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原始的匹配生长随机几何图模型是[[张江]]等人提出的一种揭示[[复杂系统]]的生长过程中，普遍存在的两类规模法则：相互作用的超线性规模法则和多样性的亚线性规模法则，以及生长过程中的加速效应，并可以象用于从唯象的角度解释城市系统，生态网络、文献引文网络、网络社区等多种复杂系统的演化规律<ref name=":9">[[匹配生长随机几何图模型]]</ref>。

原始的匹配生长随机几何图模型是[[张江]]等人提出的一种揭示[[复杂系统]]的生长过程中，普遍存在的两类规模法则：相互作用的超线性规模法则和多样性的亚线性规模法则，以及生长过程中的加速效应，并可以象用于从唯象的角度解释城市系统，生态网络、文献引文网络、网络社区等多种复杂系统的演化规律<ref name=":9">[[匹配生长随机几何图模型]]</ref>。

[[李睿琪]]、[[董磊]]等人后将该模型进行扩展，特别是加入了空间吸引机制，从而可以使得扩展的模型可以模拟城市的生长，并可以模拟成交通路网，以及人类社会经济交互的空间分布的形成机制，特别是预测出[[活跃人口]]、道路网络，以及社会经济交互数据的[[分形维数]]，还可以复现这些指标的总体规模法则。

[[李睿琪]]、[[董磊]]等人后将该模型进行扩展<ref name="city_nc"/>，特别是加入了空间吸引机制，从而可以使得扩展的模型可以模拟城市的生长，并可以模拟成交通路网，以及人类社会经济交互的空间分布的形成机制，特别是预测出[[活跃人口]]、道路网络，以及社会经济交互数据的[[分形维数]]，还可以复现这些指标的总体规模法则。

==== 基础模型 ====

==== 基础模型 ====

该模型假设了一个单调的网络生长过程（也就是说系统中的节点和连边都只能增加，而不能减少），以模拟任何具有个体交互特征的[[复杂系统]]的生长过程。其次，我们假设网络中的所有节点都可以被嵌入一个欧氏空间中，并且每一个节点具有一个欧氏空间坐标（该空间可以是城市的地理空间，也可以是节点的某种抽象的特征空间）。再次，我们假设节点P和节点Q的相互作用是局部的；最后，只有能够与现有节点发生相互作用（即满足[math] |x_P - x_Q| \le r[/math]）的新增节点才能存在下去，这里[math]r[/math]为模型中的唯一参数。

[[匹配生长模型]]假设了一个单调的网络生长过程（也就是说系统中的节点和连边都只能增加，而不能减少），以模拟任何具有个体交互特征的[[复杂系统]]的生长过程<ref name=":15"/>。其次，我们假设网络中的所有节点都可以被嵌入一个欧氏空间中，并且每一个节点具有一个欧氏空间坐标（该空间可以是城市的地理空间，也可以是节点的某种抽象的特征空间）。再次，我们假设节点P和节点Q的相互作用是局部的；最后，只有能够与现有节点发生相互作用（即满足[math] |x_P - x_Q| \le r[/math]）的新增节点才能存在下去，这里[math]r[/math]为模型中的唯一参数。

下图展示了一个二维的匹配生长模型的生长过程，其中每一个圆盘中心对应为一个节点，圆盘对应为每个节点的相互作用范围。圆盘随机地生成（新圆盘坐标服从二维空间的均匀分布），新的圆盘只有与一个已有的圆盘重叠的时候（匹配），才能有效地生长。有效生长后（达到了匹配），新节点会和其对应圆盘范围内的所有节点建立新的连接。

下图展示了一个二维的匹配生长模型的生长过程，其中每一个圆盘中心对应为一个节点，圆盘对应为每个节点的相互作用范围。圆盘随机地生成（新圆盘坐标服从二维空间的均匀分布），新的圆盘只有与一个已有的圆盘重叠的时候（匹配），才能有效地生长。有效生长后（达到了匹配），新节点会和其对应圆盘范围内的所有节点建立新的连接。

