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===单调性与振荡的不可能性===

===单调性与振荡的不可能性===

一维（自治）系统 <math>\dot{x} = f(x)</math> 的解 <math>x(t)</math> 必须是时间t的单调函数（或为常数）。换言之，一维系统的解要么是常数，要么收敛到不动点，要么发散到无穷。如右图所示，如果相点初始位于右侧稳定不动点附近，它将收敛到稳定不动点；如果相点初始时恰好位于两个不动点处，则它将始终呆在原位。而如果相点初始位于不稳定不动点的左侧，可知相点的速度始终向左，且逐渐增加，因此它最终将发散至无穷大。作为单调性的直接推论，一维系统不可能出现周期解、超调或阻尼振荡。这是由实线的拓扑结构所决定的，假设某个一维自治系统的解是周期或存在超调，那么一定会存在某个状态，对应这两个不同的 <math>\dot{x}</math>，这和 <math>f</math> 是一个函数矛盾。因此一维自治系统的解一定是单调的。

一维（自治）系统 <math>\dot{x} = f(x)</math> 的解 <math>x(t)</math> 必须是时间t的单调函数（或为常数）。换言之，一维系统的解要么是常数，要么收敛到不动点，要么发散到无穷。如右图所示，如果相点初始位于左侧稳定不动点附近，它将收敛到稳定不动点；如果相点初始时恰好位于两个不动点处，则它将始终呆在原位。而如果相点初始位于不稳定不动点的右侧，可知相点的速度始终向右，且逐渐增加，因此它最终将发散至（正）无穷大。作为单调性的直接推论，一维系统不可能出现周期解、超调或阻尼振荡。这是由实线的拓扑结构所决定的，假设某个一维自治系统的解是周期或存在超调，那么一定会存在某个状态，对应这两个不同的 <math>\dot{x}</math>，这和 <math>f</math> 是一个函数矛盾。因此一维自治系统的解一定是单调的。

===存在性与唯一性===

===存在性与唯一性===