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一维动力学 (查看源代码)

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第73行：第73行：

除了使用 <math>f(x)</math> 分析外，还可以使用系统的[[势函数]]<math>V(x)</math>进行分析。它由<math>f(x)=-\frac{dV}{dx}</math>定义。通过该定义，系统行为等价于一个过阻尼粒子在势能景观<math>V(x)</math>中的运动。粒子总是向势能减小 (<math>\frac{dV}{dt}\leq 0</math>) 的方向运动。其中系统的稳定[[不动点]] <math>\leftrightarrow</math> <math>V(x)</math>的局部极小值（势能谷），而不稳定[[不动点]] <math>\leftrightarrow</math> <math>V(x)</math>的局部极大值（势能峰）

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==性质==

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==解的性质==

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===~~单调性与振荡的不可能性~~===

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===单调性与[[振荡]]的不可能性===

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一维（自治）系统 <math>\dot{x} = f(x)</math> 的解 <math>x(t)</math> 必须是时间<math>t</math>的单调函数（或为常数）。换言之，一维系统的解要么是常数，要么收敛到[[不动点]]，要么发散到无穷。如右图所示，如果相点初始位于左侧稳定[[不动点]]附近，它将收敛到稳定[[不动点]]；如果相点初始时恰好位于两个[[不动点]]处，则它将始终呆在原位。而如果相点初始位于不稳定[[不动点]]的右侧，可知相点的速度始终向右，且逐渐增加，因此它最终将发散至（正）无穷大。作为单调性的直接推论，一维系统不可能出现周期解、[[超调]]或[[阻尼振荡]]。这是由实线的[[拓扑]]~~结构所决定的，假设某个一维自治系统的解是周期或存在超调，那么一定会存在某个状态，对应这两个不同的~~ <math>\dot{x}</math>，这和 <math>f</math> ~~是一个函数矛盾。因此一维自治系统的解一定是单调的。~~

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一维（自治）系统 <math>\dot{x} = f(x)</math> 的解 <math>x(t)</math> 必须是时间<math>t</math>的单调函数（或为常数）。换言之，一维系统的解要么是常数，要么收敛到[[不动点]]，要么发散到无穷。如右图所示，如果相点初始位于左侧稳定[[不动点]]附近，它将收敛到稳定[[不动点]]；如果相点初始时恰好位于两个[[不动点]]处，则它将始终呆在原位。而如果相点初始位于不稳定[[不动点]]的右侧，可知相点的速度始终向右，且逐渐增加，因此它最终将发散至（正）无穷大。作为单调性的直接推论，一维系统不可能出现周期解、[[超调]]或[[阻尼振荡]]。这是由实线的[[拓扑]]结构所决定的，假设某个一维[[自治系统]]的解是周期或存在超调，那么一定会存在某个状态，对应这两个不同的 <math>\dot{x}</math>，这和 <math>f</math> 是一个函数矛盾。因此一维[[自治系统]]的解一定是单调的。

===存在性与唯一性===

第83行：第83行：

在应用视角下，我们总是假定的一维系统 <math>\dot{x} = f(x)</math> 存在唯一的解。但一些看似简单的病态系统拥有不止一个解。例如考虑 <math>\dot{x} = x^{1/3}, x(0) = 0</math>，可以验证 <math>x(t) \equiv 0</math> 和 <math>x(t) = \left(\frac{2}{3} t\right)^{3/2}</math> 都是原系统的解。究其原因，<math>x^{1/3}</math> 在 <math>x = 0</math> 处的斜率为无穷大，而该系统除了上面两个解外还有无穷多个解。

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下面给出了保证解存在性和唯一性的条件。若<math>f(x)</math>及其导数<math>f'(x)</math> 在包含初始点<math>x_0</math>~~的开区间上连续，则初值问题~~

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下面给出了保证解存在性和唯一性的条件。若<math>f(x)</math>及其导数<math>f'(x)</math> 在包含初始点<math>x_0</math>的开区间上[[连续]]，则初值问题

<math>

何瑞杰

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