这里面的第一个式子，模拟了相互作用的超线性规模法则，其中幂律指数[math]\alpha =\frac{d+2}{d+1}>1[/math]；而第二个式子则模拟了多样性的亚线性规模法则，其中节点圆盘的覆盖面积对应为节点的多样性，这一亚线性规模法则的幂律指数为[math]\beta=\frac{d}{d+1}<1[/math]；第三个式子则模拟了很多复杂系统之中的加速生长现象，即系统规模的增长速度会随着系统的存活时间变长而变快，这一规律可以反映为时间与规模的亚线性规模法则，其中幂指数[math]\gamma=\frac{1}{d+1}[/math]。

这里面的第一个式子，模拟了相互作用的超线性规模法则，其中幂律指数[math]\alpha =\frac{d+2}{d+1}>1[/math]；而第二个式子则模拟了多样性的亚线性规模法则，其中节点圆盘的覆盖面积对应为节点的多样性，这一亚线性规模法则的幂律指数为[math]\beta=\frac{d}{d+1}<1[/math]；第三个式子则模拟了很多复杂系统之中的加速生长现象，即系统规模的增长速度会随着系统的存活时间变长而变快，这一规律可以反映为时间与规模的亚线性规模法则，其中幂指数[math]\gamma=\frac{1}{d+1}[/math]。

进一步，为了模拟、解释城市、在线社区等实际数据，特别是与它们实际的幂指数一致。该模型还引入了“拥挤限制”（体现为一个新节点在某处的实际“存活”除了考虑临近匹配规则之外，还会以正比于[math]\rho(x)^{-\theta}[/math]的概率成功“存活”，其中[math]\rho[/math]为x点处的节点密度，幂指数 [math]\theta[/math]为引入的参数，刻画了新节点加入对拥挤的敏感性。在这一机制引入之后，作者们可以得到新的规模法则：

进一步，为了模拟、解释城市、在线社区等实际数据，特别是与它们实际的幂指数一致，该模型还引入了“拥挤机制”（体现为一个新节点在某处的实际“存活”除了考虑临近匹配规则之外，还会以正比于[math]\rho(x)^{-\theta}[/math]的概率成功“存活”，其中[math]\rho[/math]为x点处的节点密度，幂指数 [math]\theta[/math]为引入的参数，刻画了新节点加入对拥挤的敏感性<ref name=":15"/>。在这一机制引入之后，作者们可以得到新的规模法则：

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有趣的是，该模型还预言，无论维数[math]d,\theta[/math]是多少，[math]\alpha+\beta=2[/math]，即相互作用的超线性规模法则和多样性的亚线性规模法则二者之间存在着一个相互制约的约束关系，这也可以反映社会分工的多样性与社会连接度的此消彼长的关系有关。详细信息可以参考：[[匹配生长模型]]。

有趣的是，该模型还预言，无论维数[math]d,\theta[/math]是多少，[math]\alpha+\beta=2[/math]，即相互作用的超线性规模法则和多样性的亚线性规模法则二者之间存在着一个相互制约的约束关系，这也可以反映社会分工的多样性与社会连接度的此消彼长的关系有关。详细信息可以参考：[[匹配生长模型]]。

==== 扩展模型 ====

==== 扩展到城市生长模型 ====

2017年，[[李睿琪]]、[[董磊]]等人在文献<ref name="city_nc"/>中改进了[[匹配生长模型]]，引入了空间吸引机制，使得模型可以模拟城市的生长行为，并解释城市系统中的规模法则，以及城市内部人口、道路和社会经济互动的空间分布及其背后的分形规律。他们认为，城市不仅是人口的聚集，还包括道路与互动网络的协同演化，这三者遵循统一的空间标度框架<ref name="city_nc" />。

2017年，[[李睿琪]]、[[董磊]]等人在文献<ref name="city_nc"/>中改进了[[匹配生长模型]]，引入了空间吸引机制，使得模型可以模拟城市的生长行为，并解释城市系统中的规模法则，以及城市内部人口、道路和社会经济互动的空间分布及其背后的分形规律。他们认为，城市不仅是人口的聚集，还包括道路与互动网络的协同演化，这三者遵循统一的空间标度框架<ref name="city_nc" />。