, Tensor-based dynamic mode decomposition, Nonlinearity, 31 (2018), pp. 3359--3380. (Cited on p. 257)</ref>处理具有空间结构的多维数据；'''受控动态[[模式分解]]（Controlled DMD）'''<ref name=DMDc>J. L. Proctor, S. L. Brunton, and J. N. Kutz, Dynamic mode decomposition with control, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 15 (2016), pp</ref>则旨在辨识含外部输入系统的Koopman模型。