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===单调性与振荡的不可能性===

===单调性与振荡的不可能性===

一维（自治）系统 <math>\dot{x} = f(x)</math> 的解 <math>x(t)</math> 必须是时间<math>t</math>的单调函数（或为常数）。换言之，一维系统的解要么是常数，要么收敛到[[不动点]]，要么发散到无穷。如上方系统的相图所示，如果相点初始位于左侧稳定[[不动点]]附近，它将收敛到稳定[[不动点]]；如果相点初始时恰好位于两个[[不动点]]处，则它将始终呆在原位。而如果相点初始位于不稳定[[不动点]]的右侧，可知相点的速度始终向右，且逐渐增加，因此它最终将发散至（正）无穷大。

一维（自治）系统 <math>\dot{x} = f(x)</math> 的解 <math>x(t)</math> 必须是时间<math>t</math>的单调函数（或为常数）。换言之，一维系统的解要么是常数，要么收敛到[[不动点]]，要么发散到无穷。如上方系统的相图所示

* 如果相点初始位于左侧稳定[[不动点]]附近，它将收敛到稳定[[不动点]]；如果相点初始时恰好位于两个[[不动点]]处，则它将始终呆在原位;

* 如果相点初始位于不稳定[[不动点]]的右侧，可知相点的速度始终向右，且逐渐增加，因此它最终将发散至（正）无穷大。

作为单调性的直接推论，一维系统不可能出现周期解、[[超调]]或[[阻尼振荡]]。这是由实线的[[拓扑]]结构所决定的，假设某个一维[[自治系统]]的解是周期或存在超调，那么一定会存在某个状态，对应这两个不同的 <math>\dot{x}</math>，这和 <math>f</math> 是一个函数矛盾。因此一维[[自治系统]]的解一定是单调的。

作为单调性的直接推论，一维系统不可能出现周期解、[[超调]]或[[阻尼振荡]]。这是由实线的[[拓扑]]结构所决定的，假设某个一维[[自治系统]]的解是周期或存在超调，那么一定会存在某个状态，对应这两个不同的 <math>\dot{x}</math>，这和 <math>f</math> 是一个函数矛盾。因此一维[[自治系统]]的解一定是单调的。