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===[[不动点]]的定义===

===[[不动点]]的定义===

对于映射 <math>f</math>, 满足 <math>f(x^*)=0</math>的点 <math>x^*</math> 成为 <math>f</math> 的[[不动点]]。可以验证对[[不动点]] <math>x^*</math>，有 <math>f(f(x^*)) = f(x^*) = x^*</math>。直观上看，这个点在系统的映射下一直保持不动，因此也称其为系统的平衡解。

对于一般的映射 <math>g</math>, 满足 <math>g(x^*)=0</math>的点 <math>x^*</math> 成为 <math>g</math> 的[[不动点]]。可以验证对[[不动点]] <math>x^*</math>，有 <math>g(g(x^*)) = g(x^*) = x^*</math>。直观上看，这个点在系统的映射下一直保持不动，因此也称其为系统的平衡解。在一维动力学 <math>\displaystyle \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = f(x)</math> 中，如果系统处在[[不动点]]的位置，那么系统状态将不再改变，也即 <math>\displaystyle \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = 0 = f(x)</math>，因此我们只需研究 <math>f(x)</math> 的零点即可。

===图形化稳定性判据===

===图形化稳定性判据===

* 稳定[[不动点]]（[[吸引子]]/汇）： 向量场箭头从两边指向该点。

* 稳定[[不动点]]（[[吸引子]]/汇）： 零点左侧为正，右侧为负；向量场箭头从两边指向该点。

* 不稳定[[不动点]]（排斥子/源）： 向量场箭头从该点指向两边。

右图给出了一个一维自治系统的 <math>f(x)</math> 函数图像，横轴的箭头表示相流的流向。如图所示，函数 <math>f(x)</math> 有两个零点，这意味着系统有两个[[不动点]]。左侧的[[不动点]]是稳定的，当 x 位于左侧不动点的左侧少许时，其速度向右；当 x 位于它的右侧少许时，其速度向左。右侧不动点和左侧相反：向左侧或右侧扰动都会使系统状态远离右侧的不稳定不动点。

 

* 半稳定[[不动点]]： 从一侧吸引，从另一侧排斥。

 

如图所示，左侧的[[不动点]]是稳定的，当 x 位于左侧不动点的左侧少许时，其速度向右；当 x 位于它的右侧少许时，其速度向左。右侧不动点和左侧相反：向左侧或右侧扰动都会使系统状态远离右侧的不稳定不动点。

[[File:fixed_point_1.png|400px|thumb|right|稳定[[不动点]]和不稳定[[不动点]]，引自__PROTECTED_12__]]

[[File:fixed_point_1.png|400px|thumb|right|稳定[[不动点]]和不稳定[[不动点]]，引自__PROTECTED_12__]]

===线性稳定性分析（定量方法）===

===线性稳定性分析（定量方法）===

* 公式：在[[不动点]]<math>x^*</math>附近定义扰动<math>u(t)=x(t)-x^*</math>,其线性化方程为<math>\dot{u} \approx f'(x^*)u</math>。

除了图形化稳定性判据，还可以从严格的数学角度判定该不动点的稳定性。在[[不动点]]<math>x^*</math>附近定义扰动<math>u(t)=x(t)-x^*</math>,其线性化方程为<math>\dot{u} \approx f'(x^*)u</math>，若 <math>f'(x^*) > 0</math>，该[[不动点]]是稳定[[不动点]]；若 <math>f'(x^*) < 0</math>，该[[不动点]]是不稳定[[不动点]]。定义特征时间尺度<math>\displaystyle \frac{1}{|f'(x^*)|}</math> 为 <math>x(t)</math> 在[[不动点]] <math>x^*</math> 邻域内发生显著变化的时间。

* 稳定性判据：若 <math>f'(x^*) > 0</math>，该[[不动点]]是稳定[[不动点]]；若 <math>f'(x^*) < 0</math>，该[[不动点]]是不稳定[[不动点]]。

* 特征时间尺度：<math>\displaystyle \frac{1}{|f'(x^*)|}</math> 为 <math>x(t)</math> 在[[不动点]] <math>x^*</math> 邻域内发生显著变化的时间。

===势函数===

===势函数===

[[势函数]]<math>V(x)</math>由<math>f(x)=-\frac{dV}{dx}</math>定义。通过该定义，系统行为等价于一个过阻尼粒子在势能景观<math>V(x)</math>中的运动。粒子总是向势能减小 (<math>\frac{dV}{dt}\leq 0</math>) 的方向运动。其中系统的稳定[[不动点]] <math>\leftrightarrow</math> <math>V(x)</math>的局部极小值（势能谷），而不稳定[[不动点]] <math>\leftrightarrow</math> <math>V(x)</math>的局部极大值（势能峰）

除了使用 <math>f(x)</math> 分析外，还可以使用系统的[[势函数]]<math>V(x)</math>进行分析。它由<math>f(x)=-\frac{dV}{dx}</math>定义。通过该定义，系统行为等价于一个过阻尼粒子在势能景观<math>V(x)</math>中的运动。粒子总是向势能减小 (<math>\frac{dV}{dt}\leq 0</math>) 的方向运动。其中系统的稳定[[不动点]] <math>\leftrightarrow</math> <math>V(x)</math>的局部极小值（势能谷），而不稳定[[不动点]] <math>\leftrightarrow</math> <math>V(x)</math>的局部极大值（势能峰）

==性质==

==性质==