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Koopman算子理论 (查看源代码)

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第321行：第321行：

虽然DMD已成为一种近似Koopman[[算子]]的标准数值方法，但它基于对系统的线性测量，因此缺乏用于近似Koopman[[算子]]的强[[非线性系统]]所需的[[非线性]]坐标变换。为了解决这一问题，Williams等人提出了扩展DMD（extended DMD，eDMD）<ref name=william_2015 />，使得最佳拟合线性DMD回归可以在一个包含状态非线性测量的扩展向量上进行。

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在eDMD中，一个扩展状态 <math>\mathbf{z} \in \mathbb{R}^p</math> 由对状态 <math>\mathbf{x}</math> 的非线性测量函数 <math>g_k</math> 构造而成：

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'''定义：'''在eDMD中，一个扩展状态 <math>\mathbf{z} \in \mathbb{R}^p</math> 由对状态 <math>\mathbf{x}</math> 的非线性测量函数 <math>g_k</math> 构造而成：

:<math> \mathbf{z} = \mathbf{g}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} g_1(\mathbf{x})\\ g_2(\mathbf{x})\\ \vdots \\ g_p(\mathbf{x}) \end{bmatrix} </math>

第329行：第329行：

:<math> \mathbf{Z} = \begin{bmatrix} \vert & \vert & & \vert \\ \mathbf{z}_1 & \mathbf{z}_2 & \cdots & \mathbf{z}_m \\ \vert & \vert & & \vert \end{bmatrix}, \quad \mathbf{Z}' = \begin{bmatrix} \vert & \vert & & \vert \\ \mathbf{z}_2 & \mathbf{z}_3 & \cdots & \mathbf{z}_{m+1} \\ \vert & \vert & & \vert \end{bmatrix} </math>

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这里<math>\mathbf{z}_k = \mathbf{g}(\mathbf{x}k) = \mathbf{g}(\mathbf{x}(k\Delta t))</math>~~，为简化起见，我们假设数据是在时间上等间隔采样。和DMD一样，构造一个最佳线性矩阵算子~~<math>\mathbf{A}\mathbf{Z}</math>，将<math>\mathbf{Z}</math>映射到<math>\mathbf{Z}'</math>：

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这里<math>\mathbf{z}_k = \mathbf{g}(\mathbf{x}k) = \mathbf{g}(\mathbf{x}(k\Delta t))</math>，为简化起见，我们假设数据是在时间上等间隔采样。

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'''算法（拟合线性迭代矩阵）：'''和DMD一样，构造一个最佳线性矩阵算子<math>\mathbf{A}\mathbf{Z}</math>，将<math>\mathbf{Z}</math>映射到<math>\mathbf{Z}'</math>：

:<math> \mathbf{A}_\mathbf{Z} = \underset{\mathbf{A}_\mathbf{Z}}{\arg\min} \, \|\mathbf{Z}' - \mathbf{A}_\mathbf{Z} \mathbf{Z}\|_F = \mathbf{Z}'\mathbf{Z}^\dagger </math>

第335行：第337行：

由于扩展向量<math>\mathbf{z}</math>可能远大于状态<math>\mathbf{x}</math>的维数，通常有必要使用[[核方法]]来计算这个回归问题。近年来，利用[[核方法]]近似Koopman算子的DMD方法已经成为一个重要的研究课题<ref name=william_2015_kernal>M. O. Williams, C. W. Rowley, and I. G. Kevrekidis, A kernel approach to data-driven Koopman spectral analysis, J. Comput. Dynam., 2 (2015), pp. 247--265. (Cited on pp. 255, 256, 284, 285, 294, 318)</ref>，具体可参考下文“核DMD”的章节。在[[无限]]样本数据的情况下，eDMD矩阵会收敛到由这些函数所张成的子空间上的Koopman[[算子]]的[[投影]]。如前文所述，选取观测函数时注意要让它们能够张成Koopman不变子空间。

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Koopman[[算子]]的[[特征函数]]一定可以形成Koopman不变子空间，并为[[动力学]]提供了理想的基底或坐标系来表示其演化。这些[[特征函数]]可以通过给定的观测函数来近似表示。我们可以将一个[[特征函数]]<math>\varphi(\mathbf{x})</math>用函数[[集合]]<math>{g_k(\mathbf{x})}_{k=1}^p</math>展开近似为：

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'''性质（特征函数的计算）：'''Koopman[[算子]]的[[特征函数]]一定可以形成Koopman不变子空间，并为[[动力学]]提供了理想的基底或坐标系来表示其演化。这些[[特征函数]]可以通过给定的观测函数来近似表示。我们可以将一个[[特征函数]]<math>\varphi(\mathbf{x})</math>用函数[[集合]]<math>{g_k(\mathbf{x})}_{k=1}^p</math>展开近似为：

:<math> \varphi(\mathbf{x}) \approx \sum_{k=1}^{p} \xi_k g_k(\mathbf{x}) = \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{g}(\mathbf{x}) </math>

Matthew

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