更改

* '''人口预测'''：用于模拟和预测人类人口增长，如珀尔和里德对美国人口的研究<ref>Cohen, J. E. (1995). How many people can the earth support? W. W. Norton & Company.</ref>。

* '''人口预测'''：用于模拟和预测人类人口增长，如珀尔和里德对美国人口的研究<ref>Cohen, J. E. (1995). How many people can the earth support? W. W. Norton & Company.</ref>。

在人口学中，该模型通常写作：<math>{\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=rN\left(1-{\frac {N}{K}}\right)}</math>，

在人口学中，该模型通常写作：<math>{\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=rN\left(1-{\frac {N}{K}}\right)}</math>，

其中常数<math>r</math>为种群（人口）增长率，<math>K</math>为环境承载力。

其中常数<math>r</math>为种群（人口）增长率，<math>K</math>为环境承载力。

方程中，早期的几乎无阻力的增长率来自<math>rN</math>。增长率<math>r</math>代表种群（人口）数量<math>N</math>在一个单位时间内的增长比例。随着人口增长，第二项<math>{\frac{-rN^2}{K}}</math>变得几乎和第一项一样大，种群<math>N</math>内的个体之间开始争夺某些关键资源（例如食物或生存空间）而相互干扰。这种对抗效应称为“瓶颈”，由参数<math>K</math>代表。竞争会降低总增长率，直到<math>N</math>停止增长（种群/人口成熟）。方程的解（<math>N_{0}</math>为初始种群/人口数量）为

方程中，早期的几乎无阻力的增长率来自<math>rN</math>。增长率<math>r</math>代表种群（人口）数量<math>N</math>在一个单位时间内的增长比例。随着人口增长，第二项<math>{\frac{-rN^2}{K}}</math>变得几乎和第一项一样大，种群<math>N</math>内的个体之间开始争夺某些关键资源（例如食物或生存空间）而相互干扰。这种对抗效应称为“瓶颈”，由参数<math>K</math>代表。竞争会降低总增长率，直到<math>N</math>停止增长（种群/人口成熟）。

<math>{\displaystyle N(t)={\frac {KN_{0}e^{rt}}{K+N_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}={\frac {K}{1+\left({\frac {K-N_{0}}{N_{0}}}\right)e^{-rt}}}}</math>，

 

方程的解（<math>N_{0}</math>为初始种群/人口数量）为：

 

<math>

\begin{aligned}{\displaystyle N(t)={\frac {KN_{0}e^{rt}}{K+N_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}={\frac {K}{1+\left({\frac {K-N_{0}}{N_{0}}}\right)e^{-rt}}}}

</math>，

 

其中：<math>{\displaystyle \lim _{t\to \infty }N(t)=K}</math>。

其中：<math>{\displaystyle \lim _{t\to \infty }N(t)=K}</math>。

因此，<math>K</math>是<math>N</math>的极限值，即经过足够长时间后，种群（人口）规模所能达到的最大值。值得注意的是，只要初始值<math>{\displaystyle N(0)>0}</math>，无论取值多少，种群数量都会渐近逼近环境承载力<math>K</math>，即使初始值<math>{\displaystyle N(0)>K}</math>也是如此。

因此，<math>K</math>是<math>N</math>的极限值，即经过足够长时间后，种群（人口）规模所能达到的最大值。值得注意的是，只要初始值<math>{\displaystyle N(0)>0}</math>，无论取值多少，种群数量都会渐近逼近环境承载力<math>K</math>，即使初始值<math>{\displaystyle N(0)>K}</math>也是如此。