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在应用视角下，我们总是假定的一维系统 <math>\dot{x} = f(x)</math> 存在唯一的解。但一些看似简单的病态系统拥有不止一个解。例如考虑 <math>\dot{x} = x^{1/3}, x(0) = 0</math>，可以验证 <math>x(t) \equiv 0</math> 和 <math>x(t) = \left(\frac{2}{3} t\right)^{3/2}</math> 都是原系统的解。究其原因，<math>x^{1/3}</math> 在 <math>x = 0</math> 处的斜率为无穷大，而该系统除了上面两个解外还有无穷多个解。

在应用视角下，我们总是假定的一维系统 <math>\dot{x} = f(x)</math> 存在唯一的解。但一些看似简单的病态系统拥有不止一个解。例如考虑 <math>\dot{x} = x^{1/3}, x(0) = 0</math>，可以验证 <math>x(t) \equiv 0</math> 和 <math>x(t) = \left(\frac{2}{3} t\right)^{3/2}</math> 都是原系统的解。究其原因，<math>x^{1/3}</math> 在 <math>x = 0</math> 处的斜率为无穷大，而该系统除了上面两个解外还有无穷多个解。

的解<math>x(t)</math>在<math>t=0</math>的某个邻域<math>(-\tau, \tau)</math>内存在且唯一。<math>\dot{x} = x^{1/3}, x(0) = 0</math> 这一例子中的 <math>f(x)</math> 在 <math>x=0</math> 处有无穷间断点，因此不满足存在性和唯一性定理的条件。注意该定理只是说解在初始时间的某个邻域内存在，而不是说解对所有时间都有存在。考虑系统 <math>\dot{x}=1+x^2, x(0) = x_0</math> 可以检查该系统符合上述定理的条件，在 <math>t=0</math> 的一个邻域内存在唯一解。解上述[[微分方程]]可得 <math>x(t) = tan(t)</math>，可知只有当 <math>t \in (-\pi/2, \pi/2)</math> 时才有解。

 

 

''的解<math>x(t)</math>在<math>t=0</math>的某个邻域<math>(-\tau, \tau)</math>内存在且唯一。''

 

考虑<math>\dot{x} = x^{1/3}, x(0) = 0</math> 这一例子中的 <math>f(x)</math> 在 <math>x=0</math> 处有无穷间断点，因此不满足存在性和唯一性定理的条件。注意该定理只是说解在初始时间的某个邻域内存在，而不是说解对所有时间都有存在。考虑系统 <math>\dot{x}=1+x^2, x(0) = x_0</math> 可以检查该系统符合上述定理的条件，在 <math>t=0</math> 的一个邻域内存在唯一解。解上述[[微分方程]]可得 <math>x(t) = tan(t)</math>，可知只有当 <math>t \in (-\pi/2, \pi/2)</math> 时才有解。

==数值积分方法==

==数值积分方法==